利用函数单调性解一类三角函数式取值范围问题

文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1　已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解　由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12…     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

对形如sinA+sinC的式子取值范围解法反思

在解三角形的知识背景下有一类求解形如sinA+sinC取值范围的问题,它有几种衍生类型如求a+b,a2+b2,sin2A+sin2B的取值范围,在这类问题解决过程中通行的思路,是将表达式统一转化成关于某个角的表达式.但在处理过程要注意两点,首先是要注意减少未知数的个数;其次,是要注意确定代表元素的取值范围.     

利用图像(形)求解数学问题方略探究

正一、利用函数图象解题例1(2013年山东济宁中考)已知ab=4,若-2≤b≤-1,则a的取值范围是()A.a≥-4 B.a≥-2C.-4≤a≤-1 D.-4≤a≤-2解析:由ab=4可得a=4,即a与b成反比例b函数关系,画出反比例函数图象,由自变量b的取值范围,探求函数a的取值范围.评析:上述方法虽然叙述复杂了点,但一眼就能看出结果,从"形"的角度直观地发现了范围,降低了运算量,这种数形结合的分析策略显然对于选择题的求解速度大有好处,值得同学们积累.     

一道三角函数题的多种解法

<正>三角函数的参变量求值问题,主要考查三角函数式恒等变形及运算能力,通过三角函数中角的变换、函数名称变换、运算结构变换,能够和其他知识有机地结合起来,达到"事半功倍"的效果。例题若x∈(0,π/4],求使关于x的方程cos x+a^(1/2)sin x=a(1/2)sin x=a^(1/2)有解的正数a的取值范围。解法1:分离变量法。原方程变为a(1/2)有解的正数a的取值范围。解法1:分离变量法。原方程变为a^(1/2)=     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

利用数形结合的方法求方程中参数的取值范围

<正>已知一元二次方程解的情况,我们可以利用根的判别式求方程中参数的取值范围.而在学习了二次函数的图象和性质后,我们更习惯采用数形结合的方法来解决问题.下面通过一例说明和比较这两种方法的运用.例题二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),(a,b,c为常数)的图象如图1所示.(1)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个相等的实数根,求k的值;(3)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)没有实数根,求k的取值范围.     

题库(二十五)

1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=2a-3/a+1,求a的取值范围.2.记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)是函数图象上的"稳定点"若函数f(x)=3x-1/x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),若f(-1)+0,且对任意实数x均有f(x)≥成立,又当x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx单调递增,求实数k的取值范围.     

数学奥林匹克高中训练题(145)

第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.给定x＜ -1.则arctan x+arctan(1-x)/(1+x)=_____.2.若实数m使得sin2θ+ 3mcosθ-6m -4 ＜0对任意θ∈[0,π/3]都成立,则m的取值范围是_____.     

三角函数

试题1(安徽卷,理科第6题)将函数 y=sin ωx(ω>0)的图象按向量 a=(-π/6,0)平移,平移后的图象如图1所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ).A.y=sin(x+π/6)B.y=sin(x-π/6)C.y=sin(2x+π/3)D.y=sin(2x-π/3)试题特点:已知三角函数图象求解析式是高考中的常考题,但本题又结合向量知识使得试题更加综合化、更加灵活化,难度进一步加深,当然入口也更宽.     

错在哪里?

题目 已知函数f(x)=[lgx],若0＜a＜b,且f(a)=f(b),求a+2b的取值范围. 错解 由f(a)=f(b),,且0＜a＜b,得ab=1. 所以a+2b≥2√2ab=2√2,但是因为0＜a＜b,所以0＜a＜2b,故等号不成立, 因此a+2b＞ 2√2,即a+2b的取值范围为(2√2,+∞). 解答错了!错在哪里?     

高一第二学期期末试卷

选择题 1.若方程sin二一cosx二a有解,则实数a的取值范围是 A一1续a簇IB一V万蕊a续1 C一V丁蕊a感V万D一1落a蕊V泛~ 2.当。相似文献   

一类三角函数取值范围题的解法

有一类三角函数取值范围问题,看似难以下手,但若能采用四则运算法则,对其 进行加、减、乘、除运算,将其转化为一个角的正(余)弦函数的形式,再运用正(余)弦 函数的有界性,则能获得十分简洁的解答. 例1 已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsinβ的取值范围. sinαcosβ+cosαsinβ=1/2+t, sin(α+β)=1/2+t,     

解一元二次方程的错误例析

下面收集的是同学们在解答一元二次方程问题中的典型错误,你出现过类似的错误吗? 一、忽视二次项系数不能为零 例1 (2010年荆门卷)如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根,则实数a的取值范围是____. 错解:因为方程有两个不等实根,判别式△=4-4a＞0,所以实数a的取值范围是a＜1.     

利用“f(x)严格单调,f(x)=f(y)x=y”巧解竞赛题

我们知道,f(x)严格单调,f(x)=f(y)x=y(*).看起来很平常的这个性质用来巧解下面几道数学竞赛题却很有趣.1求三角函数值例1(1994年全国高中数学联赛试题)已知x,y∈[-π4,π4],a∈R,且x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,则cos(x+2y)=.分析此题的特点是入口非常小,所求的cos(x+2y)的值好象与题设条件没有什么直接关系.我们对方程组中的三个变量x,y,a的系数进行观察,利用t3+sin t在[-π2,π2]上的单调性和性质(*),就能找到一条通向胜利之路.解由于x3+sin x-2a=0,4y3+sin ycos y+a=0,将第二式乘以2与第一式相加并整理,得x3+sin x=(-2y)3+sin(-2y)…     

一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,     

对一道高考数列压轴题的拓展与研究

在高三复习备考中,笔者遇到如下问题:例1已知函数f x=sin x+tan x.项数为27的等差数列a n满足a n∈-π2,π2,且公差d≠0,若f a 1+f a 2+…+f a 27=0,则当k=时,f a k=0.这是2009年上海市高考题,普遍能找到的解答如下:因为函数f x=sin x+tan x是奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,其图象过原点.而等差数列a n有27项,a n∈-π2,π2.     

一道日本高考题的评析

有关导数的试题是近年来高考的热点之一.下面选取的是2000年日本福岛县立医科大学入学考试的一道试题,是与导数知识相结合的三角函数综合题.试题当函数f(x)=a-cosxa+sinx(0相似文献   

一道习题的错解及反思

有这样一道习题:已知sin2a+sinβ+cos(α-β)=2,求sina+sinβ的取值范围. 错解:令u=sinα+sinβ,则u2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ又sin2α+sin2β+cos(α-β)=2,所以U2-2=2sinαsinβ-cos(α-β)=-cos(α+β).u2=2-cos(α+β),从而1≤u2≤3,解得-3~(1/2)≤u≤一1或1≤u≤3~(1/2). 这个答案看起来似乎简洁明了,分析透彻,但细细分析便会产生这样的疑问,即cos(α+β)能取[一1,1]上的所有值吗?     

利用三角函数的图象特征解题

在求解三角函数有关问题时,如果能利用三角函数的图象特征解题,将起到事半功倍的作用.下面举例说明.例1如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=π8对称,那么a=.解析:利用正弦余弦函数的图象当自变量取对称轴时函数值取得最大或最小值这一特征得:|sin2.π8+acos2.π8|=a2+1=|22+22a|,解得a=1.例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R)(A>0,ω>0,-π<φ≤π)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22),与x轴在原点左侧第一个交点为N(-1,0),求函数f(x)的解析式.图1解析:由y=sinx的图象可知,从图象与x轴的交点到达图象最高点(在同…