练就慧眼 去伪存真——高中数学中的增根问题例析

在高考复习中,失根问题已经引起了大多数师生的注意,但对一些增根问题还没有系统的加以注意,其实“增根”导致的后果同样是严重的,不仅会影响题目的解答完满、正确,还会阻碍学生逻辑思维能力的正常发挥．一些看似严密的解题过程,到底隐藏着怎样的逻辑漏洞？解题中如何才能“根除”本不该有的“毒瘤”？下面就高中数学解题中常见的一些容易产生增根的题型做一简单的剖析．     

巧用增根求分式方程中的待定系数

同学们都知道,在解分式方程时,可能会产生增根,增根必须舍去,但利用增根可以求方程中的待定系数．解这类题的解题过程是先将分式方程转化为整式方程。然后根据增根的定义使问题解决．下面分类举例说明．     

谈谈解对数方程中的增根与失根

在高中数学中,简单的指数方程与对数方程属于超元方程,初学者颇感困难,特别是解对数方程时,涉及增根与失根问题时,更不能正确分析及判断,现将常见的几种情况归纳如下：     

增根非无用 巧用能解题

同学们在处理某些含有字母参数的分式方程或无理方程问题时,常会因为未能正确利用增根,而一筹莫展．实际上,若能巧妙地利用方程的增根,就会迅速找到解题思路,简捷明快地解决问题,下面举例说明．     

三角方程的增失根原因初探

本文对解三角方程中出现的增失根原因进行分类讨论,从而有效避免增失根。     

正确理解分式方程的增根

复习到可化为一元一次方程的分式方程时,每个同学都会想起解分式方程易产生增根以及相应必须的解题步骤——检验．就增根这个问题,我们可以从以下几点展开复习：     

正确理解分式方程的增根

复习到可化为一元一次方程的分式方程时,每个同学都会想起解分式方程易产生增根以及相应必须的解题步骤——检验．就增根这个问题,我们可以从以下几点展开复习：     

三角方程的增根与失根

在解三角方程时,往往避不开不等价变形和由此产生的增根或失根.一般来说,产生增根的原因是扩大了未知数的取值范围,如平方运算、去分母、万能公式从右边用到左边等;失根的原因是缩小了未知数的取值范围,如实施开     

增根也有用 巧用能解题

在处理某些含有字母参数的方程问题时,同学们常常一筹莫展,甚至对题目的正确性产生怀疑．此时,若能想到方程的增根,同学们就会茅塞顿开,迅速找到解题思路,简洁明快地将题目解出,下面举例说明．     

利用等比数列性质解题时产生的增根问题

在高职高考中利用数列的性质解题是一个重点,也是一个难点,特别是在利用等比数列的性质解题时容易出现增根的现象,对此该如何处理,文中给出了办法和结论.     

用辩证法看分式方程的增根

解分式方程时可能产生不适合原方程的根,这样的根叫做方程的增根．不可否认,增根的出现给同学们的解题带来了一定的麻烦．然而任何事物都有其两面性,让我们用辩证的眼光看待分式方程的增根．由增根的原因知道,分式方程的增根一定是去分母后所化成的整式方程的根,同时还能使其最简公分母的值为零,据此可以解决一些相关的问题．现举例如下,供同学们赏析．     

由高考题目中的增根谈起

增根是中学阶段解方程时的常见问题,本文结合高考题目与个人思考,重点阐述一下二次曲线联立为什么产生增根、两圆联立为什么不产生增根、如何对根进行取舍、增根的作用等问题.     

妙用方程根巧构造方程

方程思想是中学数学中重要的数学思想．与中学数学的各个分支紧紧地连在一起．在解题过程中，有许多看上去似乎与方程不发生明显联系的数学问题，如果能恰当地引进或构造方程，就能使问题迎刃而解．下面利用方程根的定义，根的判别式，根与系数关系等几种方法构造方程解题．     

有关匀速直线运动的方程根的取舍

在讨论匀变速直线运动问题时常用一元二次方程解题．而对一元二次方程的根要根据题目的背景加以取舍，通常可分三种情况：     

分式方程的增根与无解

学生在学习分式方程时,往往会忽略方程有增根与方程无解的具体差别。虽然这是一个细节性的问题,但却常常是解决很多分式方程问题的关键所在。其实方程是否有解与方程是否有增根是有着本质的区别,它们之间是不能划等号的。就分式方程增根与无解的区别与联系问题,首先从概念入手阐明增根与无解的关系,再通过实例进行认知强化。     

简化一元二次方程根的分布问题

对涉及有关一元二次方程根的问题,我们常可借助一元二次函数的图象和性质,利用一元二次方程根的分布来解决．但有时在用根的分布来解题时,常会觉得思路较简单,但对问题讨论的情况较复杂,运算量也比较大能否另辟蹊径,进一步简化问题减小运算量,本文试图对此作一些探讨．[第一段]     

分式方程的增根与失根

有些同学在解一个方程时，尤其是分式方程，经常出现的错误就是出现增根或失根．出现了这方面的错误，往往是由于违反了方程的同解原理或方程变形时粗心大意造成的．下面我们通过一些例题来说明．     

解分式方程的误区

一问题的提出在中学数学教材中,在分式方程的解法部分强调了必须验根.其理由是,在去分母的过程中,由于方程的定义域扩大了,因此有可能产生增根.这里强调的验根.也主要是检验有无增根.在学生的解题过程中,也就形成了检验增根的定势步骤.殊不知,在解分式方程的过程中,有时还可能产生失根.这往往被学生所忽视,导致求根不     

巧用分式方程的增根解题

<正>我们知道,在求分式方程解的过程中,一定要对方程的根进行检验.若是增根,则必须舍去.但是,在处理某些含有字母系数的分式方程时,若能巧妙地利用方程的增根,就能顺利地打开解题的思路,简捷明快地解决问题.一、开门见山,直接给出的增根例1(2012年攀枝花市中考题)若分式     

增根非无用 巧用能解题

<正>同学们在处理某些含有字母参数的分式方程或无理方程问题时,常会因为未能正确利用增根,而一筹莫展.实际上,若能巧妙地利用方程的增根,就会迅速找到解题思路,简捷明快地解决问题,下面举例说明.例1当m为何值时,关于x的方程x6-1-x+mx(x-1)+3x=0有解