直线与二次曲线相切的充要条件

本文讨论了在一般情况下,直接用系数判定平面直线与二次曲线相切的条件,给出了较为简捷、方便的结果.     

一类相切问题的方程视角

根据两点确定一条直线公理可知,若点A（x1,y1）坐标满足方程：x0x1＋y0y1＋m=0,点B（x2,y2）坐标满足方程：     

两次消元巧求直径方程

将直线和二次曲线方程联立,消元两次,就可以得到圆的直径方程.这种思路清晰,过程看似烦琐,实则简洁.     

直线与曲线相切只有一个公共点吗？

例1 已知直线l：y=2x＋m,椭圆C：x^2/4＋y2/2=1,试问当m取何值时,直线l与椭圆C有且只有一个公共点？ 解析 本题可用△=0求方程组{y=2x＋m,x^2/4＋y2/2=1有唯一解.求出m=±3√2,此时l的方程为y =2x＋3√2或y=2x-3√2,所以直线与该椭圆在x=-4/3√2或x=4/3√2时,只有唯一公共点A（-4/3√2,√2/3）或A（4/3√2,-√2/3）.故相切.     

用运动的观点分析两条二次曲线相切的问题

1具体问题 案例1圆（x＋2）^2＋y^2=4与抛物线y^2=4x相切于原点．由这两个方程消去Y后得x^2＋8x=0,根的判别式△=64≠0．     

二次曲线焦点弦长公及其应用

在平面解析几何中，涉及焦点弦与其倾角关系的习题是大量的，通常解法是，先设弦的方程与二次曲线方程联立，消元得一元二次方程，再利用根与系数的关系求解，往往运算量较大．本文给出二次曲线焦点弦长与其倾角间的简洁关系，可用以快捷地解决有关问题，收到事半功倍之效．     

直线与双曲线相切的一个充要条件及其应用

在研究平面几何中有关直线和圆相切的问题时,有一条重要的定理:如果圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么直线l和圆O相切的充要条件是d=r.本文通过直线与圆相切的充要条件展开联想、类比和探求,得出了直线与双曲线相切的一个充要条件.并举例说明了此充要条件在处理有关直线与双曲线相切问题中的具体应用.     

浅谈省略△〉0的几种常见情形

在处理二次函数的零点分布及直线与二次曲线相交等问题时，常常将它们转化为实系数一元二次方程的2个实根满足何种条件的问题．一般地，首先要考虑这个实系数一元二次方程的2个不等实根的存在性，即△〉0，然后方可考虑方程2个实根满足的其他条件．但是，在解答过程中，所运用的公式、条件式中已经隐含着△〉0，此时就不必再考虑△〉0这个条件．下面介绍高中数学中可以省略△〉0的几种常见情形，以引起大家的注意．     

巧构一元二次方程妙用“△≥0”

本文通过构造一元二次方程,运用一元二次方程有实根的条件“△≥0”来解决以下几个问题．     

三个“二次”关系及求解策略

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，它们是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具。高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关。本文主要是帮助学生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。     

圆与“直线形”相切

规定：当圆和直线形的一条边所在的直线只有一个公共点时,叫做圆和这个直线形相切．下面,以圆分别与三角形、四边形相切为例说明．     

再探究x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2的关系

贵刊文[1]给出了直线x0^x＋y0y=r^2与x^2＋y^2=r^2圆的关系：结论1 已知圆O：x^＋y^2=r^2,点P（x0,y0）.（1）若点P（x0,y0）在圆上,过点P的圆切线方程为x0x＋y0y=r^2;（2）若点P（x0,y0）在圆外,过点P向圆引两条切线,两切点A、B两点,过A、B两点的两条切线交点的轨迹方程为x0x＋y0y=r^2.     

选段 改述 求导 “直线与圆锥曲线相切问题”新颖解法的三步曲

引题已知直线x＋2y-4=0与抛物线x^2=4y相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．     

用“△≥0”巧证代数题

利用一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0)有实数根的条件“△≥0”来证明未知元素的取值范围以及不等式中取等号的条件来证明恒等式是常见的一种策略,这种运用辩证思维的方法证题有时可收到事半功倍的效果．     

相切问题的几种情形及求解策略

<正>直线与曲线相切问题是高中数学的重要内容之一.在引入导数后,近几年也越来越受到高考命题者青睐.由于相切问题的类型较多,而教材在给出相切概念时又较抽象,没有给出各种相切情形的直观图形,这间接地影响了学生对相切问题的理解和对相关问题的解决.下面笔者就直线与曲线相切的几种情形进行分析,供大家参考.一、常见的相切问题当直线与曲线相切时,许多问题都要求切线方程.对此类问题,可先设出切点坐标     

“△=b^2-4ac”的别用

我们知道，△=b^2-4ac是一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0)的根的判别式，根据△的大小可以判别方程根的个数．事实上，“△”还有其它特殊的用途，试举几例加以说明．     

导数一直线和曲线相切问题的基本策略

近年来,与导数有关的直线和曲线相切问题一直是高考命题的热点和难点.无论题目千变万化,处理这一问题的关键是理解y=f（χ）在点χ处的导数f’（χ₀）的几何意义是曲线y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的斜率.求函数y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））)处的切线的一般步骤是:①求出函数y=f（χ）在点χ₀处的导数f’（χ₀）,即y=f（χ）在点（χ₀,f（χ₀））处的切线的斜率.②由点斜式写出切线方程y-f（χ₀）=f’（χ₀）（χ-χ₀）,但要注意函数的导数不存在处的切线是与χ轴垂直的直线.例1已知函数f（χ）=χ³+bχ²+cχ+d的图象过点P（0,2）,且在点M（-1,f（-1））处的切线方程为6χ-y+7=0,求函数y=f（χ）的解析式.