椭圆问题的圆化处理

对于椭圆x2/a2+y2/b2=1,令x’=x/a,y’=y/b,则椭圆方程变为:x’2+y’2=. 1,此为单位圆方程.这样,椭圆问题就可充分利用圆的性质来解决了.举例说明. 例1若直线l:x+2y+t=0与椭圆C:x2/9+y2/4=1相交于两点,求t 的取值范围. 解:令x=3x’,y=2y’,则椭圆C和直线l分别变成圆C’:x'2+y'2= 1和直线l':3x’+4y’+t=0.     

椭圆错解分析

解答椭圆问题时,要挖掘里面的隐含条件,否则就容易出错.例1如右图,已知椭圆方程为x2/4 y2/3=1.过点P(-1,0)作直线l交椭圆于A、B两点,问:使|AB|=3的直线l是否存在?若存在,求出直线方程;若不存在,清说明理由．     

多角度思考 多途径求解

一题目设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=1/2,经过M(-1,3/2). 若此椭圆上有两个不同的点P、Q关于直线l:y=4x+m对称.求m的取值范围. 这题,主要考查直线与圆     

第八章 圆锥曲线

[例36]过点（1,0）的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为√2/2的椭圆C相交于A,B两点,直线y=1/2x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程．     

圆锥曲线性质在解高考题中的应用

1．圆锥曲线的性质 性质 已知椭圆x2/b2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的一个焦点为F．相应的准线为直线l．若点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,过点F作PF的垂线,交直线lf于点Q,则直线PQ与椭圆相切,且P为切点．     

由一道解几题引发的思考

题已知椭圆的方程为x2/4 y2/2=1,点A 的坐标(1,1)． (1)A为直线l与椭圆两交点的中点,求l 的方程; (2)求过点A的直线与椭圆的两交点的中点的轨迹方程．解 (1)设l与椭圆的交点分别为 (x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2), 代入椭圆方程得     

有趣的直线x_0x/a~2+y_0y/b~2=1

在高二教材中的圆锥曲线一章中,有这样的结论: 如图1,若P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a >b>0)上的一点,那么经过该点的椭圆的切线方程为x0x/a2+y0y/b2=1 问题:若点P(x0,Y0)在椭圆外部(或内部)时, 直线l:x0x/a2+y0y/b2=1是什么样的直线?与椭圆有怎样的关系?     

圆锥曲线“垂轴线”的一个性质与两组“姊妹”结论

受文献[1]的启发,本文给出圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)垂直于焦点所在对称轴的直线(简称“垂轴线”)的一个性质,并应用性质证明两组“姊妹”结论. 1 一组性质 性质1 已知椭圆Γ:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)与x轴交于A、B两点,直线l:x=m(| m |≠a)是垂直于x轴的一条定直线,P是椭圆Γ上异于A、B的任意一点,若直线PA交直线l于点M(m,y1),直线PB交直线l于点N(m,y2),则y1y2为定值b2/a2(a2-m2).     

一道高考解析几何试题的引申

2004年全国高考文(理)解几试题是:设椭圆x2/m 1 y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0),(c>0),且椭圆上存在点P,使直线PF1与直线PF2垂直,(1)求实数m的取值范围;(2)设l是相应于焦点F2的准线,直线PF2与l相交于点Q,若|OF2|/|PF2|=2-3~(1/2),求直线PF2的方程.本题解法较多,这里仅给出其中一种解法.解(1)∵PFl1⊥PF2,∴点P在以线段F1F2的圆上,且半径为c=m~(1/2),又点P在已知椭圆上,椭圆的短半轴长为b=     

化归与转化思想在椭圆中的应用

例题 已知椭圆C的方程为x^2/4＋y^2/3=1,试确定m的取值范围,使得对直线l：y=4x＋m,椭圆C上有不同两点P、Q关于该直线对称．     

问渠哪得清如许 为有源头活水来——2015年四川高考理科第20题的解法赏析与拓展延伸

<正>一、试题如图1,椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率是2/2(1/2),过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22(1/2).(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系x Oy中,是否存在     

一个充要条件的应用

点P(x0,y0)在椭圆x2/α2 y2/b2=1内(外)部的充要条件是x0/α2 y0/b2(>1).利用这一结论解决有关椭圆的范围问题,往往简捷迅速. 例1 设直线l的方程为y=mx b,椭圆E的参数方程为{x=1 αcosθ,y=sinθ (α≠0.θ为参数)问α、b满足什么条件时,使得对任意m值来     

椭圆中的几个定点问题

<正>试题呈现已知F为椭圆C:x~2/4+y~2/3=1的右焦点,椭圆C上任意一点P到点F的距离与P到到直线l:x=m的距离之比为1/2,(1)求直线l的方程;(2)设Q为椭圆的左顶点,过F的直线交椭圆C于A,B两点,直线AQ,BQ与直线l分别交于M,N,问以MN为直径的圆是否过定点?若存在,试求出定点.近日,一位学生来跟我讨教这道有关圆     

从一道高考题谈起

2012年福建理科卷19题为: 如图,椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e =1/2.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.     

突破有关圆锥曲线的最值问题

平移转化法例1已知椭圆x2/25+y2/9=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最短?如果存在,那么最短距离是多少?     

一道高考题的解法、推广及启示

<正>一、试题呈现(2015年四川高考题)如图1,椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率是22=1(a>b>0)的离心率是2^(1/2)/2,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22(1/2)/2,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22^(1/2).(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系x Oy中,是否存在     

直线与圆锥曲线的位置关系问题

判断直线与曲线的关系问题 例1 点P（x0,y0）在椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上,x0=acosβ,y0=bsinβ,0〈β〈π/2,直线l2与直线l1：x0/a^2＋y0/b^2=1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ．     

一题多解,活跃思维

例直线l:y=-1/2x 2与椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1交于A、B两点,O为坐标原点,M为线段AB的中点.若|AB|=5~(1/2),直线OM的斜率为1/2,求椭圆的方程.     

一道解析几何范围题的解法探究

题目 已知椭圆x^2/3＋y^2/2=1,点F是椭圆的右焦点,过F的直线l交椭圆于A,B两点,交椭圆的右准线于C,若^→AC=λ^→BC,其中λ〉1,求实数λ的取值范围．     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…