广义Boussinesq方程的KAM环面(英文)

考虑周期边界下具有非线性项f(u)=u3的一维广义Boussinesq方程u tt-u xx+(f(u)+u xx)xx=0.首先,将上述方程转化为一个哈密顿系统,并将该系统在线性算子的特征基上展开得到坐标形式下的哈密顿系统.鉴于切频与法频之间复杂的共振关系,考虑一类具有特殊结构的拟周期解.其次,验证了哈密顿向量场的正则性,并对四次项进行规范化,从规范形中可以得到无穷维KAM定理所要求的非退化和非共振条件.利用一个KAM定理证明与方程等价的无穷维哈密顿系统存在许多有限维不变环面,故原方程有许多小振幅的拟周期解.     

一维弹性杆的非线性波动方程的孤波解

对于非线性波动方程u_(tt)+αu_(xxxx)=β_(u_x~2)_x,首先假定其解具有双曲正切函数幂级数展开形式,然后通过领头项分析得到它的截断表示,从而求出该方程的几组孤波解。     

一类非线性双曲方程整体解的存在性及其爆破

研究一类非线性双曲方程的初边值问题{u_(tt)-m(‖▽u‖_2~2)△u-r△u_t=β|u|~αu, u|_(t=0)=u_0(x),u_t|_(t=0)=u_1(x), u|_(aΩ)=0,得到了问题整体强解的存在性,并在一定条件下,研究了解的爆破现象．     

从一条错误的数学定理看丢番图研究的严谨性(Ⅰ)

国内正流传着的一本称之为《丢番图方程引论》的著作,第七章§2(P281)中给出的定理13及推论全文如下“设Pell方程u~2-Dv~2=1的基本解ε=u_0 u_0D~(1/2)满足u_0=1(mod 4),(v_0/u_0)=-1,则方程(1)无正整数解.(注(1)即方程x~2-Dy~4=1)证 如果(1)有正整数解,则(1)给出     

一类广义Boussinesq型方程的初边值问题

研究一类广义Boussinesq型方程vtt-vxx=(cvx/p+dvx/q-bvxxx)x+fvxt+gvxxt的初边值问题,得到了整体广义解的存在性及唯一性,这里p,q∈Z+,c,d,b,f,g是常数,b＞0,g＞0.     

广义的WBKL方程和HS-KdV方程的微分不变量、微分不变方程

以数学物理等领域中两个重要的非线性发展方程为研究对象,即广义的Whitham-Broer-Kaup-Like(WBKL)方程组和广义的HS-KdV方程组.WBKL方程描述了长波在浅水中的双向传播,此方程也可约化为变形的Boussinesq方程、色散长波方程、Whitham-Broer-Kaup方程等.由于WBKL方程和广义的Hirota-Satsuma耦合KdV方程的非线性和经典活动标架法的局限性,运用最新的等变活动标架理论,通过选择合适的群轨道横截面进行规范化,进而得到活动标架,同时借助符号计算系统Maple避免了复杂的高阶微分计算,切实有效地求得了WBKL方程组和广义的HS-KdV方程组的微分不变量、微分不变量代数以及微分不变方程.所得到的结果可用于深入研究WBKL方程和广义的HS-KdV方程解的不变性、等价性和对称性,以及海洋、大气、水波等非线性运动的趋势和规律.     

一类非线性波动方程的初边值问题

研究一类四阶非线性波动方程的初边值问题:{utt-Δu-Δut-Δutt=μ|u|p-1u f(x,t),u|(e)Ω×(0,t)=0,u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x);(1)得到了其广义解的存在性.     

广义绝对值方程

广义绝对值方程是绝对值方程的推广,证明了其等价于广义线性互补问题,探讨了广义绝对值方程解唯一存在的条件,这些结果也推广了Mangasarian在文献[1]中的结论,提出了广义绝对值方程解唯一存在的几个充要条件．最后,给出了广义绝对值方程的一个迭代算法,理论分析和数值结果均说明该方法是有效的．     

拟线性抛物方程的均匀化问题

本文研究具有振荡系数的二阶拟线性抛物型方程,u_1-div a(x/8,Du)=f的初边值问题的渐近性态(ε→0),其中a(y,λ),关于变量y是周期函数.我们证得了“均匀化”方程是u_1-div A(Du)=f     

椭圆型Boussinesq方程Dirichlet问题解的存在性和唯一性

在关于k,hb,μb的非常弱的假设条件下,在Sobolev空间中证明了非齐次Dirichlet边界条件u=ud(x,y), (x,y)∈(e)Ω下非齐次椭圆型Boussinesq方程-（△）*(K(x,y)(u-hb)（△）u)=f(x,y,u), (x,y)∈Ω的解的唯一性以及齐次椭圆型Boussinesq方程（△）*(K(x,y)(u-hb)（△）u)=0, (x,y)∈Ω的解的存在性,其中Ω为有界多边形域.并给出反例,指出对一给定的f(x,y),非齐次方程-（△）*(K(x,y)(u-hb)（△）u)=f(x,y,u), (x,y)∈Ω的Dirichlet问题是不可解的.     

灵活运用方程根的定义解题

由方程根的定义知:若0x是方程2axbx 0(0)ca =沟囊桓龈?则200axbxc =.反过来,若2000(0)axbxca =?则0x是方程2ax0bxc =的一个根,解题时重视上述关系的运用,常会获得简捷、明快的解法. 例1 若m、n是方程2199470xx =的两根,那么22(19936)(19958)mmnn 等于( ) A、2000 B、1994 C、1986 D、7 解 ∵m、n是方程2199470xx =的两根, ∴1994,7mnmn =-=, 并有2199470mm =, 2199470nn =. ∴22(19936)(19958)mmnn 2[((19947)(1)]mmm= - ?2[(19947)(1)]nnn (1)(1)mn=- [()1]mnmn=- (719941)=-- 1986=, 故选(C).…     

复变量Lewy方程的广义解和古典解

在广义函数空间讨论了复变量Lewy方程δu/δz+izδu/δt=1/2F(z,z,t)广义解的存在性,获得了广义解的表达式.Lewy方程δu/δz+izδu/δz=1/2f(t)当f(t)仅为连续函数时,此解还是在区域D内的古典解,且证明了存在f(t)∈C∞(R),但在区间[-T,+T]处处不解析,却有在R3的C∞解.     

广义KdV系统的形变映射解

在文[1]中，我们利用变形映射法，构造了Boussinesq方程与三次非线性Klein-Gordon(NKG)方程一类特殊类型解的代数变换关系，得到丰富的精确解。将上述方法进一步推广到广义的KdV系统。获得了该系统丰富的精确行波解，包括孤波解、周期波解和奇异解。     

一类多项式型的Hammerstein积分方程的正解

本文讨论了Hammerstein型积分方程φ(x)=(integralfromn=G)K(x,y)f(y,φ(y))dy=Aφ(x),在条件f(x,u)=(sumfromi=1ton)α_i(x)u~(β_i)下的正解,所得到的结果是文[1]中有关结论的推广。     

广义KdV-mKdV组合方程的精确解

利用齐次平衡法对广义KdV-mKdV组合方程进行求解,得到了该方程的精确解析解,对参数g分别取1、2、1/2等不同的值,可以得到mKdV等非线性发展方程的精确解.     

一类广义RLW方程的初值问题

考虑一类广义RLW方程u1-uxxt＋p（u）x=f（uz）z＋g（u）＋γuzz在f、g、p及初值u0满足一定条件下,用压缩映射原理得到了上述问题局部广义解的存在唯一性．     

广义逆与矩阵方程的解

利用广义逆矩阵求矩阵方程AXB=D(有解时)的通解公式及最小二乘解.     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道,方程f1(x,y) λf2(x,y)=0表示的曲线经过f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交点的曲线系方程.利用上述曲线系方程求过已知两曲线交点的新曲线方程,可避免求交点的坐标,其方法如下.     

广义Logistic方程的全局吸引性

本文研究推广的Logistic方程Xa+1=Xner(a-bxn--k-X2n-k,n=0,1,2…)其中{rn}是非负实数列K≥0整数,a＞0,b＞0。给出了上述方程的正平衡点是全局吸引子的一族充分条件。     

辅助方程法在求解广义Boussineq方程中的应用

根据这个广义Boussineq方程的特点,利用辅助方程法构造了一个非线性高次常微分辅助方程,再通过映射的方法,由辅助方程的解获得了广义Boussineq方程的各种精确解的解析表达式.