互成角度的两平面镜成像问题的讨论

夹角为θ的平面镜M和N之间放置一物点P,由反射所成的虚像设为K个,这些像均分布在同一个圆周上,像的总数K=[(180°-α)/θ]+[(180°-β)/θ]。当180°/θ为整数时,K个虚像中有两个像重合,故只有K-1个虚像能被看到;当180°/θ不为整数时,K的值既取决于平面镜M和N之间的夹角,还与物点P所放位置有关。     

利用旋转变换,寻找求解正方形的解题途径

把图形F绕定点O按一定方向旋转一个角度θ而得到另一个图形F′的变换R称为旋转变换.特殊地θ=180°时,就得到关于O点的中心对称图形.在解题时,对于图形具有等边特征的几何题,常可通过旋转变换,使题设和结论中的相关元素相对集中到某一图形或重新组合成的图形之中,为沟通题设和结论、方便解题创设有利条件.有些正方形的问题,利用旋转变换求解相当方便.下面举例说明:例1　如图1,四边形ABEG、GEFH、HFCD都是正方形,求∠AFB +∠ACB的值.解　将△HBF绕点H逆时针旋转90°,得△HSD ,则△HBS为等腰直角三角形,∠HBS =4 5°.由四边形A…     

Strong/weak limits and strong/weak differentials of multi-variable indeterminate forms. III: Transformations

1SimplificationinsphericalcoordinatesInthesphericalcoordinatessystem,??y?x=rsinθcosφ,z=rsinθsinφ,=rcosθ,???00≤θ<π,≤θ<2π.Setk=?tanφ,yandK=?zcotθ,then,xxcosφcotθu=r0K(t,t')istransformedintor=r0K(tanφ,cos),φandis,whenφ=0,simplifiedintoatruncatedcurver=r°K(0,cotθ).Thelatteriseasiertoberesolvedandcanreverttotheformerthroughturningaroundfor180°.Example.Thereexistsu=z2=(rcosθ)2x2+y2+z2r2=r°cos2θ?φ°,0≤θ≤π,0≤φ<2π.AsshowninFig.1,XX′isthediameteroftheunitcircle,OP0i…     

变化出题角度加深概念理解

变化题目的出题角度,从各方面涉及基本概念、基本方法,能有数地加深学生对概念的理解。现举几例说明。 [例一]:把对应于复数3-3~(1/2)i的向量按顺时针方向旋转60°,求与所得向量相对应的复数。解:3-3~(1/2)i=12~(1/2)(3~(1/2)/2-1/2i) =12~(1/2)(cos330°+isin330°) ∵向量按顺时针方向旋转,∴旋转后的向量对应的复数的幅角主值为330°-60°=270。; ∴所求复数12~(1/2)(cos270°+isin270°)     

两个向量平行、垂直的充要条件的应用

两个向量平行、垂直的充要条件是高中数学新教材高一(下)第五章平面向量中的重要内容。它们在解决有关问题时有着广泛的应用. 设(1) 的夹角θ=0°或180°(2) 的夹角θ=90°下面就几个方面举例说明它们的应用.     

线面角与二面角的关系及应用

如图1,P为平面α外一点,PO⊥α,O为垂足,直线l<α,点P与直线l确定平面为β,点B∈l,设PB与平面α所成的角∠PBO=θ1,与l所成的角∠PBA=θ,二面角α-l-β的平面角∠PAO=φ.下面我们来研究θ1、θ、φ之间的关系.在Rt△POB中,sinθ1=PPBO.在Rt△POA中,sinφ=PPAO.在Rt△PBA中,sinθ=PPBA.因为PPBO=PPAO·PPBA,所以sinθ1=sinφ·sinθ在上述公式中,因为0相似文献   

交角任意的两平面镜之间任一物体成像总数

1　问题提出互成θ角的两平面镜之间的任一物体成像总数 ,在θ =30°、4 5°、6 0°等特殊角时 ,可用公式ｎ =36 0°θ - 1计算 ,其理论依据何在 ?在θ =72°、12 0°时是否适用 ?θ为任意角时又如何计算成像总数 ?2　理论分析平面镜成像是由于光的反射 ,从光源发出的光经两平面镜连续反射时 ,每次反射都会各成一虚像 .要确定总成像个数 ,必须分析连续反射的可能次数 ,如图 1-图 3,图 1　　　　图 2　　　　图 3第一次反射后 :　第 2次反射后 :　　第 3次反射后 :　∠ 2 =α +θ　∠ 3=∠ 2 +θ=α +2θ　∠4 =∠ 3+θ=α+3θ依次类推 ,经ｘ…     

利用余数解题例举

众所周知:整数a被正整数b除时,有商q和余数r,即有a=bq+r(0≤r相似文献   

一个三角恒等式在几何解题中的应用

几何问题的三角解法,早已为大家熟知,并且成为解决许多几何问题的行之有效的方法。不过,对于结果中出现的是线段平方和的等式的证明,一般说来,三角法就显得不够灵活了。本文拟通过三角函数恒等式sin~2θ+sin~2(60°+θ)+sin~2(60°-θ)=cos~2θ+cos~2(60°+θ)+cos~2(60°-θ)=3/2(*),来寻求一种与正三角形有关的几何问题的解法。以下用四个例子来说明解答这类问题的一般途径。     

光学趣题探解

下面的几道有关反射现象的几何光学题 ,不但有趣 ,同时还蕴含着比较深刻的数学哲理 .1　“沿原路返回”的条件题目 :如图 1所示 ,两平面镜 M1、M2 的夹角为θ.过 P点有一条与 M1成α角的方向射向 Q点的光线 .要使该光线经两面镜若干次反射后能沿原路返回 ,试推导α、θ应满足的关系式 .(设 0 <α<90°,0 <θ<90°)图 1　　　　　　　　　图 2解析 :设射到 Q点的光线经两面镜第 1、2、…… n次反射后 ,反射线与发生反射的那个面镜间的夹角分别为 θ1、θ2 、…… θn,如图 2所示 .根据反射定律及图 2所示的几何关系不难推知θ1=180°- α,…     

高考中出现的地球经纬度问题

要顺利解决地球经纬度问题 ,需要把地球理想化为标准球体后 ,再灵活运用下述知识 :1.面对地球仪 ,使地球仪的北极点在上方 ,则地球仪上各点对应的地理位置符合“上北下南左西右东” .2 .经线南北方向 ,格林尼治所在经线为 0°线 ,向东为东经 ,度数从 0°到 180° ;向西为西经 ,度数从 0°到 180° ,东经 180°线与西经 180°线重合 .纬线东西方向 ,赤道是 0°的纬线 ,北极点称为北纬 90°点 ,南极点称为南纬 90°点 .3 .地球的自转方向是由西向东 .例 1　 (2 0 0 2年高考上海大综合理科三 )据报道 ,中国已初步选定朗伊尔宾 (北纬 78°、东经…     

问题2．10参考答案

图1如图1,连结CD,将△ACD以D为旋转中心顺时针旋转60°到△BC′D,连接CC′则∠C′DB=∠CDA,CD=C′D,BC′=AC=b,∴∠C′DC=∠BDA=60°.∴△CDC′是等边三角形,∴CC′=CD.∴在△CBC′中,CC′≤CB+C′B=a+b.∴CD≤a+b.当C′,B,C在同一条直线上时,CD取最大值a+b.这时∠DBC′+∠DBC=180°.又∠D B C′=∠D A C,∠D B A=∠DAB=60°,∠BCA+∠CBA+∠CAB=180°,∴∠DAC+∠DBC=180°,∴∠CBA+∠CAB=60°,∴∠ACB=120°.故当∠ACB为120°时,CD取最大值,最大值为a+b.问题2.10参考答案…     

第十届美国数学竞赛试题及解答

美国第十届数学竞赛于今年五月举行。下面是竞赛题和解答。 1.已知一角大小为180°/n,其中n为不能被3整除的正整数。证明:这个角可以用欧几里得的作图工具(圆规与直尺)三等分。解:因为n是不能被3整除的正整数,所以n=3K±1。如果n=3K+1,由于180°/3-K×180°/n=180°/3n(n-3K)=180°/3n,且180°/n为已知角,所以K×180°/n可用圆规与直尺作出,显然180°/3=60°可用圆规直尺作出,所以180°/3n可作。也就是说,这时180°/n可以用圆规直尺三等分。如果 n=3K-1,那么由于 K×180°/n-180°/3=180°/3n(3K-n)=180°/3n     

要重视引导学生掌握解题思路

什么叫解题思路?解题思路是指学生在解题时思考的线索。这里讲的解题,不仅是应用题,也包括式题、文字题以及几何图形题。解题思路既然是解题时思考的线索,那就有可能产生不同的线索,殊途同归,达到最终的目的。作为学校教育来说、既要允许,有时还应当鼓励学生寻求不同的思考线索,当然也要引导学生掌握一条比较合理、简洁的思路。例如,巳知一个直角三角形的一个锐角是40°,求另一个锐角的度数。有的学生列式为180°-90°-40°=50°,有的学生列式为180°-(90°+10°)=50°,也有学生列出90°-40°=50°,反映了不同的思考线索,结果相同,殊途同归,无可非议。又如,班级图书角原有图书36本,又买来44本。平均分给5个小组,每组分得几本?大部分学生列式为(36     

如何延长日光灯管的使用寿命

日光灯管使用一段时间后,灯管两头会发黑,这时可将灯管旋转180°再使用,这样既能提高发光率,又能延长使用寿命. 因为日光灯在点燃时,灯管两端灯丝只有A、B两个点起作用(如图所示),灯丝温度A、B两点高于C、D两点.当日光灯管A、B两点附近发黑时.C、D两点往往还未老化,所以日光灯使用一段时间后,将灯管旋转180°,就     

从多个角度考虑

在数学课上,杨老师出了一个练习题.例1如图1,已知∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠D(图1中所示的钝角)的度数.小毛第一个举手发言:“连结B、C,如图2.因为△ABC的内角和为180°,所以∠DBC+∠DCB=180°-30°×2-40°=80°;又因为△DBC的内角和为180°,所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-80°=100°”.杨老师微笑着点了点头,表示赞同,又问:“还有什么解法?”聪明的小倪举手.“延长BD交AC于E,如图3,因为∠BDC=∠C+∠CED,∠CED=∠A+∠B,所以∠D=∠C+∠A+∠B=100°”.小倪答完,同学们不禁鼓掌,杨老师摸着下巴不住地点头小侯在旁边不…     

单摆应用问题归类例析

单摆由一根不可伸长的细线和可视为质点的摆球构成.它是一种抽象的理想化模型.当单摆振动时,其回复力由重力沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ提供,如图1所示.当单摆的最大摆角θm<10°时,由于sinθ≈x/l(x为摆球偏离平衡位置0的位移,l为摆长),考虑到回复力F的方向与位移x的方向相反,有     

公式n=2(90°-θ)/α-1与n=90°-(α+θ)/α×2+1同是一曲

本刊2002年第3期刊载了对本刊2001年第9期所载《关于n=(90°-(α+θ))/α×2+1的由来》(下称原文)的讨论文章,文中指出:《解答公式应该是n=2(90°-θ)/α-1》(下称第二文)。细读此文,更感欣喜,两     

相对运动中的动参考系——对一个答案的质疑

哈工大《理论力学》(第四版)上册第359页题11-19 汽车A和B,分别沿半径为R_A=900 m、R_B=1000 m的圆形轨道运动,其速度为v_A=v_B=72 km/h,如图1所示。求当θ=O°和θ=20°时,汽车B对A的相对速度和相     

凸多边形内角和竞赛题举例

有关凸多边形内角和的竞赛题主要是考察凸多边形内角和公式的灵活应用 ,有时也要从凸多边形的外角和、凸多边形的对角线条数等方面考虑问题 .下面举几个典型例题供大家参考 .例 1　 ( 1999年全国初中数学竞赛试题 )一个凸 n边形的内角和小于 1999°,那么 n的最大值是 (　　 )( A) 11.　　 ( B) 12 .　　 ( C) 13.　　 ( D) 14 .解析 :因凸 n边形的内角和公式为 ( n - 2 ) . 180°,则 ( n - 2 ) . 180°<1999°,得 n <14 ,又凸 13边形的内角和为 ( 13- 2 ) . 180°=1980°<1999°,于是 n的最大值是 13,选 ( C) .本题是凸多边形内角和公式的…