导数背景下双零点不等式问题的解法探究

<正>活动2 见测试2.导数背景下的双零点不等式证明问题,主要是题设中给出某函数(通常包含指数对数)的两个零点x₁,x₂,要考生证明关于这两个零点的相关性质,如关于x₁x₂,x₁+x₂,x₁-x₂,■的不等式证明^[1].一、极值点偏移问题有关函数两个零点的和与积的问题,即极值点偏移问题,常作为压轴题出现,题型复杂多变．解题时需要理解此类问题的实质,巧妙运用消元、消参、构造函数等手段,利用函数的性质解决问题．     

例谈双变量不等式证明的转化策略

<正>在一些高考压轴题中，常出现证明关于含有双变量x₁,x₂的不等式，需要学生有很强的思考能力和高超的数学素养．常用的解题方法是先转化，即由已知条件入手，寻找x₁,x₂所满足的关系式，并把含x₁,x₂的不等式转化为含单元的不等式;再通过构造函数，借用导数求其最值;最后把所求的最值应用到关于x₁,x₂的不等式，即可证得结果．本文从几个典型例题的分析求解出发，揭示解题中变形转化的核心所在，希望能对读者朋友有所帮助．     

一类不定方程整数解问题的求解策略

<正>1．基本问题的求解模型 问题n元一次不定方程x₁+x₂+…+x_n=m(m≥n≥2)的正整数解(x₁,x₂,…,x_n)的组数是多少？该问题可以用“隔板法”来解决,即构造模型：将m个相同的小球排成一排,产生m-1个空隙,用n-1个隔板插在某n-1个空隙中,将这m个小球分成n份,第i份的个数即xi的值,这样就得到一组     

分类例说双元型等式成立求参数取值范围问题

<正>所谓双元型等式问题,就是有两个变元x₁,x₂,满足f(x₁)=g(x₂),如果题中数学对象是用全称量词、存在量词表述的,一般有两类题型,即“任意—存在型”和“存在—存在型”,其解题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数的值域之间的包含关系(或两个函数最值之间的大小关系)．本文分类举例进行分析,期望能对读者有所帮助．     

双变量值域中的存在性问题优解

<正>含有任意和存在的双变量问题是数学中常见的两类题型,常见解法是考虑两者之间的最值和值域关系来解题.题型1:?x₁∈D₁,?x₂∈D₂,f(x₁)=g(x₂)?f(x₁)值域是g(x₂)值域的子集.题型2:?x₁∈D₁,?x₂∈D₂,f(x₁)=g(x₂)?f(x₁)值域与g(x₂)值域的子集交集非空.若遇到双变量不是前两种情况的题怎样处理呢?题1 设函数已知函数f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R),     

一道解析几何定点问题研究的心路历程

<正>处理有关直线与圆锥曲线交汇中的定点问题时,往往需要灵活运用“设而不求”技巧,该技巧的关键之处就在于获得关于“x₁+ x₂,x₁x₂”形式的代数式,或者获得关于“y₁+ y₂,y₁y₂”形式的代数式,利用根与系数的关系,进一步分析、解决目标问题． 但有时不会出现这样显性的代数式,让人举步维艰,这就需要结合题设问题进行大胆地探寻,创新解题思维,有利于获得目标问题的巧思妙解．     

椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技巧

<正>在以下解答题第(2)问证明椭圆曲线中某一个量为定值时,同学们比较熟悉的解决策略是:联立直线与椭圆曲线的方程,消元得到ax~2+bx+c=0(或ay~2+by+c=0),再运用韦达定理进行“整体代换”,就能够把该量化简为由x₁,x₂(或y₁,y₂)组成的一切对称式,如:x₁+x₂,x₁x₂,x₁~2+x₂~2,|x₁-x₂|,1/x₁+1/x₂等,代换后表达式中不再出现x₁,x₂(或y₁,y₂)的其他形式,则利用韦达定理可求得该量的值.     

一个代数不等式的证明及变式

<正>笔者在给学生讲解“蒙日圆”时得到了如下一个有趣的不等式:已知x₂¹+y₁²=x₂²+y₂²=1,且mx²+ny²≥m+n(m,n>0),求证m(x-x₁)(x-x₂)+n(y-y₁)(y-y₂)≥0．这个不等式对称优美,但变量较多,证明比较棘手,本文将给出这个不等式的两个证明及两个变式．证法一:(代数法)设a=mx²+ny²,b=m+n,c=mx₁x₂+ny₁y₂,     

精雕细镂 豁然开朗

<正>冀教版九年级上册在第23章“数据分析”的第2节“中位数与众数”中安排了如下一道习题:平均数和中位数反映的都是数据的“集中程度”,设数据x₁,x₂,…,x₅的平均数为x,中位数为m.(1)以数据2,3,5,8,12为例,分别计算A₁,A₂,B₁,B₂.     

聚焦通性通法 领悟本质核心——“点差法”在解析几何问题中的几种典型应用

<正>在处理解析几何问题,特别是直线与圆锥曲线有关问题时,经常运用如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),代入圆锥曲线方程后相减,然后利用弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系求解,这种方法通常称为“点差法”.本文结合具体例题,探析“点差法”的几种典型应用.     

巧用方差公式解题

<正>方差公式是初中“数据的分析”一章中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,对于其他的一些数学问题,若能充分利用方差公式特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,我们就会取得意想不到的解题之效.方差公式 设n个数据x₁,x₂,…,x_n,■表示它们的平均数,则x₁,x₂,…,x_n的方差■显然S²≥0,当且仅当■时取等号.     

一类绝对值型不等式的多角度思考

<正>|f(x₂)-f(x₁)|2-x₁|型不等式在很多考试中都频繁亮相，但大多数学生对此种类型的题目往往望而生畏．现将个人研究心得与大家分享．一、直接法即由已知条件式，通过代数恒等变形的方法直接导出解答．     

一道导数压轴题的再探究

<正>试题呈现已知函数f(x)=e^x[x²-(a+2)x+a+3].(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在(0,2)有两个极值点x₁,x₂,求证：f(x₁)f(x₂)<4e².本题是泉州市2023届高中毕业班质量监测一第22题．试题题干简洁、朴实无华,问题(2)给人的第一感觉是极值点偏移问题,但深入思考之后发现其与极值点偏移问题并无关联．     

中考题链接 根与系数的关系

根与系数的关系是指:如果x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根,则有x₁+x₂=-b/a、x₁·x₂=c/a,它在一元二次方程的解题中有着重要的作用.在中考中多以填空、选择、解答题的形式出现,考查的频率较高,也常与几何、二次函数等     

一道双零点导数压轴题的解法分析与拓展

<正>试题呈现 已知函数f(x)=e^x-1-a(x-1).(1)讨论f(x)的零点个数;(2)若f(x)有两个不同的零点x₁,x₂,证明：x₁+x₂>4.上述试题是广东省清远市2022年高三期末教学质检第22题,试题在素材的选取以及问题的铺设方面均与2016年全国卷Ⅰ理科数学第21题：已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x₁,x₂是f(x)的两个零点,证明：x₁+x₂<2.     

根与系数关系运用的五个技巧

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x₁,x₂,则有x₁+x₂=-b/a,x₁·x₂=c/a.这就是一元二次方程根与系数的关系(又叫韦达定理).在运用根与系数的关系解决问题时,常常要运用一些技巧,现举例说明.     

代数式求值的三把利器

先看这样一道题:已知x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两个根,求代数式（x₁²+2x₁-1）（x₂²+2x₂-1）的值.大多数同学采用以下方法进行的:原式=（x₁x₂）²+2x₁²x₂-x₁²+2x₁x₂²+4x₁x₂-2x₁-x₂²-2x₂+1=（x₁x₂）²+2x₁x₂（x₁+x₂）-（x₁+x₂）²+6x₁x₂-2（x₁+x₂）+1.再以x₁+x₂=-1,x₁x₂=-1代入,计算出结果为-1.由于上述变形较繁,容易出现失误.实际上,本题可利用方程根的定义轻松解决:因为x₁、x₂是方程x²+x-1=0的两     

一类对称方程的一般解法探究

我们有时会遇到这样的问题:题型A:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+2x=5、2log₂（x-1）+2x=5的实数根,求x₁+x₂的值".一般会这样变形:2^x=5-2x、2log₂（x-1）=5-2x,会错误地得到结论x₁+x₂=10/3.究其原因,是受到曾经作过形似的问题:题型B:"已知x₁、x₂分别为方程2^x+x=5、     

“确定变量的范围”在解题中的应用

在解决一些数学问题时,我们常遇到要运用"确定变量的范围"才能完成的题目.所谓"确定变量的范围",即当A≤C≤B且C∈Z,可得到C的整数值——通过连不等式求出整数值,或者由已知整数值,反过来求变量的范围,或者通过a≥x₀,且a≤x₀,得出a=x₀.这类方法在中学数学中大有用武之地.下面就来具体谈谈这个结论的应用.     

谈谈函数零点问题的求解

<正>函数的零点与函数的极值点是导数在函数中的基本应用,由于它既具有数形结合的背景又具有函数抽象性的特点,因此,是各级各类命题的热点,也是考生普遍感到困难的难点,本文通过几例常见试题的求解,给出此类问题的求解策略,供参考.1涉及零点之和问题此类题如:求证:x₁+x₂> a或x₁+x₂ 1+x₂相似文献