一个整除问题的简证及推广

《数学通报》2004年第1期刊登了1466号问题“设M=5^2001＋7^2002＋9^2000＋11^2004,求证：M能被8整除．”的证明,文[1]中对这个整除问题进行了推广,推广结论如下     

如何解答圆锥曲线的最值问题

策略1：抓住图形特点求最值 例1已知圆C1：（x-2）^2＋（y-3）^2=-1,圆C2：（x-3）2＋（y-4）^2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17.     

江西卷

1．直线y=kx-＋3与圆（x-3）^2＋（y-2）^2=4相交于M、N两点,若｜MN｜≥2√3则k的取值范围是（）     

三角形与三棱锥的两个性质命题的逆命题

文[1]讨论了三角形的一个向量性质并将其推广到三棱锥中． 命题1如图1所示,已知△ABC及其内部一点P,若λ1^→PA＋λ2^→PBλ3^→PC=^→0,λ1,λ2,λ3都是正实数,过点P作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且^→AM=x^→AB,^→AN=y^→AC,则λ2/x＋λ3/y=λ1＋λ2＋λ3.     

关于高斯求整函数的一个级数求和

[问题313．1]对任意正整数n,求和 Sn=∞∑κ=0（｜n＋3^κ/3^κ＋1｜＋｜N＋2·3^κ/^κ＋1｜）.（本题推广自IMO10-6“试求∞∑κ=0｜n＋2^κ/2^κ＋1｜的值”。）     

点击以图形为载体的平面向量问题

以三角形为载体的平面向量问题 例1（2009年高考天津文科卷）若等边△ABC的边长为2√3,平面内一点M满足^→CM=1/6^→CB＋2/3^→CA,则^→MA·^→MB=____.     

一堂课后的反思

在课本上我们用数学归纳法证明了等式1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2=n（n＋1）（2n＋1）/6．然而n（n＋1）（2n＋1）/6是怎样得来的？1^3＋2^3＋…＋n^3又等于多少？下面通过几种不同的思路进行考虑．记S1（n）=1＋2＋3＋…＋n,S2（n）=1^2＋2^2＋3^2＋…＋n^2,S3（n）=1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3.     

甩拆项法解分式问题

例1设 S=2/1×3×5＋2^2/x×5×7＋2^3/5×7×9＋…2^18/95×97×99,T=1/1×3＋2/3×5＋2^2/5×7＋…2^48/97×99,则12S-3T=（ ）     

对一道联赛题的多方位探究

1999年全国高中联赛试题的第五大题是：给定正整数n和正数M，对于满足条件a1^2＋an＋1^2≤M的所有等差数列：a1，a2，a3，…，试求S=an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．     

自然数平方倒数和的一个改进不等式

得到了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2）,其中（α=12-π^2/π^2-6）=0.5505460967^＋;当且仅当n=1时,等号成立.且证明了不等式：（1/n＋α≤π^2/6-n∑k=1 1/k^2 1/n＋1/2）两端的常数1/2、α均为最付佳值.     

一个不等式的初等证明

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1）当且仅当a=b=c=1/3时取到等号．     

一个二次不等式组的解法

问题设a,b,c,d,e和M0,N0,L0都是正常数,非负函数u（x）,v（x）,w（x）的上界M,N,L满足不等式≤cM2＋bM,M-e≤L,M≥M0,N≥N0,L≥L0,（1）则0≤u（x）≤M1,0≤v（x）≤M2,0≤w（x）≤M3,（2）其中M1=max{a-b,M0,1/2c（√b2＋4acN0-b）},M2=max{a-b/c,M0,N0,（3）M3=max{a-b/c-e,L0,1/2c（√b2＋4acN0-b）-e,L0-e}.证明 如果a≤b,则M-N平面的第一象限可划分为3部分：S1={ （M,N）：0＜M,cM2＋bM/a＜N},S2={（M,N）：0＜M,M≤N≤cM2＋bM/aS3={（M,N）：0＜M,0＜N＜M}.如果（M0,N0）∈S1,则（M1,N0,L1）是（1）的解,其中M1=1/2c（√b2＋4acN0-b）,L1=max{L0,M1-e}.如果（M0,N0）∈S2,则（M0,N0,max{L0,M0-e}）是（1）的解.如果（M0,N0）∈S3,则（M0,N0,max{L0,M0-e}）是（1）的解.     

江苏卷部分选择题、填空题的解法

7．若对于任意的实数x,有x^3=a0＋a1（x-2）＋a2（x-2）^2＋a3（x-2）^3,则a2的值为（ ）. A.3 B.6 C.9 D.12 解法1 由x^3＋a0＋a1（x-2）＋a2（x-2）^2＋a3（x-2）^3，比较两边x^3项的系数，得a3＋1，比较两边x^2项的系数，得a2＋1·3·（-2）=0，故a2=6，故选B.[第一段]     

关于丢番图方程I^5＋2^5＋3^5＋……＋x^5=py^2

证明了丢番图方程I^5＋2^5＋3^5＋……＋x^5=py^2在p=12k＋1且P能使u^2-6pv^2=3和s^2-6pt^2=1有正整数解时．丢番图方程I^5＋2^5＋3^5＋……＋x^5=py^2必有无穷多组正整数解（xn,yn）=（xn,xn（xn＋1）vn/2。     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

二项式知识点梳理及考点扫描

1知识点梳理 根据乘法公式（a＋b）^2=a^2＋2ab＋b^2、（a＋b）^3=a^3＋3a^26＋3ab^2＋b^3,可以推广到二项式定理 （a＋b）^n=∑k=0^nCn^ka^π-kb^k=Cn^0a^n＋cn^1a^n-1b^1＋Cn^2a^n-2b^2＋…＋Cn^kaa^n-kb^k＋…＋Cn^nb^n（n∈N＋）.     

圆锥曲线中的三平行弦定理

定理如图,设F是圆锥曲线Г的焦点,E是准线与轴的交点,P是F相对应的顶点．过F、P、E的直线分别交Г于点A、B、P、Q、M、N．（若Г为双曲线,6个交点均在F相对应的一支上）．若三条弦MN、AB、PQ互相平行但不与对称轴平行,则e^2｜MN｜^2＋｜AB｜^2=（e^2＋1）｜PQ｜^2,其中e为Г的离心率．     

三元一次方程组及其解法专题训练

一、填空题 1．已知有理数口，b，c满足｜a-c-2｜＋｜3a-6b-7｜＋（3b＋3c-4）^2=0，则abc=——     

使用数学归纳法的易错点

易错点一：对假设设而不用 例1用数学归纳法证明：1^2＋2^2＋3^＋……n^2=1/6n（n＋1）（2n＋1）     

态度和纪律成就百分百

小小的事实成就百分百。如果A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U VW X YZ 分别等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 。那么H＋A＋R＋D＋W＋O＋R＋K=8＋1＋18＋4＋23＋15＋18＋11,只有98％（HARD WORK,意为努力工作）。