谈二次函数与三次函数的零点式应用

<正>对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若有根x1,x2,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).同理对一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)若有根x1,x2,x3,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0),其应用广泛,下面简单讨论其应用.1巧证不等式     

一元一次函数和一元二次函数零点存在的初等证明

<正>命题1函数f(x)=ax+b(a≠0)满足:f(x_1)f(x_2)<0,则■x_0∈(x_1,x_2),有f(x_0)=0.证明:函数f(x)=ax+b的零点即方程ax+b=0的根,b由a≠0知方程ax+b=0有实数根x_0=-a/b,即f(x_0)=0,所以只需证x_0=-∈(x,由f(x_1)f(x_2)<0得(ax_1+b)(ax_2+b)<0即:     

活用“两根式” 巧解不等式

对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),如果方程f(x)=0的两个实根为x1,x2,那么二次函数f(x)可写成f(x)=a(x+x1)(x-x2),这就是二次函数的“两根式”.灵活地运用二次函数的两根式,可以巧妙地解决一些不等式问题. 例1 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R). (1)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实根在相邻两整数之间,试证     

数学写作——展现自我的舞台

这是一堂关于函数表达式的习题课,教学对象是高一学生.问题:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)与f(2x-1)的解析式.学生解法:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0,解得a=14,b=-32,c=54,所以f(x)=14x2-32x+54,f(2x-1)=x2-4x+3.师:为什么可以"设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)"?生1:因为可以推测f(x)一定是二次函数.如果f(x)不是二次函数,则f(2x+1)的解析式也不会是二     

二次函数零点式的应用

对于二次函数f(x)=αx^2 bx c(α≠0)，若方程f(x)=0有两个根x1、x2，则有零点式f(x)=α(x-x1)(x-x2)．运用二次函数零点式，可使一些问题得到简解．下面略举几例．     

由一道例题想到的

<正>例题已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有唯一零点,求实数a的取值范围.这是中学数学教学2010年第二期数学园地里的一道题,作者找出了原来做法的错因并给出了正确的解法.解法如下:①当a=0时f(x)=-4,f(x)在(-1,1)上没有零点,所以a≠0.当a≠0时,f′(x)=3ax2-2a=a(3x2-2),令f′(x)=0得,x=±槡23,又f(-1)=4a-4,f(1)=2a-4,f-槡()23=27+4槡69a-4,f槡()23=27-4槡69a-4.②若a>0时,则当-1相似文献   

二次函数的研究

内容概述二次函数的解析式由条件确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,一般有如下三种特定形式:1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2.顶点式y=a(x-m)2+h(a≠0)3.分解式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二次函数的最值对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若自变量x为任意实数,其最值情况为:当a>0,x=-b/2a,fmin=4ac-b2/4a;当a<0,x=-b/2a,fmax=4ac-b2/4a.若自变量x在范围x1≤x≤x2上取值时,其最值情况为:对a>0,有如下结论:     

二次函数零点式在圆锥曲线中的应用

<正>直线与圆锥曲线的位置关系类高考试题,基本与一元二次函数及韦达定理形影不离,这样就使得问题解决具有模式化.笔者时常在思考,能否回避韦达定理呢?在复习二次函数形式时,二次函数的零点式f(x)=a(x-x1)(x-x_2)(a≠0,x_1,x_2为函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,亦是方程f(x)=0的两个实数根)给笔者以启发.以下就是笔者运用零点     

二次函数图像的对称性与满足S_m=S_n的等差数列

<正>二次函数y=f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像(抛物线)关于直线x=-b/2a对称.如果有f(p)=f(q),且p≠q,则f(p+q)=c.简证如下:法1 f(p)=f(q),因为对称轴方程为x=-b/2a=(p+q)2,所以,p+q=-b/a.所以f(p+q)=f(-b/a)=a(-     

常见抽象函数题的解法

一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数     

一个容易忽视的解(高一、高二、高三)

题a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=x/(ax+b),同时满足条件: (1)f(2)=1; (2)方程f(x)=x有唯一的解.求a、b的值.     

函数测试题（2）

一、选择题1.设函数f(x)=x3(x∈R),当0≤θ≤π2时,f(m sin)θ+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是().(A)(0,1)(B)(-∞,0)(C)(-∞,1)(D)(-∞,12)2.函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象过点(1,1),且00,x2>0且x1≠x2),则p,q的大小关系是().(A)p>q(B)p相似文献   

例谈f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)的应用

<正>二次函数的一般表达式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),配方后可以表示为f(x)=a(x-h)2+k,如果它的图象与x轴有两个不同的交点x1,x2,还可表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2).这样二次函数就有了三种不同的表达形式,在不同的问题中选择合适的表达形式对于快速准确地解决问题有着至关重要的作用.本文就f(x)=a(x-x1)(x-x2)的应用作一下探讨.     

零值定理应用之管见

本文就零值定理在在二次函数中的应用,谈一点我们的看法。零值定理:设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数且在区间两端点的数值f(a)、f(b)异号,那么一定有一点C(a相似文献   

一元二次方程实根分布新探

设一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)(1),其实根为x1,x2.对应的二次函数为f(x)=ax2 bx c(a≠0),则f(0)=c.1一元二次方程根的基本分布———零分布所谓一元二次方程根的零分布,指的是     

解读数学信息题的五种类型

高考数学信息题是从所给材料中获取信息,并用于新问题解决的一类新题型.由于这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活,能突出对考生的阅读理解能力、观察能力、获取信息与处理信息能力和独立研究探索问题能力的考查,因此一直是高考中的热点,备受命题者的青睐.本文结合实例对数学信息题进行分类解读.一、表格型信息题表格能集中给出解题信息,简洁明了.理解表中内容,根据数据特征找出数量关系进行计算或推理,是求解表格信息题的关键.【例1】函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下:x-3-2-10123456y-80-2404001660144280则函数y=lgf(x)的定义域为.解析观察表中有三个x值使f(x)=0,联想二次函数的零点解析式y=a(x-x1)(x-x2),因而不难设出f(x)的解析式,进而求之,再解高次不等式即可求出函数y=lgf(x)的定义域.设f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2),而f(0)=4,∴a=2,∴f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2).要使y=lgf(x)有意义,则有f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2)&gt;0,由数轴标根法解得-12.∴函数y=lgf(x)的定义域...     

不动点与数列通项(高一、高二、高三)

对于一个确定的函数f(x),方程x=f(x) 的根x=x0称为f(x)的不动点.下面利用不 动点求数列通项. 1.三个定理 定理1 设f(x)=ax b(a≠0且a≠1), {xn}满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),p为 f(x)的不动点,则xn-p=a(xn-1-p). 定理2 设f(x)=(ax b)/(cx d)(c≠0,ad-bc≠ 0),{xn)满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),且     

函数奇偶性与周期性的一种关系

函数的奇偶性与周期性有如下一种关系:定理1设函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,且f(a-x)=f(a x)(a≠0),则函数y=f(x)必是周期函数,且2a是它的一个周期.证明:由f(x)是偶函数知,对任意x∈R,有f(-x)=f(x).又因为     

构造一次函数解题

一次函数 f(x)=kx+b(k≠0)具有三个重要的性质:1.k>0,f(x)在 R 上是增函数,k<0时,f(x)在 R 上是减函数;2.设 a≤x≤b,则有 f(a)≤f(x)≤f(b)(k>0)或 f(b)≤f(x)≤f(a)(k<0);     

函数解析式和函数性质的运用

<正>函数解析式求解问题是考试中的重点问题,我们在练习过程中要有意识地进行反思和归纳总结。1.已知函数类型,求函数解析式时,可用待定系数法,比如,函数是二次函数,可设为f(x)=ax²+bx+c(a≠0),其中a,b,c为待定系数,根据条件列出方程组,解出a,b,c即可。例1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。解:设f(x)=kx+b(k≠0)。又因为f[f(x)]=4x-1=f(kx+b)=k(kx+b)