一道平几难题简证

题目两两相离三个不等的圆,每两圆外公切线交于一点,试汪三交点共线. 证明设a,b交于P,m,”于Q,/,r交00,,00,,003两两外公切线R(如图).再设a,,交于A,a,l交于B,l,n交于C,连010:,O:O、,0301.则它们分别过尸,R,Q点,又AO、,君O:,CO。分别为之BAC,乙ABC,匕BCA的平分线,故必共点,设为5.交于 现在看△ABC与△010:O:,对应顶点连线AO、,BOZ,CO3共点,由笛沙格定理,对应边AB与O;O:,方C与O:。:,,AC与O,O;交点P,Q,R共线.一道平几难题简证@段春华$湖南来阳师范!421800~~…     

一道国际数学竞赛题的推广

第22届国际中学生数学竞赛于1980年7月在卢森堡举行。其中由比利时命题的第四题是一道平面几何题,该题大意如下:     

一道国际数学竞赛题的推广

我们平时解题不能就题论题,不要题目解完,思路就断,而应该在解完一道题后,把思路延续下去,并多长几个心眼,看看能否改变题目的条件或结论,从纵的方面、横的方面加以引伸、拓广;这样,我们往往能够从中获得预想不到的结果;这样,我们所得到的往往不只是一道     

从一道国际数学竞赛题谈起

一九七八年,美国举行了第七届数学竞赛,共五道试题。其中第二题,新颖别致,饶有兴味,发人深思。原题是这样的: “ABCD和A′B′C′D′是某个国家的同一地区的按不同比例尺绘制的地图。将它们如图     

互补的数列与一道国际数学竞赛题

1.数列互补的定义及定理: 定义如果两个递增的正整数的数列{f(n)}、{g(n)}满足下面两个条件: (ⅰ)这两个数列没有相同的项,即对任意的正整数m、n,有,f(n)≠g(m); (ⅱ)每一个正整数k,都必定在数列{f(n)}或{g(m)}中出现,即总可以找到正整数n或m,使得k=f(n)或k=g(m)。     

关于一道数学竞赛题的解答

中学数学奥林匹克竞赛辅导(中国标准出版社)P121—125中有这样一道题: 一个给定的凸n边形A_0A_1A_2…A_(n-1),用不在形内相交的对角线将它分成n-2个三角形,问有多少种不同的分法? 该书的解答是错误的,为便于分析,我们将解答译要抄录于下: 解:记分法数为S_n,易见S_3=1,S_4=2我们来建立凸k 1边形分法数S_(k 1)与S_k、S_(k-1)的递推式.     

关于一道数学竞赛题的思考

第17届全苏中学生数学竞赛有这样一道题; 是否存在不同的奇自然数k、l及m,使等式: 1/(1991)=1/k 1/l 1/m得以成立? 竞赛答卷给出的解答如下: 因为1991=11×181,可来寻找形如 1/(1991)=1/x 1/(11x) 1/(181x)这样的分解形式,不难解出x=2183。这说明 1/(1991)=1/(2183) 1/(24013) 1/(395123)。如此该题的解答已经得到。试卷答卷还作下列注释: 本题尚有其它的奇数解,例如 1/(1991)=1/(2123) 1/(34933) 1/(384263) =1/(2353) 1/(13937) 1/(181181)     

漫谈一道国际数学竞赛题的证明

同题:设a户,。是三角形的边长,求证: 石.c(b一。) 内(o一a) a,b(a一石)>0(1) 并确定等号成立的条件. (第二十四届国际数学竞赛题) 西德学生伯尔哈德一李由于对这道题解抉巧妙而获得特别奖. 伯尔哈德一李的证明如下. 记(1)左边为I,由于这个多项式I是对称轮换式、不妨假设a》石、。,将I变形为: I二a(石一亡、’(石 e一a) 石(“一西)(a一e) ·(a 吞一亡)(2)即证得I》O,显然取等号的条件为“二石二氏 读者可能会间,(2)是怎样想出来的?本文想对伯尔哈德一李的证明思路作些解释,同时导出伯尔哈德一李恒等式(即(2))的其他变形.并从中提出两个新…     

一道国际数学竞赛题的再推广

第28届国际数学奥林匹克的第二题,给出了一个很优秀的几何命题。文[1]和文[2]曾对该命题作出了初步推广,本文试对该命题作进一步的推广。我们有定理1 设△ABC为锐角三角形,P为BC边上的任意一点,以AP为弦任作一圆与AB、AC分别相交于M、N 自A引一条射线与△ABC的外接圆相交于D,使∠DAC=∠BAP,如图,则四边形AMDN的面积等于△ABC的面积。证明:连结CD、PN、MN,设MN与AD相交于E,依题设有∠BAP=∠DC,又     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题(45-IMO-4):设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足n2 1>(t1 t2 … tn)(1/t1 1/t2 … 1/tn).     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题: (45-IMO-4) 设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足     

关于一道数学竞赛题的解法探讨

本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法.     

谈一道数学竞赛题

合肥市1983年高中数学竞赛的第4题是“设在△ABC中有cosA/(sinB)+cosB/(sinA)=2,证明△ABC是一个直角三角形。”从表面上看,此题似乎很平常,大概只要和差化积、积化和差,几步就可得出结论,其实不然,它还是有一定的深度和难度的。这不是一道陈题,但却是由课本上的一道练习题脱胎而成的。统编高中数学课本第一册,第168页有一道题“在△ABC中,求证:     

一道国际数学竞赛题的几种证法

题目:锐角△ABC中,∠A的平分线交BC于D,交△ABC的外接圆于点E,自点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于N,证明:S_(△ABC)=S四边形AMEN,(IMO,28—2)。证法/:如图,作出△ABC外接圆直径AL,连接MN,LB,LC,LE,LM,LN。显然,DN,LC同时垂直于AC,DN∥LC,那么S_(△DCN)=S_(△DLN)。同理:S_(△SMB)=S_(△DLM), 则:S_(△ABC)=S四边形AMLN,     

一道奥林匹克数学竞赛题

在匈牙利举行的第六届国际数学教育会议上,我与一位澳洲友人谈及他们刚主办了的第廿九届国际奥林匹克数学竞赛,他说其中一道题目貌虽简单,却连大学里好些数论专家也没能马上解答,反是参赛学子解得该题者大不乏人,可云后生可畏!我既非“后生”,又非数论专家,自是属于没能马上解答的一群了。不过,在往复探索的过程中,除了亲尝那份从未知到理解的乐趣以外,我还觉得这段过程有点教育意义,拿来谈谈,或可引起同行们的兴味。     

关于一道IMO竞赛题

本刊19,2年第10期为一道IMO竞赛题提供了五种证法,原题如卜:设工,岁,之是满足二十夕十:~I的非负数,证明 。‘。十,·十二一2二、异·(,) 上式右端的不等号较难得到,本文对有关的一类问题提供一种统一的新解法.考虑 f(x,,,:;l)一习十y: 二一t刁:(2)的最大滇问题,其,1,,l>O是固定的,:,夕,:仍为满足工 梦十:=l非负数. 容易验证下面的式子 (l一Lx)(l一匆)(l一七)=l一t l,f(z,梦,之;之).(3)因之,求f的最大滇问题化为求 夕(x,少,之;l)=(1一 tx)(I一l梦)(I一众)(4)的最大流问题.对任一组如上所定的(x,岁,:),不妨设x)梦)乙 I。若I一七)。,l一勿…     

一道数学竞赛题的启示

一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

小议一道初中数学竞赛题

一个偶然的机会,我看到了这样一道初中数学竞赛题: 如图1,以Ai表示∠Ai(i=1,2…,12),则 (A1-A2+A3)+(A4-A5+A6)+(A7-A8+A9)+(A10-A11+A12)=_____(度).