从一道联考题出发谈极值点偏移问题的解法

<正>试题呈现(2022年湖北省高三二月联考第22题)已知f(x)=x²-2alnx,(1)讨论y=f(x)的单调性;(2)若y=f(x)有两个零点x1,x2(x10是y=f(x)的极值点,求证:x₁+3x₂>4x₀．一、解法探究解:(1)因为f(x)的定义域是(0,+∞),则f’(x)=■．当a≤0时,f’(x)> 0恒成立,即y=f(x)在(0,+∞)单调递增,当a> 0时,     

构造法求解不等式综合问题之思维策略举隅

<正>1．构造函数方程例1(97年全国卷)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根分别为x1,x2,且满足0相似文献   

一道双变量“存在性或任意性”问题的深层次探究

<正>问题已知函数f(x)=x+4/x,g(x)=2x+a．若?x₁∈[1/2,1]，?x₂∈[2,3]，使f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1/2,]1时，f’(x)=1-4/x²<0,f(x)单调减，可得f(x)在[1/2,1]的最小值f(x)_min=f(1)=5．又g(x)=2^x+a单调增，故g(x)在[2,3]的最大值g(x)_max=g(3)=8+a．     

这种解法对吗

对于题型f(x)~(1/2)＞g(x),很多参考书和许多同学在解此类不等式时都认为它等价于{f(x)≥0 g(x)＜0,或f(x)≥0,g(x)＞0,(*) f(x)＞g~2(x)．这种解法对吗?我们先看下面的例子：例题：解不等式α~2-x~2~(1/2)＞2x-α(α＞0)．解：如果按照上面的解法有：原不等式等价于     

从“题目解决”到“问题本质”的探究——对2022广东省一模导数题的背景思考

<正>一原题呈现题目已知f(x)=lnx+ax+1,f’(x)为f(x)的导函数．(1)若对任意x> 0都有f(x)≤0,求a的取值范围;(2)若0 相似文献   

用逻辑纠正一道题的解答

<正>题目：已知函数f(x)=log₂x.(1)设g(x)=f(■)·f(2x),求函数g(x)的值域;(2)若不等式f(k·2^x)≥f(4^x-k)在区间[1,2]有解,求实数k的取值范围．这是一道高一期末考试题,命题者提供的解答如下：(1)易得值域为-4,[+∞)(具体过程略)解．     

题库(二十六)

1.定义在R+上的函数f(x)满足如下条件:①存在x0>1,使得f(x0)≠0;②对任意的实数b,有:f(xb)≠bf(x).求证:(1)对一切x>1,均有f(x)≠0;(2)当a>2时,有f(a-1)f(a+1)<[f(a]2.2.已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf2(x)>f(x)在x>0时恒成立.(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数;(2)求证:当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);(3)已知不等式1n(1+x)-1且x≠0时恒成立,求证:1/221n22=YSW2006.12编辑/刘鹏原创题库43     

例说函数f(x)=x+k/x(k>0,x>0)的最值

高考在求最值问题的函数中,有不少都可归结为求函数y=x+k/x(k>0)的最值问题,有鉴于此,适当关注这种函数是有必要的. 应用导数,f(x)=1-k/x2=x2-k/x2,x ∈(0,+ ∞),令f(x)>0,得函数f(x)的单调减区间(0,k~(1/2);令f(x)<0,得f(x)的单调增区间(k~(1/2),+ ∞)。     

抽象函数题的类型

一、求函数的定义域的试题例1 已知f(x+1)的定义域是[-2,3),求,f(1/x+2)的定义域.解∵f(x+1)的定义域为[-2,3),即-2≤x<3, ∴-1≤x+1<4 ,∴-1≤1/x+2<4.∴x≤-1/3或x>1/2故f(1/x+2)的定义域为(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞).二、确定取值范围的试题例2如果函数f(x)的定义域为{x|x>0},且,f(x)为增函数,f(x·y)=f(x)+f(y).     

导数用于证明不等式

导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分．本文就谈谈导数在一元不等式中的应用．例1已知x∈(0,π/2),求证：sinx＜x＜tanx．证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx＞0,g′(x)=sec~2x-1＞0．所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数,     

一道导数压轴题的再探究

<正>试题呈现已知函数f(x)=e^x[x²-(a+2)x+a+3].(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在(0,2)有两个极值点x₁,x₂,求证：f(x₁)f(x₂)<4e².本题是泉州市2023届高中毕业班质量监测一第22题．试题题干简洁、朴实无华,问题(2)给人的第一感觉是极值点偏移问题,但深入思考之后发现其与极值点偏移问题并无关联．     

2022年全国甲卷导数压轴题的解法探究

<正>一、试题再现已知函数f(x)=e^x/x-ln x+x-a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x₁,x₂，则x₁x₂<1．本题是2022年全国甲卷导数压轴题．第(1)问已知不等式求参数的取值范围，难度中等;第(2)问考查导数的应用，属于极值点偏移问题，难度偏难．     

一个值得质疑的答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2 π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x) f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

判断函数单调性四法

一、定义法设x1,x2是函数f(x)定义域上的任意两个数,且x1f(x2),则此函数为减函数. 例1 (2001年春季高考题)设函数f(x)=x+a/x+b(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.     

一个值得质疑答案

试题:已知向量a=(2cosx/2,tan(x/2+π/4)),tan(x/2-π/4)),令f(x)=a·b．是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)?若存在,则求出x的值;若不存在,则证明之．这是2005年江西省高考理科数学第18题．各参考书及网站上的答案如下:     

导数江湖行,证题有神功

在新课标中,应用导数研究函数的单调性进而证明不等式是近些年来高考中出现的新热点．导数为证明提供了“金钥匙”,解题如行云流水,简捷明快．现举几例,予以说明．例1若x＞-1,证明：In(x+1)≤x．证明：令f(x)=In(x+1)-x,则f(x)=1/(x+1)-1．令f′(x)=0,解得x=0．当-1＜x＜0时,f(x)＞0,所以f(x)在区间(-1,0)上单调递增．当x＞0时,f(x)＜0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减．所以,当x＞-1时,f(x)=In(x+1)-x≤f(0)=0,即In(x+1)≤x．方法步骤：(1)移项,使不等式一边为0,构造辅助函数；     

例说构造函数解不等式

例1.解不等式、/不丙一勺万二兹>3〔l一x)解:构造函数f(x)一、/产妥不革一了不瓜+3x在〔一4,冬〕上是增函数. 乙又丫f(1)一3:.原不等式变形为f(x)>3一f(1).’.x>1~一一~,、,,一、.__一7则原不等式的解为1o 解:构造函数f(x)一x(1+、/万石),x任R. f(x)在〔0,+oo)上是增函数. 又f(一x)一一x(z+v仗不几)一一f(x) :’f(x)为奇函数,从而f(x)在(一二,+二)上是增函数. 则不等式可化为f(x+l)+f(x)>o 即f(x+l)>一f(x)=f(一x…     

巧用一次函数的单调性解题

根据一次函数的图象及单调性,容易推得如下结论成立:一次函数f(x)=kx+b(k≠0),当x∈[m,n]时,1f(x)>0f(m)>0且f(n)>0;2f(x)<0f(m)<0且f(n)<0;3f(x)=0f(m)f(n)≤0.有些数学问题,可根据题意转化为关于某一变量的一次函数,应用上述结论求解,简捷、明了.例1对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,试求实数x的取值范围.解:不等式x2+px>4x+p-3即(x-1)p+x2-4x+3>0令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3视它为关于p的一次函数,显然x≠1.由于0≤p≤4,所以由f(p)>0恒成立可得f(0)>0且f(4)>0,即f(0)=x2-4x+3>0f(4)=4(x-1)+x2-4x+3>0.解之得x<-1或x>3.例2…     

一类函数的性质及应用

在高中数学教学中 ,对函数的图象及性质的学习占有相当的比例 ,特别是对一些典型函数的研究可以培养思维能力 ,提高思维品质 .本文简要介绍函数 f(x) =ax +bx(a>0 ,b>0 )的性质 (单调性、值域和图象 )及应用 .一、函数 f(x)的性质1 单调性函数 f(x) =ax+bx(a>0 ,b>0 )的定义域为 ( -∞ ,0 )∪ ( 0 ,+∞ ) .由于 f( -x) =-f(x) ,所以函数 f(x)是奇函数 .先讨论 f(x)在 ( 0 ,+∞ )上的单调性 .设 0 相似文献   

二次函数论证题的巧思妙解

以二次函数为背景的高考综合题,已经从代数题的计算化、程序化层面上升为抽象论证能力的高档题,成为拉开考生思维档次的重要手段.本文从解题思路分析的角度,揭示巧思的来由、妙解的发现.例1.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足00,f(x)-x1<0.然后分别证这两个不等式.证明1由00.①又f(x)-x1=[f(x)-x]+(x-x1)=a(x1-x)(x2-x)-(x1-x)=a(x1-x)[(x2-x)-1a]<0②由①、②得x相似文献