巧用定义解决圆锥曲线最值问题

<正>在高考中,以圆锥曲线为背景的最值问题,是解析几何的一类常见问题。而圆锥曲线的定义是由曲线上的点到焦点的距离来刻画的,由此可对一些距离进行有效转化,因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时,应先想到利用定义进行求解,这样会有事半功倍之效。1.抛物线定义在最值中的巧用抛物线定义:平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。     

圆锥曲线的统一定义、方程及其应用

一、统一定义及其应用椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,它们表示到定点F和定直线l的距离的比是一个常数e的点M的轨迹。当O1时,点M的轨迹是双曲线,当e=1时,点M的轨迹是抛物线。其中定点F叫做焦点,定直线l叫准线;定比e叫做离心率。一般来说,涉及圆锥曲线上的点焦点或到准线的距离的问题,直接应用上述定义来解,常可简化解题步骤,减少运算量,举例如下:     

巧用圆的第二定义解题

课本溯源(苏教版必修2第103页探究拓展第10题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为12,那么点M的坐标应满足什么关系?经研究得到点M的轨迹是圆.推广到两定点A,B的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.与圆锥曲线的第二定义类似,我们把"平面内到两个定点的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹"叫做圆的第二定义.圆的第二定义在高考中已热考多年.在解题时,仔细分析题干条件,运用圆的第二定义切入求解,常     

抛物线有关问题探求

在教学过程中 ,本人发现一些关于抛物线的问题。问题 1　在高中数学教材中有关抛物线的定义———在平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点轨迹叫抛物线。本人认为不完善 ,应定义为 :在平面内与一个定点F和不过定点F的定直线l的距离相等的点轨迹叫抛物线。因为 ,若定点F在定直线l上时 ,动点轨迹是过F且垂直于定直线l的直线。事实上 ,当抛物线的焦点到准线的距离 p逐渐变小时 ,抛物线开口逐渐变小 ,当 p→ 0时 ,抛物线也就趋近一条射线。问题 2　北师大出版的基础训练与学习指导中有一题 :在平面内到定点的距离比它到定直线距离小 …     

抛物线定义的应用与理解

我在指导学生学习了抛物线的定义及标准方程以后,提出如下问题:既然三种圆锥曲线可以统一定义为"平面内与一个定点F和一条定直线L的距离之比等于常数e的点的轨迹",并且课本分别就这个定义推导出了椭圆、双曲线的标准方程,但是否可以笼统地说"抛物线是到一定点与一条定直线距离相等的点的轨迹"呢?请看下面分析。     

它们的轨迹是椭圆(高二、高三)

1.到两定点距离之和为定值m(m大于两定点间的距离)的点的轨迹. 例1 已知B、C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程. 分析在图1中,由△ABC     

到定点定平面距离之和(差)为定长的点的轨迹

在空间到两定点距离之和与差为定长的点的轨迹,当动点到两点距离之和大于两定点间的距离时,动点轨迹为旋转椭球面,当动点到两定点距离之差小于两定点之间的距离时,动点轨迹为旋转双叶双曲面,本文探讨到定点定平面距离之和(差)为定长的点的轨迹。     

点击运用椭圆的定义解题

椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|=2c)的点的轨迹,这是椭圆的第一定义;其第二定义为椭圆是平面内一点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0相似文献   

阿波罗尼斯圆的探究及其应用

<正>一、问题背景我们知道,到两定点的距离之和为定值(定值大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆,到两定点的距离之差为定值(定值大于零且小于两定点间的距离)的点的轨迹是双曲线.那么,到两定点的距离之商为定值(定值大于零且不等于1)的点的轨迹是什么呢?这就是由公元前3世纪下半叶古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius of Perga,公元前262-公元前190)提出的几何作图问题,载于他的     

关于抛物线定义的思考

在中学数学教材中,抛物线是这样定义的:“平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫抛物线.”为了使抛物线与椭圆和双曲线的定义方法相一致(用距离的“和”或“差”来定义),我们可以将抛物线的定义改述如下:平面内与一个定点F和一条定直线L的距离之差等于零的点的轨迹叫抛物线.把改述后的抛物线定义,再与椭圆和双曲线的定义比较,我们自然会想到下面的问题:平面内与一个定点F和一条定直线1的距离之差等于常数a(-P≤a≤P,P是定点F到定直线1的距离,下同)的点的轨迹是什么图形呢?关于这一点,我们有下面两个命题.命题 1 平面内与一个定点F和一条定直线1的距离之差等于常数a(0≤a≤P)的点的轨迹是抛物线.证明 建立如图(一)所示的直角座标系.设定点F和动点M的座标分别为     

圆锥曲线题型的常用解法

正1.定义法(1)椭圆、双曲线有两种定义.第一定义中,与两个定点距离问题正用定义;点在椭圆、双曲线上时逆用定义.第二定义中,常常将焦半径与"点到准线的距离"互相转化.(3)抛物线只有一种定义,就是单一的焦半径与"点到准线的距离"互相转化,很多抛物线问题直接用定义解决.     

对圆锥曲线统一定义的商榷

《平面解析几何》(必修)(以下简称教材)中有三处涉及到圆锥曲线的统一定义.是在定义抛物线时的叙述:“我们知道,与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.当e=1时是椭圆,当 e>l时是双曲线.那么,当e=l时,它又是什么曲线?平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.”(教材第91页).     

新定义型问题的解题教学策略

<正>新定义问题近年越来越多地出现在各地中考试题中,本文以一道新定义问题为例,谈谈这类问题的解题方法和教学策略.一、问题(海门市九年级数学期末试题)对某种几何图形给出如下定义:符合一定条件的动点的形成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.     

圆锥曲线定义在解题中的应用

高考题中的选择题、填空题,大部分都是基本定义或基本定理的直接应用,因此,深刻分析、准确理解定义和定理内容,是解答这类题目的关键。本文仅就与三种圆锥曲线定义有关的一些题目,予以论述。 1.椭圆 椭圆的定义有两个。第一定义:平面上与两个定点F_1、F_2的距离的和等于一个常数(大于|F_1F_2|)的点的轨迹叫椭圆;第二定义:平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是一个小于1的常数的点的轨迹叫椭圆。     

对两定点距离关系的探究

正在平面解析几何的学习过程中,我们已经知道椭圆和双曲线的定义,即都是研究关于平面内一动点与两个定点的距离关系的.课本中这样定义:"平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹"叫椭圆,"平面内与两个定点     

巧用圆锥曲线的定义解题

运用定义求轨迹定义法是求轨迹方法中一种重要的方法.当题干中出现一个点F、一条过点F关于原点的对称点且垂直于坐标轴的直线时,我们都有理由猜测是不是该用圆锥曲线的定义来解题了.若是到定点的距离等于定长的点的集合,那自然联想到圆.所以,在熟悉几种常见曲线的定义的基础上,从定义去找解决求轨迹问题的突破口,是一种重要的方法.     

由直线生成圆锥曲线的方法

1问题的提出 在高中数学解析几何的“圆锥曲线”部分，教材一般给出了圆锥曲线的两种定义．以椭圆的定义为例，定义1；平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆；定义2：平面内一动点M与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（大于0小于1）的点的轨迹是椭圆．[第一段]     

圆锥曲线“第二定义”的 解题应用

椭圆、双曲线、抛物线除了其本身的定义外;还可以统一来定义,谓之为第二定义. 第二定义:到一个定点F的距离和到一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e的点的轨迹.此轨迹统称为圆锥曲线.当01时,轨迹是双曲线.当e=1时,轨迹是抛物线.其中e=c/a是曲线的离心率.定点F是曲线一个焦点,定直线l为曲线的准线. 其实.很多圆锥曲线题型利用其第二定义解比较简单、快     

构建探究互动的课堂教学模式——“双曲线及其标准方程”课堂实录与点评

1　提问引思师 :同学们前面已经研究了椭圆 ,请大家回忆一下椭圆的第一定义 .生 :平面内与两定点的距离的和为常数的点的轨迹 ,师追问 :这个常数有什么要求 ?生 :要小于两定点的距离 .师 :对吗 ?其它学生补充道 :要大于两定点的距离 .师进一步追问 :若常数为“等于”或“小于”两点间距离时点的轨迹又是怎样的 ?点评 :一个优秀的教师就象一个好的节目主持人 ,善于通过精心设计的问题在不经意间将学生的思维引导到课堂教学的中心 .这里请学生“回忆”,顺着学生的回答“追问”,图 1就是一个例子 .2　师生共探2 .1　探求双曲线的定义师 :平面内…     

曲线轨迹方程的常见求法

<正>求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,其实质就是利用题设中的几何条件,用"坐标化"将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查对圆锥曲线的定义\性质等基础知识的掌握外,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理和运算能力,因此这类问题成为高考命题的热点.一、直接法将动点满足的几何条件或等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.例1:已知A、B为两定点,动点M到A与到B的距离比为常