斜三角形射影定理

在中学数学里,正弦定理和余弦定理是刻画三角形边、角关系的两个最常用、最重要的定理。斜三角形的射影定理也是沟通边、角关系的重要定理。有时解题,应用射影定理,比较正弦定理和余弦定理,更加方便,本文将介绍斜三角形射影定理的若干应用。射影定理三角形的任意一边等于其余两边在这边上的射影之和。即,斜三角形的射影定理可表示成: a=bcosC+ccosB.(1) b=acos C+ccosA.(2) c=acos B+b cosA.(3)     

射影定理的又一证法

射影定理:直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。已知:CD是直角△ABC斜边AB上的高,D为垂足, 求证:CD~2=AD·DB。     

射影定理的四种证法

射影定理是平面几何中大家熟知的一个重要定理,它能够帮助我们解决很多有关直角三角形的问题.在初中平面几何课本上,射影定理是利用相似三角形的性质证明的.本文给出了射影定理的另外四种证法,供大家参考.射影定理:直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项,每条直角边是这边在斜边上的射影及斜边的比例中项.如图1,即CD~2=AD·BD     

三角形“五心”定理的向量代数证法

应用向量的数量积、线性运算证明三角形的垂心、外心、重心、内心和傍心定理。     

从三角形射影定理谈起

1三角形射影定理在△ABC中,内角a,b,c所对的边长分别为a,b,c,则有a=bcosC＋ccosB,b=ccosA＋acosC,c=acosB＋bcosA.我们称以上三式为三角形射影定理.     

用三角形射影定理解题

在△ABC中,α=bcosC＋ccosB, b=ccosA＋αcosC, c=αcosB＋bcosA, 我们称以上三式为三角形射影定理．     

斜三角形射影定理的应用

斜三角形射影定理为(a,b,c为AABC三边): a=bcosC ccosB.有如下应用. 例1.△ABC中,若acos~2(C/2)     

三角形中的射影定理及应用

正弦定理和余弦定理是解斜三角形的两个常用定理．但是对于某些问题,若运用射影定理解决则更为方便．１定理与证明射影定理在△ＡＢＣ中,ａ、ｂ、ｃ分别是角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边,则有ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢ,ｂ＝ａｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡ,ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．图...     

三角形重心定理的十二种证法

三角形重心定理:三角形三条中线相交于一点(称三角形的重心).这个点到每个顶点的距离等于到这顶点对边中点的距离的二倍.”我们分别运用三角形中位线性质、平行四边形的性质、相似形的性质,直线方程,点共线的条件,线共点的条件,线段定比分点及塞瓦(ceva)定理等有关知识来分类介绍它的十二种证法。思路一:先找出两条中线的交     

三角形内角和定理的多种证法

大家都知道，三角形三个内角的和等于１８０°．对于这个定理的证明，除了课本所介绍的外，还有其他的证法．看一看，以下证法你能想到吗？已知：△ＡＢＣ．求证：∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．证法１如图１所示，过点Ａ作ＡＥ／／ＢＣ，则∠１＝∠Ｃ．∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝１８０°（两直线平行，同旁内角互补）．而∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠１，所以∠Ｂ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝１８０°（等量代换）．证法２如图２，过点Ａ作ＥＤ／／ＢＣ，则∠Ｉ＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ．而∠１＋∠ＢＡＣ＋∠２＝１８０°（平角定义），所以∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＝１８…     

三角形中位线定理的几种证法

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斜三角形射影定理在三角证明中的应用

[斜三角形射影定理] 三角形任一边等于其余两边在这一边上的射影之和,即: a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=acosB+bcosA. 斜三角形射影定理(以下简称定理)与正、余弦定理一样,在三角、几何证题中有着广泛的应用,本文各例旨在说明其在三角证明中的应用。     

比例线段的射影证法

平面几何里有关比例式的证明方法,不少资料作了专门介绍。这里我们别具一格,介绍一种特殊的辅助证法,它具有思路简捷,证题明快,格式规范等特点。本文拟从几例加以说明。例1 过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于F及E,求证:AE:ED=2AF:FB。证明:如图甲,过点C作直线CF的垂线l,把A、B、D射影于l,则AF:FB=A’C:CB’AE:ED=A’C:CD’∵CB’=2CD’∴AF:FB=A’C:2CD’=AE:2ED     

三角形中位线定理的新证法及教学启示

<正>三角形中位线定理的证明有很多种方法,如全等三角形法、相似三角形法、坐标法等,本文给出一种"旋转构造"新方法.先看两个基本事实.基本事实1如果一个三角形的三条边长为a、b、c,那么以12a、12b、12c为长度的三条线段也可构成一个新三角形!基本事实2任意三角形绕一边中点旋转180°后     

塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法. 现将两个定理叙述如下: 塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则 AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1) 梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则 AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2) 为了证明定理,先给出一个简单的引理: 若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1.     

初等几何命题的射影证法与初等证法

本讨论了射影几何中部分概念、命题在初等几何中的解释，探求射影证法向初等证法转化的一般规律．     

用向量共线定理推导三角形四心的向量形式

通过向量共线定理,结合三角形重心、外心、内心、垂心的定义,经过向量的运算,推导出三角形四心的向量形式.     

“射影证法”的改进

贵刊1988年第七期发表了郑必建同志的《比例线段的射影证法》一文,阅后颇受启发。但他所采用的垂直射影的特殊辅助证法,我认为可用更一般的射影手法,以避免在平几证题中添置过多的辅助线。该文所述的方法是:先作一条不与比例线段所在直线垂直的直线l,再将有关的点、线段垂直投影到l上,形成满足平行线截线段成比例定理之条件,使命题得以证明。例如,美耐劳斯定理: 直线     

巧用射影定理

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这个定理反映的是直角三角形中成比例的线段关系．定理在有关计算和线段的积、商的证明中有着广泛的应用，也是各级、各类学校升学考试及国内外数学竞赛的考查热点内容之一、