求解一次同余式组的几种新方法

笔者提出了两种求解一次同余式组的新方法,这两种新方法要比中国剩余定理简便得多。同时还给出了一种求解一般一次同余式组的简便方法。     

详析一次同余式求解定理的证明

一次同余式求解定理的证明,在各版本的数论课本中均有介绍,但跳跃性都比较大,使读者在学习过程中会有很多疑问,本文就该定理给出详细的思路分析与证明过程.     

一类特殊的同余式组的求解公式

在同余式组的求解中,我们一般是运用孙子定理进行求解。但是对于一些特殊类型的同余式组,例如:型如x=5(mod 9),x≡5(mod12),x≡5(mod13),这三个同余式构成的同余式组,我们很容易知道其解为:     

一元一次同余式的解法

一元一次同余式的解法,是学生不易掌握的问题,当(a,m)=1时,若a,b＜m,(a,b)=1,且模数较大,可取余;若a,b＜m,(a,b)=1,且模数较小,用欧拉定理;若(a,b)=1,且a,b中至少有一个数大于m,利用同余知识,将a,b化小;若(a,b)≠1,约去两端的公因数;当(a,m)=d＞1时,用d去除同余式,再按(a,m)=1的情况去解.     

一次同余式组的解法

同余的理论是初等数论里的一个重要课题,它要解决的是如何确定一个同余式(或同余式组)的解的个数与解的方法。这里着重介绍一下一次同余式组的解法。一孙子定理我国古代的《孙子算经》(纪元前后)里提出并解决了“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数。     

别解一次同余式组

笔者在教学中注意到以下两个问题 :问题 1　求所有能被 7整除且被 11除余 2的三位数之和 .问题 2　等差数列 5 ,8,11,…和等差数列 3,7,11,…前 10 0项中有多少个相同项 ?并求所有相同项的和 .这两个问题都是最基本的等差数列问题 ,要解决它们都需要找出满足题中所给条件的数列的通项 ,而找出通项可有两种方法 :法 1　多写出一些项 ,从相同项中找出规律 ,以达到解题目的 .法 2　两个问题都是等差数列找相同项 .以问题 2为例 ,数列 5 ,8,11,…通项为ａｎ =3ｎ + 2 ,数列3,7,11,…的通项为ｂｎ =4ｎ- 1.显然数列 {ａｎ}是每一项被 3除余 2的自…     

一次同余式的另一解法

关于一次同余式ax≡b(modm)解法,在“初等数论”的书中,一般都转化为解二元一次不定方程ax+my=b.本文将类比一元一次方程的解法,介绍一次同余式的另一解法.对于同余式的概念和同余式的性质,设想读者已知,这里不再赘述.定义1 设a,b是整数,且m不能整除a,形如ax≡b(modm)的式子称为模m的一次同余式.如果整数c使ac≡b(modm)成立,称x≡c(modm)为一次同余式ax≡b(modm)的一个解.求出所有的适合一次同余式ax≡b(modm)的x的值,称为解一次同余式.     

二次型问题求解策略

二次函数是高中数学中最基本、最简单的函数,同时也是其他数学知识的载体.二次型问题是高考经久不衰的热点问题之一.在高考中,主要考查的知识点有:①二次函数的图象与性质;②二次函数、二次方程与二次不等式相互转化的关系;③二次函数的最值问题;④二次函数根的分布问题.题型常常     

二元一次同余式的L型瓦

本文研究了二元一次同余式及其解,我们讨论了它的可解性,并由此给出了与之有关的L型瓦的构造方法,进一步证明了这种L型瓦的所有值构成一个模N最小非负完全剩余系,从而对二元一次同余式给出了一个比较完善的解法．     

二次型问题的求解策略

通常称关于“二次函数、二次方程、二次不等式”的问题为二次型问题．二次型问题是中学数学的重要内容，也是历年高考命题的重要考点．但如何熟练、灵活地掌握好这些内容并非易事，因此有必要研究二次型问题的求解策略．     

一类二次型条件极值的求解

从拉格朗日乘数法入手，讨论一类二次型的条件极值问题，给出了主要结果，并应用它求解多元函数条件极值问题．     

二元一次不定方程与一次同余式的关系

本通过对二元一次不定方程求解方法的讨论及一次同余式解法的讨论，找出二之间的等价关系，并进一步阐明用同余法解二元一次不定方程的简便性。     

关于二项同余式的几个注记

在模m有原根的条件下，给出了二项同余式x^2=a(modm)有解时解的一般形式及相应性质，顺便给出了质数模p的n次剩余的几个性质。     

关于二项同余式的几个注记

在模m有原根的条件下，给出了二项同余式xn≡α（modm）有解时解的一般形式及相应性质，顺便给出了质数模p的n次剩余的几个性质．     

模为素数的三次同余式的解法

圆满地给出了同余式ｘ＾３≡ａ（ｍｏｄｐ）的解法,这里ｐ为大于３的素数,ｐトａ。     

一个同余式

设p为奇素数,证明同余式∑k=1^[p/3]（-1)^k/k≡1/2∑k=1^p-1/21/k|1/2∑k=1^p-1/2(1-3)^k/k(modp)。     

一次同余式组的一种简便解法

对于那些模很大并且不易判断是否两两互素的一次同余式组ｘ≡ａｉ（ｍｏｄｍｉ）,其中１≤ｉ≤ｋ,给出一种新的简便求解的方法,使它更适宜于在计算机上编程序实现,而不必像传统解法中那样对所有的ｍｉ进行标准素分解,同时还要预先判断同余式组是否有解