正方体与它的平面展开图

正方体在我们日常生活中 ,随处可见 ,其形状平整、对称 ,使人赏心悦目 .用怎样的平面图形才能折成正方体呢 ?这就是我们要讨论的正方体的平面展开图问题及其它有关问题 .例　下面哪些图形是正方体的平面展开图 ?分析 :逆向考虑 ,看这些图形能否拼成正方体 .我们先来考察图 1,将 C作为下底面 ,设想各面折合起来 ,发现 E和 C是对面 ,B和 D是对面 ,A和 F是对面 ,为方便起见 ,记为 (E,C) ,(B,D ) ,(A,F ) ,故图 1是正方体的展开图 .进一步来看 ,A与 F只要处于B— C— D— E的两侧 ,它们都是对面 .图 1　　　　　图 2　　　　　图 3图 4…     

浅谈棱锥体积的计算方法——从一道高考立几题谈起

1997年全国高考数学(23)题是一道以正方体为背景的立体几何题: 如图1,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,E,F分别是BB_1,CD的中点。 (Ⅰ)证明AD⊥上D_1F; (Ⅱ)求AE与D_1F所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A_1FD;     

从'97全国高考立几题谈锥体体积计算方法

1997年全国高考数学(23)题是一道以正方体为背景的立体几何题。题目:如图:在正方体ABCD—A_1B_1C_1D_1中,E、F分别是BB_1、CD的中点。(Ⅰ)证明AD上D_1F;(Ⅱ)求AE与D_1F所成的角;(Ⅲ)证明面AED⊥面A_1FD_1;(Ⅳ)设AA_1=2,求三棱锥F—A_1ED_1的体积V_(F-A_1ED_1)。     

数学图形选择题新视角--从2000年高考的两道数学试题谈起

20 0 0年高考数学试题有两道灵活新颖的图形选择题 :( 1 )函数 ｙ =-ｘｃｏｓｘ部分图象是 (　　 )(Ａ)　　　　　　　　　 (Ｂ)(Ｃ)　　　　　　　　　 (Ｄ)( 2 )如图 ,Ｅ、Ｆ分别为正方体的面ＡＤＤ1Ａ1、面ＢＣＣ1Ｂ1的中心 ,则四边形ＢＦＤ1Ｅ在该正方体的面上的射影可能是。(要求 :把可能的图的序号都填上 )①②　　　　　　③　　　　　　④(该填空题实际是多项选择题 )这两道试题分别代表了两类图形选择题 ,为我们展开了图形选择题的新视角。( 1 )是给出函数的解析式 (或方程、不等式 ) ,选择其对应的图形 ,即“式———图对应” ;( …     

正方体中的趣味数学(初一)

1．正方体的展开图例1 A、B、C、D四个正方体的可见部分如图1．右边是其中一个正方体的侧面展开图,那么它是正方体的展开图．图1 (A) (B) (C) (D) 分析由侧面展开图知,(D)正方体的侧面展开图不合题意．同时由侧面展开示意图,以 (?)中心,已知三个面的排列顺序,可知(?)和 (?)是相对的两个面,因为(A)与(C)两个正方     

构图巧解 正四面体——构造正方体速解正四面体问题

我们知道,正方体ABCD-A1B1C1D1中,以A、C、B1、D1为顶点四面体是正四面体,对于正方体我们比较熟悉,因此对于涉及正四面体的问题,可以构造其相应的正方体,从而转化为解决正方体的相关问题.兹举例加以说明.【例1】如图1,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于().A.90°B.60°C.45°D.30°解:由题意,三棱锥S-ABC是正四面体,将它放在正方体AMBN-DCGS中(如图2),易见SC的中点E与AB的中点F的连线恰好是正方体的高,故EF∥AD,异面直线EF与SA所成的角就是DA与SA所夹…     

《丰富的图形世界》考点展示

考点1:生活中的立体图形例1(2005年浙江丽水)如图,将图中的阴影部分剪下来,围成一个几何体的侧面,使AB、DC重合,则所围成的几何体图形是()解析:通过观察会发现答案应为D.例2(2003年贵州贵阳)一个正方体的每个面分别标有1、2、3、4、5、6.根据图中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字,可推出“?”处的数字是.解析:仔细观察正方体A、B、C三种状态,不难发现:标有1的面与标有6的面相对,标有2的面与标有5的面相对,标有3的面与标有4的面相对,且1、2、3所在的三个面两两相交,1、4、5所在的三个面两两相交,所以4、5、6所在的三个面两两相交.故…     

浅析立几识图创新题

近年来在高考试题与各地模拟试题中 ,立几中有关识图问题出现了许多创新题型 .这类题取材广泛 ,构思新颖 ,趣味性浓 ,入口宽 ,思维量大 ,能较深刻地考查学生的数学基础知识与空间想像能力、观察能力、直觉思维能力、创造性思维能力等 .本文对此作一介绍 ,以抛砖引玉 .1 .射影类此类题从识图角度来考查学生有关的射影知识及观察能力、空间想像能力、直觉思维能力等。例 1　 (2 0 0 0年全国高考题 )如图 ,Ｅ、Ｆ分别为正方体的面ＡＤＤ1Ａ1、面ＢＣＣ1Ｂ1的中心 ,则四边形ＢＦＤ1Ｅ在该正方体的面上的射影可能是图中的(要求 :把可能的图的序号…     

“探索图形”教学实践与思考

"探索图形"是人教版教材五年级下册的综合与实践课,这节课要解决的问题是:用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体后,把它们的表面分别涂上颜色(如图1)。(1)(2)(3)中,三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少块?按这样的规律摆下去,第(4)(5)个正方体的结果会是怎样的呢?     

关于正方体表面展开图

有关展开正方体表面的问题 ,屡见于各地模拟试题、竞赛试题或高考试题中 .例 1　 ( 2 0 0 2年上海春季高考题 )图 1是一个正方体表面的一种展开图 ,则图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对 .例 2　 ( 2 0 0 3年“通讯杯”高中数学综合应用能力竞赛题 )将一个各面上分别标有数字1,2 ,3 ,4,5 ,6的正方体表面按不同的方向展开 ,下面 4个图中有 3个图是该正方体的表面展开图 ,则不是该正方体表面展开图的图形是 (　　 )解决上述问题的基本思路是凭直觉想象 ,将展开图还原成正方体 .例 1中 ,以第二排第 3个正方形面为底面…     

规律是解题的指南

同学们要想把所学知识应用到实践中 ,不是一件易事 ,但也并非做不到。只要善于探索和发现规律 ,就能在解题时避免盲动和茫然 ,从而达到事半功倍的效果。现就 (北师大版 )第一章《丰富的图形世界》中 ,关于正方体与长方体的展开图的折叠规律举例如下 :图 1例 1　图 1是正方体的平面展开图中的一种 ,请按要求回答问题 ,并总结出规律。如果面A在左面 ,C面在下面 ,哪些面分别在右面、上面、前面、后面 ?解 :按要求可把图 1折叠成图 2 ,经过折叠和观察 ,不难发现这样的规律 :图 1中的面A与面D隔着长方形 BC 折叠成正方图 2体后 ,它们是对面 ;…     

巧算涂色部分的面积

[题目]一个摄影师把14个边长为1米的正方体木箱摆成如下图所示的形状,并把露出的部分涂上了颜色。求涂色部分的面积。[一般解法]分散求解。最上面的正方体木箱露出了5个面,面积是1×1×5=5(平方米):中间4个正方体木箱露出的面是2×4 4=     

30分钟智力冲浪

1.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如图,一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,“程”表示下面,则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的 2.如图所示,4个半径为Ictn的圆紧紧地放在一个正方形内,则阴影部分的面积是_cIn,(保留小数两位).嗽王黝刁 第1题图第2题图第3题图第4题图 3.图中阴影部分的面积是 4.如图,立方体的每个角都被切掉(图中仅画了两个),那么所得到的几何体的棱有()条, (A)24(B)30(C)36(D)12 5.M表示一个两位数,N表示一…     

能否围成正方体

关于给出6个相连的正方形组成的平面图形,经过折叠能否围成正方体的问题,在本刊2005年1~2期《正方体表面展开图的辨别》一文中已有说明.在此以另一法献给同学们.本文以空间想象为主来判断所给6个相连的正方形能否围成一个正方体.图1例1下列各图中,不是正方体表面展开图的是().解析因为正方体有6个面,它们分别是上、下、左、右、前、后面.每两个面互为对面.在正方体的表面展开图中,若某两个面在同一条线上且相隔一个正方形,则容易想象,折成正方体后这两个面一定是对面.在实际操作中,首先在6个正方形中标出后面(最好是标中间位置的正方形,或者…     

找正方体展开图相对的面

将正方体表面沿某些棱剪开 ,展成一个平面图形 ,有 1 0余种展法 .在变化多样的平面展开图中 ,找出折成正方体后某个面的对面 ,给本来就抽象的空间思维增加了难度 .解决这个问题时 ,可按以下步骤寻求规律 .1 .将正方体的展开图去掉 3个面 ,留下如图 1的 3个正方形 .根据这 3个正方形位置的特点得出 :在一条直线上的 3个正方形中两端的 2个正方形就是相对的 2个面 ,如图 2中的 1与 3、2与 5、4与 6分别是相对的面 .2 .展开图如图 3时 :即正方体平面展开图中没有 3个正方形在一直线上 ,但通过观察 ,发现折叠成正方体后 ,1和 3连接 ,2和 4连接 ,…     

把握联系引导直觉——由一道习题教学引发的思考

在教学长方体、正方体的复习课时,一位教师通过巧妙诱导,使原本极为普通的一道习题成为培养学生直觉思维的好素材,给人以颇为深刻的启示。题目是这样的: 把一个六面都涂上颜色的正方体木块,切成27块大小相等的小正方体木块(如下图)。请数出其中: (1)三面涂色的小正方体有几块?(2)两面涂色的小正方体有几块? (3)一面涂色的小正方体有几块?     

巧构正方体 速解高考题

一、将正四面体补成正方体例1(2006年山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为()(A)4273π(B)62π(C)68π(D)264π解析:根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体,且棱长为1.以此正四面体来构造正方体,使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线,如图2.则正方体的棱长为22,正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为26.又正方体的外接球也为正四面体的外接球,所以外接球的半径为46.所以,V球=43πr3=43π(46)3…     

正方体的表面展开图——实验与研究

实验将一个正方体形状的硬纸盒剪开一个面(如图1,沿着三条棱 AB、BC、AD 剪开,将上底面沿着棱 CD 翻转),然后再如法恰当地剪开其他各个面并翻转、摊平,便得到正方体的一个表面展开图(如图2).     

解读新高考中的“三视图”

2003年4月教育部正式颁布实施了《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》).依据《标准》编写的《普通高中课程标准实验教科书·数学》于2004年秋季开始在山东、广东、海南、宁夏进行实验,2005年秋季又扩大到江苏,其中高中数学的经典内容“立体几何”在新课程中新增加了一些内容:平行投影,中心投影,三视图.这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接,增加这部分内容的主要目的是进一步认识空间图形,通过三视图以及空间几何体与其三视图的互相转化,对空间图形有比较完整的认识,培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力,更全面地把握空间几何体.1三视图的概念三视图包括主视图、左视图和俯视图三种图形,它是把一个空间几何体,从不同角度观察得到的图形画到平面上的一种方法,其中“视图”是把物体按正投影的方法向投影面投射时所得到的投影面.用三种视图刻画空间物体的结构,三种视图合成为三视图.2三视图的题型研究题型1由实物图画三视图例1(2000年全国高考)如图1,E,F分别为正方体的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是.(要求:把可能的图的序号都填上)方法指...     

手脑并用——做正方体的表面展开图

师:手脑并用可以增强人的思维能力.在活动中学数学,乐在其中.现在研究怎样做正方体的表面展开图.图1生:好.师:(拿出一个正方体)请先观察一下正方体,它有些什么特点?生:它有6个面,12条棱,8个顶点.每个面都是同样大小的正方形.师:那它的表面展开图也应该是6个同样大小的正方形了.6个正方形合成的表面展开图,每两个正方形拼合处有一条公共边……生:正方体表面展开图中应有5条公共边.师:很好,这是一个重要发现.那么,要把一个正方体的表面剪开展平,就要剪开7条棱.如何剪呢?生:我们每天打开文具盒,总是掀盒盖.我想先剪开上盖.师:这是个好主意.这已…