例谈用极端性原理解题

因为许多事物的性质和矛盾,最容易在其临界情况和极端状态下体现和暴露出来,所以在解决数学问题时,常常利用极端、临界的元素为＂突破口＂,进行探索、推理论证,使＂变动＂转化为＂确定＂,从而分散问题的难点使问题得到解决.这种数学思想方法,就是极端性原理.本文试图通过几道中考压轴题介绍极端性原理在解题中的具体运用,供参考.     

最值问题中动点的确定

"最值问题中动点的确定"是初中数学中一类综合性很强的问题,在整个初中数学的学习中都存在最值问题,这类试题也是近几年中考的热点问题之一,它主要考查学生的探究能力和创新意识和运用所学数学知识解决实际问题的能力,对学生思维能力的要求很高.本文结合实例谈谈"最值问题中动点确定"的若干求解策略.一、利用轴对称确定动点通过轴对称,画出一个定点关于对称轴的对称点,把折线段变成直线段,由"两点之间线段最短"得线段和的最小值,从而确定此时的动点位置.     

也谈“极端化”思想的运用

贵刊2010年第10期刊载了刘汉亮老师《几何中“极端化”思想的运用》的文章,读后颇有同感．因为许多事物的性质和矛盾,最容易在其临界情况或极端状态下暴露出来,所以在解决数学问题时,若利用极端、临界的状态为“突破口”,进行探索、推理论证,常常能使“运动”转化为“确定”,从而分散问题的难点使问题得到解决．本文从2010年中考压轴题中采撷几例,供读者参考．     

点击与圆有关的中考最值问题

<正>优秀的中考数学题,大多以能力立意,无论其呈现方式如何,以什么样的知识为载体,都是以考查学生的思维品质为出发点和归宿,同时,考虑学生升入高中学习所必备的数学知识和素养,例如将圆的知识与最值问题综合起来考查就是2013年中考的一种亮点题型.1应用极端原理因为许多事物的性质和矛盾,最容易在其临界情况和极端状态下体现和暴露出来,所以在解决数学问题时,常常利用极端、临界的元素为"突     

阿氏圆情境下线段最值问题的求解策略

<正>各地中考中常常见到这样一类问题:问题中一般含一个或多个动点,求某线段最值或求"PA+k·PB"的最值.很多学生对这类问题往往束手无策,究其原因,是因为学生在学习过程未能掌握此类问题的本质,并将问题与数学模型结合起来.解决线段最值问题关键在于如何从问题中提炼出有用信息,将复杂的线段最值问题转化为诸如"两点之间、点线之间、点圆之间"等距离最值问题,所以这类问题破题依据无外乎数学中的几个基本事实:(1)两点之间,线段最短;(2)垂线段最短;     

线段最值问题的求解策略

<正>动态几何中的最值问题是中考的热点问题.动中求静、变中寻求联系是解决此类问题有效的办法.在探求最值时,通常可以利用两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边等知识确定动点的位置,然后运用直角三角形中边、角关系或相似三角形对应边成比例实现最值问题的求解.下面举例说明此类问题常用的方法与技巧.一、旋转、对称转移法确定线段和的最值,可利用轴对称、旋转等几何变换将其中的一条或几条线段进行位置上的转移.如"将军饮马型"问题,利用     

“定量”构建动点轨迹 “隐圆”巧解最值问题

<正>几何图形中因动点产生的线段最值问题在近年来的中考试题中屡见不鲜,成为中考的热点问题之一.在动点运动的过程中,图形变化的灵活性和关键条件的隐蔽性,都给学生的解题带来了很大的困难,这也成为了几何解题中的一大难点.关于初中阶段的动点最值问题,解决策略通常有两种,一种是"解析法",即设某条线段长度为x,利用量之间的关系,构造出目标线段的长度函数关系式,利用函数最值     

极端思想与不等问题

许多事物的性质和矛盾,最容易出现在临界情况或极端状态．在解决实际的数学问题也会常常从临界的情况、极端的状况进行探索、推理、论证．这种数学思想方法叫做极端思想．     

动点最值问题

（1）经历探索解决有关线段、面积的动点最值问题的过程,提炼出两者的通性通法：分析条件中的定量与变量;将问题化归为线段的最值;找临界位置合情推理求最值。（2）应用“通性通法”解决有关角度的动点最值问题,培养学生的转化、合情推理等能力。     

“考虑极端”思想在求解定值问题中的应用

<正>将数学问题化难为易,化繁为简,化抽象为具体,常常要考察有关数学对象或涉及范围的极端情形,这就是"考虑极端"思想.因为极端情形相对简单、具体,所以,当一个数学问题不易解决时,我们可以考虑它的极端情形,通过极端情形下的结果和方法,寻找问题的突破口.几何定值问题就是研究运动图形中的不变量(如定点、定长、定角、定积、定比等).因图形在运动,故给问题的解决带来了较大的困难.下面通过考察动点、动线段、     

利用外心求最值

在定边(长)定角的动点最值问题中,利用三角形外心确定定长(外接圆半径),就可将动点最值转化为线段的长度比较,达到化动为定的目的.其中直角三角形中斜边大于直角边(简称斜边大于直角边)可作为构造不等式,确定最值的有效方法.     

探寻路径 循迹求解——妙解直线型动态几何最值问题

<正>有成语说:"明枪易躲,暗箭难防."无独有偶,数学问题往往亦是如此.有一类直线型动态最值问题,需要先找到动点的运动路径(即轨迹)才能确定最值.兹采撷一束,分类举例予以说明.一、单一型动点最值问题例1如图1,在矩形ABCD中,AB=4,     

两个几何公理引起的思考

<正>初中数学教材里有两个重要的公理:一个是"两点间线段最短",另一个是"垂线段最短".它们对于解决动点问题中的路线最短问题是非常重要的工具.教者应多思考、多归纳,引起足够重视.1.计算一个动点问题中的路线最短教材中提出的问题:在一条河l的同侧有张庄A、李庄B,问在河边的什么位置建水泵站,使安装水管的长度和最短?具体做法:如图,作A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,点P为建水泵站的位置.     

以抛物线为载体的四类“一动点型最值问题”的通用解法

<正>若问题中只涉及一个动点,并且要求最值,我们称之为"一动点型最值问题".此类问题是近几年中考的热点问题之一.本文介绍以抛物线为载体的四类"一动点型最值问题"的通用解法.一、线段长度最值型问题例1(2010年眉山)如图1,RtABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴     

“另类”的线段和最小值问题的解法

近年来,全国各地中考试题中常常会出现求解因点运动时与它相关几条线段和的最小值问题.常见的是"将军饮马"型或变式型的问题,这类问题通常用"对称点"法解决.但对于有些求线段和最值的问题,即动点不是在直线上运动时,用"对称点法"无从下手.此类问题,背景复杂,变化多端,常以各种几何图形或平面直角坐标系为载体.这不仅能考查学生综合运用数学知识解题的能力,而且还能在图     

一类“二动点型最值问题”的教法探索

动点型最值问题是近几年中考的热点,此类问题形式多样、方法各异.本文所探讨的一类"二动点型最值问题’有其特殊的方法,若能在教学中教会学生这种方法,学生就能很快找到解决这类问题的突破口.     

极端原理的应用

处于"极端位置"或"临界位置"的元素称作"极端元素",如最大值、最小值、最长、最短等.从极端情形入手,研究极端元素,寻找解题的突破口,     

平面几何中与动点有关的最值问题

动点和最值的综合问题是初中数学中的重点和难点,很多学生遇到此类问题时不知道如何下手.因此,教师有必要在复习阶段引导学生系统地将常见的动点和最值的综合问题进行归类分析和深化探究,使之掌握解决此类问题的基本思路和常用方法.     

轨迹“漏”“杂”原因初探

轨迹概念包含“纯粹性”与“完备性”两方面的要求.本文试图通过若干典型错例,对造成轨迹“漏”、“杂”的原因进行探讨。一、忽视特殊情形. 求轨迹时,除了对动点的运动规律作一般情形的考察外,还要重视研究动点的特殊位置,如极限位置,临界位置,轨迹与坐标轴的交点,使几何图形为极端情形的动点等.忽视对这些特殊情形的研究,常常造成轨迹“漏”、“杂”.     

动点到动点距离最值的求解策略

<正>距离问题为大家熟知,动点到定点距离、动点到定直线距离、动点到动点距离常常成为高考命题的第一视角得到青睐.前两种距离有模式可寻,但对于动点到动点距离,学生颇感棘手.下面笔者对该问题从不同角度进行灵活化归,化"动"为"静",焕发新的活力.1利用反函数图象的对称化归为点到直线的距离