论希尔伯特几何公理的综合性质

受时代局限,康德基于欧氏几何宣称几何命题的先天综合性质.欧氏几何的现代数学表达为希尔伯特几何公理系统,并且后者可以方便地演化出非欧几何.于是,论证希尔伯特几何公理的先天综合性质可以在现代数学的背景中为一般几何命题的先天综合性质提供支持.希尔伯特几何公理的先天性不言而喻.继反驳石里克对希尔伯特几何系统的公理定义所作的分析性论证之后,对希尔伯特几何公理的综合性质的正面论证在于,阐明蕴涵定义超出分析性程序的方法论本质,揭示希尔伯特几何公理对业已被证明为先天综合知识的算术的双重依赖,并利用多种几何并存的局面展示享有唯一性地位的算术系统所不能彰显的先天综合知识的独特模态.     

师专几何基础教学应结合中学几何教材

师专几何基础教学应结合中学几何教材李秀云师专几何基础所讨论的主要内容就是希尔伯特公理系统，这是一个完整的欧氏几何公理系统。在这个系统里，希尔伯特采用公理法，自然地将欧氏几何的公理划分，并且可以用逻辑推理导出欧氏几何的所有内容。教材中详细讨论了在这个系...     

浅谈现行中学几何教材公理体系

欧几里得的《几何原本》作为数学与逻辑结合的典范,包含了中学平面几何、立体几何的主要内容和论证方法,但《几何原本》在逻辑结构上,有不少缺欠和不足,由此引起对“几何基础”的深入探讨,借助“几何基础”课的学习,比较希尔伯特公理法和现行中学几何教材公理系统的异同,并阐述如何看待中学几何教材的公理化系统。一、几何学公理法和希尔伯特公理法所谓几何学公理法就是把教学中推理的原始依据归结为少数几个基本概念和几组公理,以此为依据,把数学中某一学科的知识,通过逻辑规则,整理成为一个演绎体系的方法。公元前3世纪,《几何原本》是用…     

正弦定理与一条定直线的垂线和斜线一定相交的等价性

在结合公理Ι1-8,顺序公理Ⅱ1-4,合同公理Ⅲ1-5和连续公理Ⅴ1-2(这里采用希尔伯特的公理体系)的基础上证明了正弦定理、一条定直线的垂线和斜线一定相交与欧氏平行公理是等价的,进一步证明论题。     

欧氏几何·非欧几何·相对论

古希腊著名数学家欧几里得所著《几何原本》共有13卷,包括5条公理、5条公设、119个定义和465条命题．其中第1卷是全书的基础,其开头就有23个最基本的定义、5条公设和5条公理．     

一个小型公理系统的例子及中学几何公理系统的水平

几何学的对象是对物质世界的对象加以理想化、抽象化而得出的。几何学作为一种逻辑的演绎结构的组织,是以一组不加以证明的公理,即基本对象和关系的最初假定为基础的。而公理是几何对象在客观世界具体对象的性质的一种抽象表达。因此公理系统作为逻辑推理的基础,不能随心所欲地构筑,公理化不是搞无意义的游戏。关于公理系统的基本问题,就是一个完善的公理系统应该满足的条件。 希尔伯特认为:公理的选取要符合三条要求。即①相容性。②独立性。③完备性。相容性是指公理的集合应是无矛盾的,独立性是指公理之间不能互相推出,完备性是指对这个系统不能再增加独立的新公理。 希尔伯特给出的欧氏几何公理系统是相容的、独立的、完备的。但要具体证明欧氏几何     

伯克霍夫初等平面几何公理体系简介

一、从希尔伯特公理体系说起 1899年德国数学家希尔伯特(Hilbert,1862—1943)成功地创立了欧氏几何的第一个科学的公理体系,彻底解决了初等几何的基础问题。但抽象、严谨的希氏公理体系无法照搬到中学几何教学中去,因此如何改革传统的欧氏几何成为数学教育工作者普遍关注的问题。经过几十年的努力,以美国数学家伯克霍夫(Birkhoff)的工作最引人注目。他以实数的有序性和完备性为基础,较早地引进度量思想,第一个使用实刻度尺公理和实量角器公理,从而用数量很少的一组     

《几何基础》与中学几何教学——兼谈数学公理方法

根据国家教委最近修订的二年制师专数学专业教学计划,《几何基础》将恢复作为师专数学专业的一门必修的基础课程。这对于从事中学数学教学的老师来说,也是一件值得重视的教学动态。《几何基础》课程讲述一些什么内容呢?它主要讲述几何发展简史,希尔伯特的欧氏几何公理体系,非欧几何介绍,几何公理法的三个基本问题等内容。     

中学几何教材结构特征探讨

应用希尔伯特公理体系分析了现行中学几何教材的逻辑结构．     

非欧几里得几何诞生的故事（上）

所谓非欧几里得几何是指不同于欧几里得几何学的一类几何体系，主要有罗巴切夫斯基几何和黎曼几何．他们与欧几里得几何的主要区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理．非欧几里得几何的出现从根本上拓广了人们对几何学的认识，引导人们对几何学基础的深入研究，而且对于物理学在二十世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革起了巨大推动作用．     

希尔伯特公理体系中各组公理的作用分析

<正> 几何基础是二年制师范专科学校数学专业的必修基础课程之一。本课程的重要目的之一是使学生在通晓初等几何的近代公理化方法的同时,加深对几何空间结构的认识。从而获得在较高的观点上处理中学几何问题的能力。因此,掌握欧氏几何的逻辑结构及特点是至关重要的。为了弄清欧氏几何学的结构和特点,就必须对希尔伯特公理体系中各组公理的地位和作用有个清楚的了解。而这一层次的内容在一般教科书上是不明显给出的,需     

高观点下探寻多边形的内角和与外角和

<正>三角形的内角和是一个重要的几何量,在欧几里得几何学中,三角形的内角和为180度.在证明这一定理的时候,中学教科书[1]采用的方法是这样的：首先过三角形的某一个顶点作与对边平行的辅助线,再利用内错角相等得到三角形的内角和为180度.而内错角相等需要利用欧几里得几何的两条公理：同位角相等和对顶角相等.由此可见,为了证明三角形的内角和为180度,需要两条公理.中学课本证明完三角形的内角和为180度以后,再利用内角和外角互补的关系,     

几何课教改的思考与尝试

几何课中“几何基础”这门课程对希尔伯特公理体系的内容作了精辟的阐述和具体的分析。它既有助于引导中学数学教师认识该体系是在公理系统基础上纯逻辑地建立起来的方式，同时又有助于他们了解中学数学教学中的公理系统，运用公理化思想分析、评述和处理中几何教材。由此可见，这门课程对即将从事中学数学教学的学生来讲无疑是十分重要的。但部分学生在教育实习后，盲目认为只要能看懂中学课本，不学这门课程也一样可以教中数学，致使这门课程的教学受到一定程度的影响。为了能够让这门看似枯燥无味的课程吸引更多的同学，经过较长时间的思…     

直线平行的判定及应用

初中几何的证明从平行线开始．证明是从题设史知）出发,经过一步步的推理,最后得出结论（求证）的过程．证明要严谨,每一步推理都要有依据,不能“想当然”．这些依据,可以是已知条件,也可以是定义、公理或已经学过的定理．推理论证要做到层次清楚、言简意明、有理有据、以理服人．首先应熟悉定义、定理,然后才能应用定义、定理会判定两条直线平行．判定两直线平行的依据有：回．定义：在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线．必须明确两点：①在同一手而内;②不相交的两条直线．2．平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直…     

高中立体几何中的公理问题探讨

<正>想要学好立体几何,重点在于能够将其转换为平面知识进行解决。同学们在学习高中立体几何公理相关问题后,已经对立体几何公理化有了一定的了解,可依据一个基本的框架,随之依托典型案例展开细致的理论分析。德国著名的数学家希尔伯特在其发表的《几何基础》(1899年)一书中,提出采用一套完整、简洁的公理系统,依据这套系统无需借助其他知识,即刻导出所有的欧式几何     

关于平行公设的一个初等探讨

平行公设也叫欧氏第五公设或平行公理,是建立欧氏平行理论的出发点及主要依据.其内容是:若平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于两直角,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.探讨这一公设对开阔教师视野,提高教师素质有一定的现实意义.     

如何学好《相交线与平行线》?

相交线和平行线在我们的生活中到处可见,也是研究几何图形的基础.本章中许多的公理、定理、性质都是今后几何证明的理论依据,所以我们一定要学好《相交线和平行     

几何入门需把好四关

初学几何,许多同学都感觉几何难学,不容易入门,这大概也就是“几何难,代数繁”的缘故吧.事实上,对于初学几何的同学只要能掌握好正确的学习几何的技巧和方法,把好几何的入门关,就能很快地进入角色.下面具体谈谈几何入门需要把握好的四关.一、把好概念关正确地理解和必要地记忆几何课本中的每一个定义、定理、公理,是学好几何的基础,是深入研究几何的拐棍.例如,“经过两点有一条直线,并且只有一条直线”,这个公理说的是两句话,一句是说经过两点有一条直线,肯定有,不是没有,另一句是说经过两点只有一条直线,不会多,不会有两条或更多条.对于这…     

非欧几何简介

一、欧几里得《几何原本》及其第五公设所谓欧氏几何就是欧几里得几何.欧几里得(Eu-clid,公元前约325年～270年)是古希腊亚历山大学派的三大数学家之一.我们知道,古希腊人以其特有的惟理主义氛围形成了独特的数学认识,即任何数学命题都要根据明白无误的基本假设,按照形式逻辑演绎推理出来.这样,古希腊数学就逐步形成了具有初步逻辑结构的论证数学体系,欧几里得的著作《几何原本》就是这个体系形成的标志《.几何原本》全书共分13卷,包括5个公理、5个公设、119个定义、465条命题(定理),构成了历史上第一个数学公理体系.465个命题(定理)都是依据基本定义和5大公理、5大公设用形式逻辑推理得到的.为了说明问题,我们列出这5大公理和5大公设.     

谁是“公理”?——欧几里德如是说

<正>在学习平行线的时候,我们通过实验探究获得了两个基本事实:1.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行(平行公理);2.同位角相等,两直线平行(平行线的判定定理).在此基础上,我们还证明了其他两条平行线的判定方法(内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行);也可以运用反证法证明平行线三条性质中的一条,进而证明其它两条.这就是说,我们有了以上的两条