上楼的问题(2)——对起步进行分类

问题有人要上楼,该人每步能向上走1阶或2阶,如果一层楼有18阶,他上一层楼有多少种不同的走法? 如果用上次“让符号说话”的方法解决,一定很麻烦.现在改用另一种方法——对起步进行分类的方法试一试. 用α_n表示上n阶的走法种数,上次计算结果表明α_6=13(即上6阶有13种不同的走法). 如果只上1阶,当然只有1种走法,即α_1=1(如图1); 如果上2阶,有几种走法呢?由图2可以知道α_2=2.     

排列组合的两个性质及应用

性质1把m个a和n个b排成一列,共有Cmm n种排法.证明这个问题就是把m个a和n个b放入m n个格子,先选m个格子放入a,余下的格子都放b,故有Cmm 1种放法。例1某人走10级台阶,每步走1级或2级,7步走完,共有多少种不同的走法?解由已知可知,此人必须走3步2级和4步1级,这就相当于把3个2和4个     

递推法解排列组合问题

[例1] 走上10级的阶梯,每步可一级或两级,问有多少种不同的走法? 解法1 按每种走法中一步上两级的步数k(k=0,1,2,3,4,5)分成6类,走上10级阶梯的步数是10-k,这一类的走法数是C_(10-k)~k。由加法原理,不同走法总数为 N=C_10~0+C_9~1+C_8~2+C_7~2+C_6~4+C_5~5=89。下面是递推法。解法2 设走上n级阶梯的走法有a_n种,易知a_1=1,a_2=2,当n>2时,若第一步上一级则有a_(n-1)种走法,第一步上两级则有a_(n-2)种走法,故a_n=a_(n-1)+a_(n-2)(n≥3)。于是当阶梯级数n=1,2,…,10时,走法数依次是 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。即a_(10)=89。注意到解法2中的数列{a_n}就是菲波那奇数列,它的通项公式为     

利用递推思想解决计数问题

我们经常碰到有些计数问题看似排列组合应用题 ,但其复杂的情形常令人无从下手 ,若从元素的递增考虑 ,建立递推数列往往能迎刃而解 .例 1　有一楼梯共 10级 ,如果规定每步只能跨上一级或二级 ,要走上 10级 ,共有多少种走法 ?解　设上n级楼梯共有an 种走法 ,当n= 1时 ,一级楼梯只有 1种走法 ,a1 =1;当n= 2时 ,两级楼梯共有两种走法 ,a2 =2 ,n 1级楼梯的走法分两种情况 :第一种情况 :走完前n级楼梯有an 种走法 ,走第n 1级楼梯只有 1种走法 ;第二种情况 :走完前n-1级楼梯有an - 1种走法 ,第n级楼梯与第n 1级楼梯一步走 ,也是一种走法 .由分类…     

爱因斯坦出的题

世纪科学家爱因斯坦曾给他的朋友出了这样一道题:在你面前有一条长长的阶梯,如果你每步跨2阶,那么最后剩下1阶;如果你每步跨3阶,那么最后剩2阶;如果你每步跨5阶,最后剩4阶;如果你每步跨6阶,最后剩5阶;只有当你能够每步跨7阶时,才正好到     

阶梯问题

<正> 题目:一条长长的阶梯,如果你每步跨2阶,那么最后剩下1阶;如果每步跨3阶,那么最后剩下2阶;如果每步跨5阶,最后剩下4阶;如果每步跨6阶,最后剩下5阶:只有当你每步跨7阶时,最后才正好走完,一阶也不剩。问这条阶梯最少有     

爱因斯坦做过的题目

伟大的物理学家爱因斯坦研究过这样的数学题:一条长长的阶梯,如果你每步跨2阶,那么最后剩下一阶;如果你每步跨3阶,那么最后剩下2阶;如果每步跨5阶,最后剩下4阶;如果每步跨6阶,最后剩下5阶;只有当你每步跨7阶时,最后才正好走完,一阶也不剩.问这条阶梯最少有多少阶?(用有余数除法的知识解这道题,可以知道这条阶梯最少是119阶.)     

爱因斯坦出的题

大科学家爱因斯坦曾给他的朋友出了这样一道题：在你面前有一条长长的阶梯．如果你每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，最后剩4阶；如果你每步跨6阶，最后剩5阶；只有当你能够每步跨7阶时，才正好到头，一阶也不剩．请问，这阶梯至少有多少阶？     

变一变 思路明

一天晚上,我们家停电了。正在无聊之际,爸爸给我出了一道题:一条长长的阶梯,如果你每步跨2阶,那么最后余1阶;如果每步跨3阶,那么最后剩下2阶;如果每步跨5阶,那么最后剩下4阶;如果每步跨6阶,那么最后剩下5阶;     

孔明棋(续)

欲破解孔明棋，确实是很困难的，逆向走法与正向的走法差不多同样困难，不过逆向走法有一个好处，可以让我们找出许多奇妙的图形。这些图形除了漂亮、对称外，它让人直观地觉察到，破解寄寓于这些奇妙的图形之中，胜利伸手可得。例如：许多数学家都很看重逆向走法，因为通过它构造出许多奇异图形，这对增进思维能力是非常有益的。对于孔明棋有两个基本问题：1．它有解吗？2．如果有解，最少需要多少步可以达到。第一个问题的解答是肯定的，通常的解法是29步，下面我们给出一个26步的解法。1．十步成形走到（l）步就出现风筝形，下面只须走两…     

建立递推数列求解一类计数问题

排列组合中经常会碰到一类特殊的计数问题,看似排列组合应用题,但其复杂的情形常令人无从下手.若能根据题目特点建立递推数列则问题往往能迎刃而解.例1 有一楼梯共10级,如果规定每步只能跨上一级或二级,要走上这10级楼梯,共有多少种走法?解:设上 n 级共有 a_n 种走法,当 n=1时,一级楼梯只有1种走法,a_1=1;当 n=2时,两     

从走楼梯引出斐氏数列组合等式的一个模型解释

问题:某楼梯共有n级,每步只能跨1级或2级,走完该楼梯共有多少种不同的走法?     

有理数自测题（B）

一、填空题(每题5分,计35分)图11.若m,n互为相反数,则m-5+n=;的绝对值等于3.2.图1是“家乐超市”中“柔顺牌”洗发水的价格标签,请你在横线上填写它的原价.3.从数-6,1,-3,5,-2中任取三个数相乘,则其最小的积是.4.平方等于94的数为,的立方等于-27.5.绝对值小于5的所有整数有个,它们的积为.6.点A在数轴上距原点3个单位长度,且位于原点左侧,若将A向右移动4个单位长度,再向左移动1个单位长度,此时点A所表示的数是.7.小明同学在上楼梯时发现:若只有一个台阶时,有一种走法;若有二个台阶时,可以一阶一阶地上,或者一步上二个台阶,共有两种走法;如…     

最妙的走法

游戏道具:1条围巾,绳子,高跷(qiāo)游戏玩法:1.在赛跑过程中,你们可以用不同的走法从一个障碍物走向另一个障碍物。2.可以这样走:一个人的腿同另一个人的腿绑在一起面对面地走;蒙着双眼走;单脚跳;用围巾把两个伙伴的脚绑在一起并排走;踩着高跷走。最妙的走法     

发现联系,体会美妙——巧用“杨辉三角”解一类竞赛题

题目(重庆市2002年初中数学竞赛试题(初一))如图1,从A点到B点(只从左向右,从上到下)共有()种不同的走法.(A)24(B)20(C)16(D)12如果根据要求一种一种地去数,既麻烦又容易出错,而利用“杨辉三角”则很容易得到解决,现介绍如下:以A点为起点,按照题目的要求,渐次地寻找到达每一个点的不同走法的种数,并在相应的位置上记录下来,如图2所示.(1)从A点到C点的不同走法只有1种,A→C,记作C(1),同理得D(1),E(1),F(1).(2)从A点到G点的不同走法只有2种:分别是A→C→G,A→D→G,记作G(2).(3)从A点到H点的不同走法共有3种,分别是A→C→E→H,A→C…     

一道组合应用题的探究

习题有一台阶共10级,每次可跨上1级台阶或2级台阶,那么6步走到顶,共有多少种不同的走法?分析根据题目分析,10级台阶6步走到顶,那么必须是4步2级台阶、2步1级台阶这样才能     

落子无悔

一位父亲在同自己十来岁的孩子下棋。好胜心强的孩子一心想胜过爸爸,他睁大眼睛聚精会神地思考着每步棋的走法,手里的棋子被渗出的汗水沾湿了。好不容易想出攻势凌厉的一棋的走法,他得意地往前走了一步,孰料就在落子的那一刹那,他突然发现自己的判断出了错,这一招不啻于是主动送入虎口。他连忙要悔棋。这时,平时一贯慈祥温和的父亲却一下子变得严肃起来,他坚定地摇了摇伸出的手指,不准儿子悔棋,虽然这只不过是一场非正式的棋赛。     

排列、组合和概率学与教

分析两问都分三步完成，第一步确定百位上的数字是多少，第二步确定十位上的数字是多少，第三步确定个位上的数字是多少．但前一问的数字可以重复，所以每步都有3种，而后一问的数字不可以重复，所以三步分别为3种，2种，1种．     

一个问题引发的思考

有一楼梯共10级,如果规定每步只能跨上一级或两级,要上到第10级,共有多少种不同走法?对此,文1给出了四种解法.笔者读后受     

“设而不求”类应用题的解答策略

有一类应用题,涉及的未知数多于可列的方程数,其解法介绍如下: 一、巧设元 1.用多项式表示要求的量 例1　一个人先沿水平道路前进,继而爬到山顶,又沿 原路返回到出发点,共用5小时,已知此人在平路每小时走4 千米,上山每小时走3千米,下山每小时走6千米,求此人所 走的全程长是多少千米? 分析　题中涉及的未知量较多,可以抓住路程来设未知 数,因为平路与上山路和的2倍即全程,设其为未知数即可. 解　设平路为x千米,上山路为y千米,则全程为 2(x+y)千米,依题意,得 x 4+y3+y6+x4=5,化简得x+y=10, 所以2(x+…