2023年新高考全国Ⅱ卷21题的解法与溯源

<正>2023年新高考全国Ⅱ卷21题是一道定点定直线的问题,涉及非对称韦达定理的处理,也关联极点极线背景问题．本文就该题解法进行分析,先给出多种非对称韦达定理处理思路,再对双曲线背景题目进行溯源,得到更一般性的结论,最后把结论推广到椭圆中．     

分类例说韦达定理在求解竞赛题中的应用

<正>一元二次方程根与系数的关系,也就是韦达定理及其逆定理是各级各类初中数学竞赛中高频考查的重要内容,而近年来在一些数学竞赛题中考查一元三次方程的韦达定理及逆定理的应用的问题也偶而出现.为此,我们在给出一元二次方程的韦达定理及逆定理的基础上,适当扩充一下一元三次方程的韦达定理及逆定理,并分类例说它们在求解数学竞赛题中的应用.     

浅谈非对称韦达定理的处理方式——以“2020年全国卷Ⅰ理科20题圆锥曲线”为例

在平面解析几何中,圆锥曲线的定点定值问题是考试热点和难点,这里对于非对称韦达定理也是这类问题中常遇到的难点之一,这类问题综合性强,考查学生有化归转化成对称式韦达定理的能力,具有一定的选拔功能.     

达“套路”遭遇“卡壳”的破解策略——以一道椭圆求斜率比值为定值问题为例

<正>在解析几何解题教学中,直线与圆锥曲线联立时,韦达定理套路策略高频出现,但也常常遭遇“卡壳”.通过剖析一道圆锥曲线综合试题“套路卡壳”原因,以探索为契机,达到解决这类问题的“新套路”目的.高三模拟试题中出现一道看似常规的解析几何综合试题,题目设直线方程为x=ty+1时,发现部分学生不能套用韦达定理而“卡壳”;有学生提出如设直线方程为y=k(x-1)时,是否可以避免出现非对称韦达,认为是题目设置直线方程有“诱导”之嫌,但动手去做时,却再次被“卡壳”,说明出题者在两条道路上都设置“关卡”,     

解析几何中应用韦达定理应注意一个问题

众所周知,韦达定理表达了一元二次方程根与系数之间的关系,但韦达定理中两个等式成立并不能保证方程存在实根.因此,韦达定理必须在一元二次方程存在实根的前提下方可使用.由于韦达定理在解析几何中的应用较为广泛,所以在解题时必须注意这个问题.     

韦达定理的巧用

韦达定理在建立方程、研究方程根的性质,解方程组等方面被广泛应用。在几何中,涉及到二个量的和与积的问题应用韦达定理也可找到解题捷径。韦达定理还可以巧妙地应用在很多数学问题上,而且显得新颖、独特,很值得研究。一、进行恒等变换例.已知     

利用韦达定理构造方程巧解题

初中教材的韦达定理及其逆定理,揭示了一元二次方程根系数的关系,应用十分广泛,其共同特点为解决有关两数的和、积问题,有些问题通过分析转化以后,需构造方程利用韦达定理,灵活求解.现举几例以开拓思路,提高灵活运用知识的能力.     

一类圆锥曲线的另类解题思路

圆锥曲线作为压轴题,每年都会受到高中学优生的青睐。但由于思路不清晰,计算量大,计算技巧比较灵活,会导致在有限的时间内,圆锥曲线成为难以攻克的高地。本文针对需要用到韦达定理的圆锥曲线问题提出一个较为统一的解题思路。以前的直线与圆锥曲线问题会先设直线方程,然后联立方程得到韦达定理,然后利用韦达定理作大量的运算,最后证明我们需要的结果。我提出的思路是,先看题目需要我们证明什么,一般证明的东西会是个等式。我们称这个等式为目标式,接下来对目标式进行处理,最终要处理成只含有韦达定理的形式,即和跟积的形式。第二步才是联立方程,得到韦达定理。第三步,将得到的韦达定理代入我们第一步的目标式,证明出等式。     

初中数学复习系列讲座 第三讲 六个专题

(一)判别式与韦达定理的应用一元二次方程的根的判别式及韦达定理揭示了根与系数间的关系,是解决一类数学问题的重要工具。凡最后能归结到二次方程根的性质的问题,可通过判别式去解决;凡可归结到根的数值讨论的问题,可利用韦达定理去解决。用判别式与韦达定理时,要注意以下三点: 1.应先将方程化为一般式,尤其是方程右边的项切勿漏掉。 2.应用的前题分别是a≠0和a≠0,△≥0。 3.对方程ax~2 bx C=0(a≠0)的两     

一类定点定直线问题解题新策略及背景研究

<正>在解决直线与圆锥曲线公共点相关问题时,常常会出现非对称韦达结构问题,导致不能直接利用韦达定理完成核心任务.虽然文献[1]—[3]对这类问题都给出了很多的解题策略,但这些策略要么技巧性非常强,很难想到,要么运算量大,很难在有限的时间完整解答相关问题.本文通过几个例子谈谈处理一类非对称韦达结构问题的另外一种求解策略,以期抛砖引玉,能从中生发出更多合理的解题策略.     

韦达定理在解析几何解题中的应用

韦达定理是代数中的一个重要定理,它在解析几何中也有广泛的应用。在解析几何复习中对学生加强用韦达定理解题的指导是很必要的。为此目的,笔者试图通过几例来说明用韦达定理解题的一般特征和规律,仅供参考。一、韦达定理和直线的参数方程合用1.求线段乘积     

浅谈韦达定理的应用

<正> 韦达定理是初中数学的重要内容,它是揭示一元二次方程根与系数关系的重要定理,其应用非常广泛。近年来,各地中考及数学竞赛中也常出韦达定理方面内容的题目。为丰富学生知识面,开阔学生解题思路,本文介绍以下几种有关韦达定理问题的救解方     

椭圆中韦达定理失效的处理策略

处理直线与圆锥曲线问题的常用策略是将直线与曲线方程联立,利用韦达定理整体代换,设而不求.但某些问题中所得的关系式和韦达定理并不对应,因此不能直接代换,本文针对此类问题给出几种处理技巧.     

应用韦达定理解题的一个问题探讨

我们知道,韦达定理是一元二次方程的基础理论之一,然而应用韦达定理探求二次方程根的代数式的值或讨论二次方程的系数中所含参数的取值范围等问题时,存在一个常见的毛病——缺乏严谨性。本文从两个方面的表现略举数例,进行剖析。一、忽视韦达定理的使用条件例1 已知sinα、cosα是方程8x~2+6hx+2h+1=0的两个根,求h的值。错解:由韦达定理知     

再谈韦达定理

<正>新一轮新课改中,苏教版初中教材删掉了韦达定理的相关内容,但在高中可能因为函数与方程内容及思想的重要性,使得与之关系紧密的的韦达定理应用比较广泛.本文先从一段课堂教学冲突说明删减韦达定理带来的问题,然后介绍韦达定理求根公式和判别式等相关知识,最后提出教学建议,期望对相关内容的教与学有一点帮助.     

应用一元三次方程韦达定理解题

此结论概括了一元三次方程根与系数的关系,亦称为韦达定理． 一元三次方程韦达定理作为一元二次方程韦达定理的延伸,在中学数学竞赛中有着广泛的应用,在思维上具有一定的灵活性和深广度．本文通过几个问题阐述其应用．     

韦达定理在解一元三次方程中的应用

<正>中学数学课程中的韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系,其综合性强,应用广泛,贯穿于中学数学始终,是教学重点之一.由代数基本定理可推得韦达定理在复数范围内同样适用于任何一元n次方程.对于高次方程,韦达定理更有妙用.随着各大学自主招生联盟的形成,自招命题的风格有了明显转型,着力点和区分度主要放在高考自然延伸出的一些知识和解题方法上.近几年,几个著名大学联盟的考试中都有利用韦达定理解决一元三次方程有关问题的试题.笔者就以     

万变不离其宗 再谈韦达定理

2018年浙江省数学高考的解析几何大题考查的是韦达定理,但有点棘手。韦达定理是很多解析几何大题的"独木桥",文章通过整理韦达定理在联立方程组,转化为有关斜率的方程和点的方程等三方面的应用,明确了韦达定理使用的条件,即题目中是否存在两个变量满足相同的等量关系,且此等量关系是否能转化为一元二次方程,还提出了在教学中要有意识地培养学生归纳解题方法的能力,引导学生抓住问题的本质。     

一元四次方程韦达定理在解题中的应用

<正>文[1]对一元三次方程韦达定理进行了整理,列出了根与系数的关系式,并通过例题对一元三次方程韦达定理的应用给出了详细的介绍.笔者通过对文[1]的阅读,考虑在一元四次方程中韦达定理的应用,并对文[1]中的几道例题进行改造,阐述此定理在这些问题中的应用.     

一道高考解析几何题的思考与探索(续)

<正>解析几何在高中数学学习中占有举足轻重的地位,近几年高考对直线与圆锥曲线相交问题的考查更是主流.这类问题的常见解题思路为：将条件和结论坐标化,联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理解决问题.解析几何问题的解题思路是清晰的,但多元变量运算的繁、难是导致学生“畏算”的主要因素.若解题方法选取得当,则会将大大降低运算难度,实现“巧算”.本文以2022年新高考I卷第21题第(2)问为载体,探讨解析几何问题解决的常见解题策略(此题的背景和方法也可推广到椭圆和抛物线).