斜率为定值的圆锥曲线切线方程的统一性

文[1]中论述了过圆、椭圆、双曲线上一点的切线方程的统一性.我们发现,斜率为定值的圆、椭圆、双曲线的切线方程也具有统一性.定理1斜率为k,与圆x2+y2=r2相切的直线的     

用切线方程巧求一类最值

椭圆,双曲线的斜率为k的切线方程分别为．（用判别式法推导切线的方程简单易得,本文从略）．下面主要谈谈应用以上切线方程,求解形如：的无理函数的最值,举例如下．例1求函数的最小值．解今x＝2,则对于给定的常数t,方程表示斜率为t,且切半椭圆的一条直线．因此所求函数的最小值,实际上就是斜率t变化时,这些切线与直线X一2交点的最小纵坐标．作图易知,当切点在直线x=2上时,这条切线与直线x=2交点的纵坐标最小．所以例2求函数的最小值．解今x=5,则方程表示斜率为t,且切双曲线于x轴上方部分的一条直线．类似例1可知,当切点在直…     

双曲线渐近线方程运用例谈

双曲线方程的渐近线方程为即＝0;反之,由渐近线方程0,可得双曲线方程为,即。如由其他条件求出入,即可求解一些有关双曲线问题,以下试举例说明之。例1．求以为浙近线,且经过点（1,2）的双曲线方程。解：设双曲线方程为点（1,2）在双曲线上,故所求双曲线方程为例2．求以双曲线的焦点为焦点,一条渐近线方程是的双曲线方程。解;已知双曲线方程即为设所求双曲线方程为得故所求双曲线方程为以上两例是已知双曲线的渐近线方程,求双曲线方程一类题的解法。下面再介绍另一类题的解法。例3．已知双曲线的对称轴平行于坐标轴,渐近线方程…     

运用共轭双曲线系求双曲线方程

运用共轭双曲线系求双曲线方程湖北省京山一中梁克强我们把与双曲线有共同渐近线的双曲线的集合，称为共轭双曲线系．下面讨论方程所表示的曲线系．１．当λ≠０时，方程①可化为，它的图形是以直线为渐近线的双曲线．λ＞０时，焦点在ｘ轴上；ＩＭＯ时，焦点在ｙ轴上．２...     

双曲线中点弦存在性的探讨

<正> 求过定点的双曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法: (1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方程. (2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与     

圆锥曲线中一组优美的斜率等式

笔者利用曲线的参数方程得到以下含斜率的一组等式，体现出圆锥曲线的和谐美．本文以椭圆为例给出证明，对于双曲线情形，类似可证。     

二次曲线已知斜率的切线方程的应用

二次曲线的切线方程可分为两类:一类是已知切点的切线方程,另一类是已知斜率的切线方程。本文想谈谈第二类切线方程的应用。我们知道,斜率为k,并且与椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1,双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和抛物线y~2=2Px相切的切线方程分别     

切线方程的统一

关于二次曲线切线的处理,我们注意到了一些需要也完全可以统一的情况: 第一:求解方法因曲线的类型而异,比如《课本》中,求圆的切线用了斜率关系,求抛物线、椭圆、双曲线时用了二次方程判别式。第二:方程形式因已知点的位置而不同。当已知点M在曲线上时,切线方程很简单;当M在曲线外时,情况就复杂了,通常的教材都没有给出方程。第三:直线方程存在有斜率切线与无斜率切线的区别,并且常常因此而导至失误。在这方面,《课本》(甲种本)对圆和抛物线的处理都欠周密。《课本》(甲)P74例2,求圆     

双曲线中点弦存在性的探讨

解过定点的双曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法: (1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线的斜率的关系,从而求出直线方程. (2)联立法,即将直接方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与判别式求解.     

直线方程x=my＋n的应用举例

直线与圆锥曲线的位置关系问题是每年高考必考的热点问题,也是高中解析几何的重要内容．在设直线的方程时,我们总习惯用与直线斜率有关的直线方程,如斜截式、点斜式方程．由于这些直线方程不能表示与x轴垂直的直线,因此在解答时常会因考虑不周全忽视直线斜率不存在的情形．故当直线的斜率不为零时,将直线的方程设为x=my＋n,不仅可以避免直线斜率存在性的讨论,而且可以简化运算．以下谈谈直线方程x=my＋n的特征及应用．     

圆锥曲线切线方程的一种简易求法

六年制重点中学课本《解析几何》,在推导已知切点 p(x_0,y_0)的圆锥曲线的切线方程时,应用判别式求斜率 k,然后应用点斜式求出切线方程(详见课本).这种方法运算较繁,特别是用这种方法推导椭圆与双曲线的切线方程,在求斜率 k 时,求解更繁,这给教和学都带来不便.本文介绍一种简易求法.以抛物线为例,设 p(x_0,y_0)为抛物线     

与双曲线渐近线关联的一组有趣性质

<正>双曲线的渐近线作为和双曲线位置关系最为特殊的直线，有着它自身所独有的一些典型性质．本文以双曲线C:■(a>0,b>0)为例，介绍并推导一组与渐近线有关的有趣性质，其中有的性质甚是优美，我们既可以从解题的角度分析、运用它们，也可以从数学美的角度去欣赏它们．     

从一道试题谈起

2007年初,某重点中学的期末考试中,有如下一道试题（记为例1）：“是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求其方程;若不存在,说明理由．（1）渐近线方程为x＋2y=0和x-2y=0;（2）点A（5,0）到双曲线上动点P的距离的最小值为√6”．从这一道试题说明,近年来的数学考试中,有两个热点问题：一是利用共轭双曲线系求双曲线方程,二是探索性问题．     

过双曲线的中心能向双曲线引切线吗?

题:求双曲线的两条互相垂直的切线的交点轨迹。解设双曲线的方程为x~2/a~2-y~2/b~2=1由于双曲线互相垂直的切线其斜率一定存在,且不等于零,故可设其斜率分别为k和-1/k,则两条切线方程分别为 y=kx±((a~2k~2)-b~2)~(1/2),①和 y=-(1/k)x±((k~2/a~2)-b~2)~(1/2)。     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.     

求圆锥曲线离心率“四法”

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质,在高考中频繁出现,下面给同学们介绍常用的四种解法．一、直接求出a、c,求解e已知标准方程或a、c易求吋,可利用离心率公式e=c/a来求解．例1过双曲线M:x2-y2/b2=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直     

关于“伪中点弦”的思考

1问题的提出题目经过点P(1,1)的直线l和双曲线x2-y2/2=1交于A,B两点,并且P是弦AB的中点,问直线l是否存在,如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,说明理由.对于这道题,我们都非常熟悉,可以用点差法来处理,解题过程如下:解当直线l的斜率不存在时,显然不满足要求;     

如何避免斜率不存在时的漏解

众所周知，如果设直线方程为点斜式y-y0=k(x-x0)或斜截式y=kx+b，那么斜率k就必须是存在的，所以它表示的直线的倾斜角α的取值范围是0≤α&;lt;π且α≠π/2．但是在解决某些问题的时候，我们又必须考虑斜率不存在的情况．如何解决这个矛盾呢?其实方法很简单，只要将直线方程设为x-x0=m(y-y0)或x=my+a就可以了．因为这两个方程表示的直线，当m=0时就是斜率不存在的情形．下面举例说明．     

浅议双曲线离心率与渐近线斜率的关系

双曲线在历年高考中都有着重要的地位．而双曲线的离心率和渐近线作为反映双曲线图形特点的基本几何性质,它们之间的关系更应成为我们关注的焦点．已知双曲线方程x2/a2-y2/b2=λ(a >0,b>0,λ≠0)求渐近线方程,只需将方程右端的“λ”换成0,整理     

双曲线教学中的类比法

在双曲线的教学中,通过与椭圆的类比,让学生自主探索双曲线的相关知识,本文从两个方面探讨了类比法在椭圆和双曲线教学中的应用：（1）类比法在双曲线定义与标准方程推导中的应用;（2）类比法在解双曲线例题和习题中的应用．