逆向思维在数学教学中的运用

一、从“特殊”到“一般”有些数学问题,就其本身的数量关系,直接寻找解题途径相当困难,就是由于特殊的数（或量）妨碍了我们从一般性去考虑问题所致。这时,如果我们采用从“特殊”到“一般”的思维方法,去寻求解题的途径,原题自然就解决了。例：求证１３２５＞２５...     

一道课本习题结论的应用举例

数学家波利亚说过：“教师的首要职责之一,就是不要给学生以下述错误,数学题目之间很少有联系．”又说：“在一个问题中找出关系式,我们即可把它用于求解另一个问题．”我们在解题教学中,如果能够注意这一名言,那么就可以达到事半功倍的效果．现根据课本,例说如下：题目　过抛物线ｙ２＝２ｐｘ的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为ｙ１、ｙ２,求证：ｙ１ｙ２＝－ｐ２．（课本《平面解析几何》（必修）１０１页第８题）证明　（略）利用上题的结论很容易解决下面几个问题．例１　过抛物线焦点的一条直线与它交于两点…     

“巧台”背后的必然——“红色旅游”题的启示

2005年春，我们在分析高考“综”试题的走向时，认定“红色旅游”是一个极其重要的问题．出题的可能性很大。于是．在为成都市命制“综”诊断性测试卷时，便在第37题（中部崛起题）中设计了如下一个小问：“江西省正大力发展红色旅游，请你为去江西的旅游选择三个必去的景点．并说明必去的理由。”虽然后来四川考生使用的“综”Ⅲ卷中没有“红色旅游”方面的题目，但综观各地试卷，可以清楚地看出“红色旅游”的确是2005年高考的一个热点和亮点，其突出表现是北京“综”卷第40题（35分）、天津“综”卷第39题（40分），上海“综合”卷第16题（14分）．而且都是分值很高的大型综合性题目。这在很大程度上印证了我们当初的判断是有道理的。     

1997年高考第25题条件探析

１９９７年高考第２５题条件探析张希海（河北滦县新站中学，０６３７００）１９９７年全国高考统一招生物理试卷第２５题（原题见本期第３７页）是一道看似超纲却没有超纲，是一道应用动量守恒定律和机械能守恒定律解题的好题．它很好地考查了学生的各种能力，特别是分析...     

上好辅助线的第一堂课

添加辅助线是解几何题的有效方法之一。为什么要添？怎样添？添的依据是什么？有什么规律？这一系列问题虽不可能在一堂课里完全解决，但上好添辅助线的第一堂课就显得尤为事要了。初中《平面几何》中的第一条辅助线是从下面的例题引出的。已知：DCAB，AD／／BC。求证：（或）。分析：引导学生从两方面考虑。一是从求证（命题的结论）去想：要证两角相等，就要用到两角相等的有关公理、定理、定义（即两个具有公共顶点且相等的角：对项角相等，一个角的平分线将它分成二等角；不具有公共顶点的角：两直线平行同位角或内错角分别相等）；…     

实验·猜想·论证——谈一类数学问题的解决

常遇到这样一类问题:它非常规,不是课本内容的简单模仿,不易靠熟练操作就能完成,需要较多的创造性;它的结论往往不是纯数学化的“已知”、“求证”模式,而是给出一种情景、一种实际需求,要解答者能因题而异,自己预测结论,设计数学模型给予解决。这类问题解决的思路可概括为:实验、猜想、论证。以下举数例以作说明:     

传统数学题的情景性改造

在长期的教学实践中,笔者发现对于传统的数学问题如果借助于创设情景加以改造,则会诱发学生自觉地发现并提出问题,进而也可以激发学生解决问题的浓厚兴趣。 1.借助于一般化 所谓一般化,就是“从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合,或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大集合”(波利亚语)。它是人们认识客观世界的一个重要方法。对于数学问题,如果我们能够借助于创设观察、归纳、猜想的情景,让学生借助于一般化自主提出问题,则对于问题的解决以及学生思维能力的培养都大有稗益。 题1-1 求证:1~3+2~3+3~3+…+n~3=(1+2+3+…+n)~2。 这道传统的题目,如果我们仅仅运用数学归纳法予以论证,则许多学生会感到纳闷:结论是哪里来的?如果我们为此问题创设一个归纳、猜想的背景,将其改编为下题,则毫无疑问会大大增加学生探讨问题、解决问题的兴趣。 题1-2 仔细观察以下各式,你会得到什么样的结论?能证明你的结论吗?     

超“纲”不超“标”——从2008年全国文综卷历史试题说开去

2008年全国文综历史试题中,仍然存在“超纲”现象。怎么看待试题的“超纲”现象？为什么几乎每年高考后都会有老师尖锐地指出这一问题,而来年依然会出现命题“超纲”？面对这一现象,我们应该如何应对？笔者认为,我们应该结合新课程改革进行深入、冷静的思考。     

加深理解 消除误解

读了贵刊1999年第9期“如何理解洛伦兹力的做功问题”一文，受益匪浅．原文作者认为该题超纲，不宜作高考模拟题．但笔者认为此题很有训练应用价值，许多的高考复习材料中也均有此题及其变形，其题目功能可见一斑．此题之所以让学生产生洛伦兹力做功的错觉，是解法误导造成的．若理清思路，规范步骤，就可以避开“超纲”之疑．     

提出数学问题的艺术

一５０００５ｘ－３０００３（１００－ｘ）的最小值。个世纪前，大数学家希尔伯特指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。”问题是数学的灵魂，没有问题就没有数学，没有问题就没有数学的发展。有问题、有猜想，才能吸引人们去研究，去革新方法。在数学学科中，数学问题贯穿数学学习始终。因此，在数学教学中，艺术地提出问题，有效地利用数学问题，让学生在课堂上独立地、积极地进行认识活动是很有益的。教师在选编试题、习题中，在批阅作业、答疑中，会接触或提出许多问…     

“哥德巴赫猜想”与陈景润先生

1“哥德巴赫猜想”问题1742年,德国数学家切爱斯坦·哥德巴赫（ChristianG0chach1690－1764）在和好友、瑞士大数学家莱郎哈德·欧拉（Euir1707－1783）的通信中,提出两个关于整数和素数之间关系的推测：（A）每一个不小于6的偶数都可以表示成两个奇亲数之和;（B）每一个不小于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和。这就是著名的“哥德巴赫猜想”。通常我们把猜想（A）称为“关于偶数的哥德巴赫猜想”,把猜想（B）称为“关于奇数的哥德巴赫猜想”。欧拉虽然没有能够证明这两个猜想,但对它们的正确性是深信不疑的,他在1742年6月对日…     

严密推理与猜想求证

在解题过程中思维要有条理性、逻辑性，求证过程要具有严密性．但这样往往消弱了猜想求证方面的能力．殊不知，科学史上的许多发现、发明、假设、模型、猜想等都基于此．比如1913年玻尔提出的原子模型，1869年门捷列夫排出的元素周期表等等，都恰当地运用了猜想求证的方法．猜想求证能简化思维过程，迅速找到解决问题的途径．我们在解化学题中既应灵活地运用猜想求证，又应在猜想求证中做到严密推理．     

几何证明的思维过程

几何证明的思维过程,在本质上就是寻求建立“已知”和“求证”之间的逻辑联系的途径的过程,它大致有以下三个环节:1．审题,弄清题意。这一步主要解决以下两个问题:正确划分论题的“已知”和“求证”;画出相应的几何图形。这两点是证明的依据和目标。因而“已知条件是什么?求证是什么?”“图形具有一般性吗?”就成为这一思考活动的中心。几何命题可以千变万化,但证题的分析活动总是从     

数学解答题的解题策略

数学解答题的解题策略艾龙彪（湖南省攸县一中４１２３００）解答题包括求解题与求证题，寻求符合已知条件的某种未知数的题型称之为求解题，常见的有“计算题”、“化简题”、“判断关系题”等．根据已知条件推证所给出的结论正确性的题型称之为求证题，又称为证明题．本...     

证明线段和(或差)问题的思路

证明线段和（或差）问题的思路□靖远县河靖中学周尚学九年义务教育三年制初中课本《几何》第二册第８５页Ｂ组第２题是一个线段和（或差）的证明题，它是教学的一个难点．现就该种题型的解法介绍两种思路１结合图形把求证线段和（或差）的问题，转化为求证线段相等问...     

由一道课本习题想到的

有一位科学家说“一个专心认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目,去帮助学生发掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好象通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域．”课本中的许多例题、习题都是我们解决一些疑难问题的“原题”．所以我们在平时的教学中不能就题论题,而要进行深入的研究和探索,     

椭圆中的视角——对一道课本习题的探究

美国著名数学教育家G．波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”人教版《高中数学》第二册（上）复习参考题八第6题：“在椭圆x^2/45＋y^2/20=1上求一点，使它与两焦点的连线互相垂直。”这是一道非常基本的习题，本文将对此题进行两个方面的探究。     

力学中的科学探究题

科学探究题一般由提出问题、进行猜想与假设、制定计划与设计实验、开展实验与收集证据、分析与论证、评估、交流与合作等要素组成．综观2005年全国各地的中考试题，几乎都有科学探究题的存在（这类题往往与实验或计算连在一起，名为“探究和实验题”或“探究和计算题”等）．细分一下，“探究题”主要有下列几种类型．     

数学开放式教学应注意的问题

１．扎实双基，孕伏开放题的教学。我们说的开放题既源于基础题又是基础题的引申。它的教学，首先要求教师必须让学生掌握教材规定的双基内容，否则开放题的教学就犹如空中楼阁。只有让学生切实掌握了基础知识，才能为开放题的解答作好铺垫。如“小红有红花６朵，小芳有红花４朵，＿＿＿＿＿＿？”这是一道问题开放题，要想使学生能够从多角度去考虑，提出可能提出的问题，就必须先教学生掌握好和、差基本应用题的特征和解题方法，学生才能提出有关求和、求差的问题；也只有学生明白“同样多”的含义后，才能引导学生提出诸如“小红拿几朵花…     

谈“中国的数学问题解决”中的若干问题

1背景1．1问题的提起文[1]正式提出、分析、讨论了“中国的数学问题解决”，指出中国解题教学的特点是：（1）注重研究数学解题思维过程．（2）强调数学方法论研究．（3）提倡数学解题策略研究．（4）应用题、数学建模教学研究．（5）开放题、情景题的教学研究，及其在考试中的大规模运用．顾持流研究员就中国数学教学存在的问题形象地指出：学习数学要吃“三个馒头”．前两个馒头是基本概念和基本规则，最后一个馒头是“创造性的问题解决．”西方教育认为第三个馒头重要，只吃第三个馒头，那些没有吃前两个馒头的大多数学生就吃不饱了，于…