新课程中的数学创新题初探

运算模型 例1设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2,[5/4]=1）．对于给定的n∈N^＊,定义Cn^x=n（n-1）…（n-[x]＋1）/x（x-1）…（x-[x]＋1）,x∈[1,＋∞],则C8^3/2=_.当x∈[2,3）时,函数C8^x的值域是_．     

一道双变量“存在性或任意性”问题的深层次探究

<正>问题已知函数f(x)=x+4/x,g(x)=2x+a．若?x₁∈[1/2,1]，?x₂∈[2,3]，使f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1/2,]1时，f’(x)=1-4/x²<0,f(x)单调减，可得f(x)在[1/2,1]的最小值f(x)_min=f(1)=5．又g(x)=2^x+a单调增，故g(x)在[2,3]的最大值g(x)_max=g(3)=8+a．     

一个数学问题的再推广

《数学通报》2004年7月号问题1504： 已知x,y,z∈（0,＋∞）,x＋y＋z=1, 求1/x2＋1/y2＋8/z2的最小值．     

老师,你为何不反思?——记一次没有准备的探究活动及随想

在一次上“导数的应用”习题课时,一开始我就提出问题： 例 求函数y=x^2＋4/x-1（x〉1）的最小值．然后叫了一个学生A板演： 解（法1） 导函数y＇=2x＋-4/（x-1）^2,令y＇=0,即2x＋-4/（x-1）^2=0,解得x=2． 见表1,当x=2时,y有最小值8．     

错在哪里？

1 陕西师范大学附中 申祝平 （邮编：710061） 题设z、Y∈R,且2x^2＋3xy十2y^2=1,试求xy＋x＋y的取值范围．解命S=xy,t=x＋y,u=xy＋x＋y=s＋t,则有2x^2＋3xy＋2y^2=1→2t^2-s=1.u=s＋t=st^2＋t-1=2（t＋1/4）^2-9/8.故xy＋x＋y的取值范围为[-9/8,＋∞）．解答错了!错在哪里？ 错解 求函数u=2（t＋1/4）^2-9/8的值域时,没有考虑自变量t（即x＋y）的聚会范围!     

选择公式求方差

1．基本公式 s^2=1/n[（x1-x^-）^2＋（x2-x^-）^2＋…＋（xn-x^-）^2] 例1已知一组数据10,8,9,x,5的众数是8,那么这组数据的方差是——．     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．     

错在哪里

1．已知不等式（x＋y）（1/z＋a/y）≥9对于任意正实数x、y恒成立,则正实数n的最小值为（ ）． A．2 B．4 C：81/16 D．8     

错在哪里

数学点P．与定点F(2,0)的距离和它到直线x=8的距离之比为1/2,求点P的轨迹方程．错解:∵c=2,a2/c=8,∴a2=16,a=4．b=(a2-c2)~(1/2)=(16-4)~(1/2)=23~(1/2)．点P的轨迹是以F为焦点,x=8为相应准线的椭圆,其方程x2/16 y2/12=1．物理有A、B两块平行带电金属板,A板带负电,B板带正电并与大地相连接,P为两板间一点．若将一块玻璃板插入AB两板间,则P点电势将怎样变化?     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

关于Diophantine方程x~4-py~4=2z~2

设素数p≡1(mod8),(2/p)4≠1,证明了不定方程x4-py4=2z2无正整数解(x,y)．     

一元一次不等式组解题新思路探究

一、解一元一次不等式组 例1 解不等式组{3（x-2）＋8〉2x x＋1/3≥x-x-1/2,并把它的解集在数轴上表示出来．     

一道自主招生试题的简证及推广

2010年浙江大学自主招生试题,题目如下： 有小于1的正数x1,x2,．．．,xn．且x1＋x2＋…＋xn=1,求证：1/x1-x1^2＋1/x2-x2^2＋…＋1/xn-xn^2〉4.     

数学问答

问题 9．过椭圆C:x2/8 y2/4=1上一点P(x0,y0)向圆O:x2 y2=4 引两条切线PA、PB,A、B为切点,如果直线AB与x轴、y轴交于M、N两点． (1)求直线AB的方程(用x0、y0表示)． (2)求△MON的最小值(O为原点)． (河北晓风)     

《分式》单元测试题

一、填空题 1．在-1/2x,1/n+2,2/x-3/y,2/x-3/y,3x~2+1/3y~3,2/x+2-(y-2)~2,2x/π+2中,属于分式的是 2．在分式4x/x~2-1中．当x____时,它有意义；在分式|x|-3/x~2+3x中．当x____时．分式的值为0． 3．化简：-x/x~2-3x·(x~2-6x+9)=____． 4．若x-1/x=6,则x~2+/x~2的值为____． 5．某油库有汽油 mL,计划每天用去nL,实际用油每天节约了dL,那么这些油可以用____天,比原计划多用____天． 6．当x=____时、代数式1/x+2的值比代数式1-x/2+x的值小2．     

不等式综合问题的求解思维策略

1．构造法1．1构造函数法例1已知x>0,求证:x 1/x 1/x 1/x≥5/2．分析:注意到正数x、1/x二互为倒数,故x 1/x≥2,于是所证不等式等价于证明函数f(t)=t 1/t(t≥2)的值不小于5/2,可构造函数并使用函数的单调性来证之．     

一道高考题蕴含的斜率模型的运用

2014年高考辽宁卷的一个选择题是很有意思的一个问题,涉及到一个斜率模型k=[f（x_1）-f（x_2）]/（x_1-x_2）,由此引出了一系列的问题。让我们先看看这个问题：例1．（2014年高考辽宁卷理科数学第12题）已知定义在[0,1]上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0;②对所有x,Y∈[0,1],且x≠y,有｜f（x）-f（y）｜＜1/2｜x-y｜．若对所有x,Y∈[0,1],｜f（x）-f（y）｜〈k,则k的最小值为（ ）A．1/2.B.1/4.C.1/2π.D.1/8.     

异分母应用四例

对于异分母分式加减运算或求值问题,一般是利用最简公分母解决,具体做时要针对具体情况具体分析．以下列举四例．例1 已知x>0,y>0,Q1=x y/2,Q2 =2xy/x y．比较Q1、Q2的大小．解此题可直接作差． Q1-Q2=x y/2-2xy/x y =(x y)2/2(x y)-4xy/2(x y)=(x-y)2/2(x y)≥0,     

挖掘三角函数中的隐含条件

1 挖掘三角函数定义域中的隐含条件 例1 求函数f(x)=2tanx/2/1-tan2x/2的最小正周期． 错解:∵tanx=2tanx/2/1-tan2x/2∴f(x)=tanx,∴函数f(x)最小正周期T=π．     

2010年全国高中数学联赛广东省预赛

一、填空题（每小题8分,共64分）1．方程logx/2x＋sinx=2在区间（0,π/2]上的实根个数为____．