单调有界数列界的确定方法

在数学分析中 ,利用单调有界收敛原理证明数列收敛是一个难点 ,尤其是界的确定。本文主要介绍单调有界数列界的确定方法     

有界数列必有单调的收敛子列

本文把体现实数的连续性的定理“有界数列必有收敛数列”加强为“有界数列必有单调的收敛子数列”。     

有界数列必有单调的收敛子列

本文把体现实数的连续性的定理“有界数列必有收敛数列”加强为“有界数列必有单调的收敛子数列”。     

关于囿变数列及其特征的若干注记

囿变数列又称为有界变差数列,在函数论中有广泛的应用.本文主要对囿变数列的特征作一些探讨,我们发现:它与单调数列关系密切,而且与有界变差函数十分类似,并得出如下关系:有界数列类(∪)收敛数列类(∪)囿变数列(∪)单调有界数列.     

无穷积分的比值判别法及其推论

借助数列的单调有界定理 ,利用正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界 ,将正项级数的D’Alembert判别法推广到无穷积分     

数列单调性的常用证明方法

单调有界原理是研究数列收敛的有力工具,而运用这方法时的难点往往集中在数列单调性的证明上。证明数列的单调性有多种途径,本文归纳、整理了几种常用方法。首先要了解数列单调的定义及其等价的     

一类单调数列极限的求法

应用单调有界原理求数列的极限,有时会遇到既可能单调增加也可能单调减少的数列,增减性不容易确定,这里介绍了一种不用确定增减性,只需证明数列的单调性及有界性,应用单调有界原理求极限的方法.并举例说明两种类型数列极限的求法.     

用聚点来描述的数列的敛散性

通过对数列的聚点的讨论,给出并证明了一个判别数列敛散性的结论,然后应用结论证明数列收敛的单调有界定理与柯西收敛准则.     

实数连续性九个定理等价的证明

用闭循环回路的方式证明了实数连续性的闭区间套定理,确界定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛准则,单调有界数列存在极限定理,戴狄金基本定理,界点定理的彼此等价性。     

均值不等式在一类数列收敛证明中的应用

应用单调有界定理证明一类数列的收敛过程中,一般高等数学和数学分析教材中,处理的思路方法不易想到或过程较为繁琐.利用均值不等式和单调有界定理分析证明三个类似的数列级数的收敛性,方法比较简单.     

“单调有界函数必有极限”吗?

由“单调有界数列必有极限”不能得到“单调有界函数必有极限”的结论,因为数列的极限过程是确定的,而函数的极限过程则是多种多样的。     

实数集连续性定理的证明

直接证明单调有界数列必收敛定理与其它实数连续性定理的等价性。     

一类迭代数列敛散性判别的新准则

判别数列收敛性的方法有多种,但对迭代数列一般采用定义或单调有界数列必有极限的定理来判别.用定义法判别是学生最感困难的,用定理证明时,单调性和有界性的证明也并不容易.本文介绍一种判别迭代数列收敛性的方法,在判别收敛性的同时还可得到其收敛值.     

单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明

单调有界数列必有极限是极限理论中一个很重要的结论，而柯西收敛准则则以另一种形式表达了这一结论。本就是利用数学理论证明了这两个定理是等价的。     

关于Cauchy收敛原理的几何解释在教学中的应用

微积分(数学分析)的教学中有很多经典的理论,例如实数的完备性的六大定理.其中,确界存在定理、单调有界必有极限、区间套定理、聚点存在定理的几何意义非常明显,教师在教学中配合几何解释可以加深学生的印象.比较有难度的是Cauchy收敛原理,它是六大定理中唯一一个充分必要的结论.与收敛的定义相比,Cauchy收敛准则不需要知道收敛到什么,而是仅从数列本身的性质来判定该数列是否收敛,应该说含金量最高,特别是在研究函数项级数的一致收敛性的问题上具有不可替代的作用.它对后续课程,例如复变函数、泛函分析等也都意义重大.但是由于Cauchy收敛准则的通常证明几何意义不明显(见证明1),所以不太适合几何解释,在教学中不太有利于想象,教学效果也就一直不太理想,无法给学生留下深刻印象.通过多年的教学总结,我们对这个定理的几何意义的解释是,收敛的数列一定有界,有界不见得收敛.但是,有界的数列如果不收敛,一定不止一个聚点,换句话说,一定存在两个不同的聚点.但柯西收敛原理是充分必要条件,所以,有两个不同的聚点的肯定不是柯西列.本文恰恰是根据这个思路,给出了几何解释法证明数列的柯西收敛原理的思路.这种方法比较直观,容...     

对数列{(1+1/n)n}单调有界性证法的欣赏

数学分析中单调有界定理告诉我们,在实数系中,有界的单调数列必有极限.所以只要证得数列{(1+1/n)n}是单调有界的,就能说明它的极限存在.文章给出了五种不同的方法来证明它的单调有界性.每一种方法都有它自身的特点.     

对数列{(1+1/n)n}单调有界性证法的欣赏

数学分析中单调有界定理告诉我们,在实数系中,有界的单调数列必有极限.所以只要证得数列{(1+1/n)n}是单调有界的,就能说明它的极限存在.文章给出了五种不同的方法来证明它的单调有界性.每一种方法都有它自身的特点.     

调和级数案例教学

由一个数学问题引出了调和级数,并通过对调和级数的敛散性的研究,讲授了级数收敛的定义,子列收敛定理、正项级数收敛的判断准则、单调有界原理以及欧拉常数等高数知识,最后介绍了如何利用欧拉常数计算一些数列的极限值.     

谈谈单调有界定理

单调有界定理是极限理论中的一个重要定理,它在数学分析中常用于数列及函数的收敛性,实际上除此之外,单调有界定理与实数完备性也密切相关。本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用,即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理。     

试论单调有界定理及其应用

单调有界定理是极限理论中的一个重要定理,它在数学分析中常用于数列及函数的收敛性,实际上除此之外,单调有界定理与实数完备性也密切相关。本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用,即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理。