由柯西不等式的两种证法所引申的解题技巧

柯西不等式：设a_1,a_2,…,a_n； b_1,b_2,…,b_n为两组实数,则 (a_1b_2＋a_2b_2＋…＋a_nb_n)~2≤(a_1~2＋a_2~2＋…＋a_n~2)(b_1~2＋b_2~2＋…＋b_n~2)。当且仅当b_1／a_1＝b_2／a_1＝…＝b_n／a_n(约定 a_i≠0,i＝1,2,…,n)时取等号。     

关于欧氏空间Cauchy不等式的应用

众所周知在一个欧氏空间里,对于任意的向量ξ,η有不等式; (ξ,η)≤(ξ,ξ)(η,η)这里〈ζ,η〉叫做向量的内积,式中等号当且仅当向量ζ与η线性相关时成立.这是欧氏空间的Cauchy不等式.据此在欧氏空间R~n中可以证明关于数论中的Cauchy不等式: (a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…b_n~2)……(1)式中等号当且仅当a_1/b+a_2/b=…=a_n/b时成立.本文将研究不等式[1]的若干应用,     

Cauchy不等式及其应用

设a_k,b_k(k=1,2,…,n)是任意实数,那么,不等式(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)(1)或|a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n|≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)~(1/2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)~(1/2)(1’)是成立的,等号当且仅当a_k=cb_k(c为常数)时,即a_k与b_k成比例时成立.不等式(1)或(1’)就是著名的柯西(Cauchy)公式或柯西不等式.这个不等式的证明是这样的:     

对一类无理函数最大值的求法探究

近日笔者发现2003,2009两年的高中数学联赛题中均出现了一类题目：求形如f（x）=（a_1x＋b_1）~（1/2）＋（a_2x＋b_2）~（1/2）＋（a_3x＋b_3）~（1/2）（其中a_1a_2a_3〈0）的最大值.我们先来看一下标准答案.     

第37届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

10.1.一个由0～9这10个整数组成的n行10列的数表满足：对任意一行A和任意两列B、C都存在另一行D,使得D与A仅在B列和C列中的数不同.证明：n≥512.10.2.九个实系数二次多项式x~2＋a_1x＋b_1,x~2＋a_2x＋b_2,…,x~2＋a_9x＋b_9满足：数列a_1,a_2,…,a_9和b_1,b_2,…,b_9都构成等差数列.     

一个复数性质的妙用

设 z∈C,记 z 的实部为 R(z),z 的虚部为 I(z),则有 |R(z)|≤|z|,|I(z)|≤|z|.巧用这一性质解题,优美简捷,妙不可言.例1 对任意实数 a_1、a_2、b_1、b_2,有(a_1b_1 a_2b_2)~2≤(a_(1)~2 a_2~2)(b_1~2 b_2~2).当且仅当a_1b_2 a_2b_1时,取等号,(二维柯西不等式)     

等比性质的灵活应用

等比性质:“若a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3=…=a_n/b_n(b_+b_2+b_3+…+_n≠0),则有(a_1+a_2+a_3+…+a_n)/(b_1+b_2+b_3+…+b_n)=a_1/b_1”.它在数学解题中有着广泛的应用,若能灵活运用并注意它的条件:b_1+b_2+b_3+…+b_n≠0,可以避免繁复的计算或复杂的推理.     

柯西不等式的两种形式及应用

<正>柯西不等式设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2,当向量(a_1,a_2,…,a_n)与向量(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立[1].对于柯西不等式在n=2和n=3时有下面常见的代数形式和几何形式.设A,B与x,y是两组实数,则有     

柯西不等式的应用

已知a_1,a_2,…a_n和b_1,b_2,…b_n是实数,则(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2),并且在a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n等时取等号。上面的不等式叫做柯西不等式,课本中“求     

浅谈哥西不等式的应用

张禾瑞、郝鈵新编的《高等代数》第八章欧代空间的例6:对于任意实数a_1,a_2,…a_(n-1)a_n;b_1,b_2,…b_(n-1),b_n,有不等式(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_2+a_2b_2+…+a_nb_n)~2 (1)     

三角代换法在代数解题中的应用举例

变量代换是一种重要的带一定技巧性的解题方法,它往往可以使问题化难为易,化繁为简。变量代换的方法较多,应用范围也较广,本文拟对三角代换在代数解题中的应用提供一些例证。利用三角代换法解代数问题的主要精神是,通过适当的三角代换,将代数表达式转化为三角表达式,从而把代数式的计算或证明,转化为三角式的计算或证明。例1 已知a_1,b_1,a_2,b_2均为实数,且 a_1~2 b_1~2=1,a_2~2 b_2~2=1,a_1a_2 b_1b_2=0,     

一个恒等式的应用

我们有等式(a_1~2 a_2~2)(b_1~2 b_1~2)=(a_1b_1 a_2b_2)~2 (a_1b_1-a_2b_1)~2=(a_1b_1-a_2b_2)~2 (a_1b_2 a_2b_1)~2,它在解答有些问题时能起重要作用,下面举例说明.     

柯西不等式在证明中的应用

<正>柯西不等式是高中数学教材4-5《不等式选讲》的内容,虽然高考对柯西不等式的考查要求不高,但是它在不等式的证明、求最值中应用广泛。下面就来谈谈柯西不等式在不等式证明中的应用。1.柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有:(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)。当向量(a_1,a_2,…,a_n)与(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立。2.柯西不等式的变形:设a_i∈R,b_i∈R+(i=1,2,3,…,n),则     

柯西——许瓦尔兹不等式及其在代数问题上的应用

设a_1，a_2，…，a_n；b_1，b_2，…，b_n为两组实数，则有不等式（a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n）~2≤（a_1~2+a_2~2+…+a_n~2）（b_1~2+b_2~2+…+b_n~2）（1）式中等号当且只当这两组数成比例，即当(a_1)/(b_1)=(a_2)/(b_2)=…=(a_n)/(b_n) （2）时成立     

构造何量 探索解题新思路

向量中有重要不等式|a|·|b|≥|a·b|,如果我们把a和b都看成n维向量,它们的坐标表示是a=(a_1,a_2,…,a_n),b=(b_1,b_2,…,b_n),定义向量a、b的数量积a·b=a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n,|a|=(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)~(1/2),|b|=(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)~(1/2).下面谈谈利用|a|·|b|≥|a·b|来解决等式条件下的最值问题.     

等比定理在解题中的应用

若a_1/b_1=a_2/b_2…=a_n/b_n,且b_1 b_1 … b_n≠0, 则(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(a_1)/(b_1)=…=(a_n)/(b_n). 这就是我们熟知的等比定理,关于该定理的应用在现行中学教材中涉及较少,然而它的应用还是很广泛的,兹举例予以说明。1 化简 例1 分母有理化:(3 2(2)~(1/2)-3~(1/2)-6~(1/2))/(1 2~(1/2)-3~(1/2))= __________.（1989年全国部分省、市初中数学通讯赛初赛试题）     

证明一类分式不等式的一个行之有效的方法

应用柯西不等式,容易得到如下不等式:设 a_i∈R,b_i∈R~ (i=1,2,3,…,n),则有a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n≥(a_1 a_2 … a_n)~2/b_1 b_2 … b_n(当且仅当 b_i=ka_i(k 为常数,i=1,2,…,n)时取“=”号).事实上,由柯西不等式得:(a_1~2/b_1 a_2~2/b~2 … a_n~2/b_n)(b_1 b_2 … b_n)=     

哥西不等式的推广及应用

设 a_i和 b_(i=1,2,…,n)都是实数,则(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)≥(a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n)~2 (1)当且仅当 a_i=kb_i(i=1,2,…,n)时等号成立,这就是通常所说的哥西不等式.由该不等式很容易得到一个推广.实际上,在不等式(1)中,令 a_i=x_i/(y_i~(1/2)),b_i=y_i~(1/2)(i     

柯西不等式在中学物理中的应用

柯西不等式(a_1~2 a_2~2)(b_1~2 b_2~2)≥(a_1b_1 a_2b_2)~2当a_1/b_1=a_2/b_2时等号成立(此式在高中数学课本第三册65页上以习题形式出现)。它在中学物理解题中往往可以巧妙地解决一些较难的极值问题,兹举例明之。例1 一质量为m的物体放在水平面上,物体与平面间的摩擦系数为μ,如使物体移动,拉力F至少需要多大? 解:该物处于由静到动的临界状态时应满足:Fcosθ=μN=μ(mg-Fsinθ)     

柯西不等式在中学不等式证明中的应用

设a_1,a_2,…,a_n和b_1,b_2,…,b_n为两组实数,则有((sum from i=1 to n(a_ib_i))~2≤(sum from i=1 to n(a_i~2))(sum from i=1 to n(b_i~2)))。式中等号当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时成立。特别地,当b_1=b_2=…=b_n=1时,有 a_1~2 a_2~2 … a_n~2≥1/n(a_1 a_2 … a_n)~2。 以上第一个不等式称为柯西不等式,其证明方法很多,在此不再赘述。