再谈运用基本不等式的变形技巧

利用基本不等式求解最值、值域、证明不等式,是高中教学的重点之一,也是高考命题的热点之一,特别是在高考的压轴题中常涉及到.对这类问题的关键是灵活创造使用均值不等式的条件.然而,对已知条件如何合理的拆分和配凑,使＂和式＂或＂积式＂为定值,往往是同学们解决这类问题的难点,本文就再谈运用基本不等式的变形技巧.     

巧“凑定值”求最值

基本不等式是高中数学的一个重要内容,是高考考查的一个重要知识点,针对如何利用基本不等式求最值,特别是求解两个式子之和的最小值以及两个式子之积的最大值有着重要的作用.应用基本不等式的重点是定值的条件,做题时要能灵活使用已知条件和所要求的式子给代数式做合适的等价变形,变出应用基本不等式的基本条件.如何凑定值是使用基本不等式解题的关键环节,本文着重从凑定值的几种方法入手,介绍求最值得常用几种题型和方法.     

用√ab≤a＋b/2求最值适用条件不满足时的对策

均值不等式√ab≤a＋b/2是求解某些函数的最值的有效工具,它的三个必要条件：“一正、二定、三相等”是相关考题瞄准的焦点,在具体题目中,“正数”条件往往易从题设中获得,“相等”和“定值”条件常常被设计为此类题的难点,它需要一定的灵活性和变形技巧,因此“相等”和“定值”条件决定着均值不等式应用的可行性,这是解题成败的关键,对初学者而言,为突破这一难点,有必要掌握以下几种常用的策略．     

例说构造不等式求解范围问题的策略

最值及范围问题,其实质是确定一个不等关系.故如何利用题设条件构造不等式是解此类问题的关键.本文就构造不等式求解范围问题的策略例说如下:     

正确运用平均值不等式

平均值不等式是一个重要的基本不等式,它在中学数学中有很重要应用,利用它不仅可以证明一些不等式,还可以求函数值域或最值．在运用这个不等式时,一定注意是否满足正数条件、定值条件(和或积为定值)、等号条件(不等式中等号是否成立),简单地说即所谓“一正、二定、三相等”,否则容易出错．下面就是学生在解题中容易出现的一些错误。     

妙用均值不等式求多元函数的最值

在教学实践中,同学们一般都能用均值不等式求一个变量的最值,这只需按照“一正、二定、三等”六字诀即可搞定．但是,对于一些二元或多元函数的最值问题,即使比较简单,同学们也往往望而生畏．笔者的体会是,同学们不必拘泥于“定值”二字,而应尝试用均值不等式去“化积”、“化和”,从而把这个非定值的积或和约分,进而突破“瓶颈”,使问题获解．举例说明如下：     

浅谈关于数学教学中求最值的问题

在新课改的要求下，注重了加强对学生能力的要求，要求学生在掌握基本知识、基本方法的基础上，融会贯通，举一反三．而关于最值问题，一直是教学中的难点，也是高考中的重点．主要在于它涉及的知识面广，综合能力强，求解方法多，数学思想方法应用灵活等各方面因素，导致学生在遇到此类问题时往往感觉无从下手．结合自己在实际教学中的一些感悟，谈一谈关于教学中求最值的一些思路和方法．     

均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造

均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它有着广泛的应用,本文主要就它在求函数最值中的应用举例说明．我们知道使各因式之和（或积）为定值是利用平均值不等式求最值的关键点．其次,还要使各因式相等才能实现,即等号成立的条件必须满足,否则将导致错误,这也是使用均值不等式求最值的难点．     

基本不等式之“1的代换”

利用基本不等式求最值是高考的基本考点,高考主要求最值、判断不等式、解决不等式有关的问题.运用基本不等式需要注意“一正、二定、三相等”的条件,为了得到“定值”,往往需要对目标式进行恰当的“配”“凑”.“1的代换”是一种常用的方法,可用来创造使用基本不等式的条件.     

强化模型意识 探寻解题思路

<正>基本不等式是高中数学的重要内容之一,是高考中必考的考点.运用基本不等式求解最值问题是高考以及各级模拟考试中的热点.由于运用基本不等式求最值的问题形式多样,方法灵活,很多学生往往因此绞尽脑汁找不到解题思路.下面结合教学中的典型例题,谈一谈模型意识在解决一类运用基本不等式求最值问题中的作用,以期抛砖引玉.     

恰当构造函数，可使不等式问题证明简捷化

在解决一些不等式问题时,若直接去证明（或解答）,问题的解决过程可能会很复杂．若能从所给题目条件中的不等关系出发,去探索,去寻找条件与证明的结论之间存在的规律,“恰当”构造出一个沟通条件与结论不等关系的新函数,利用函数的单调性和最值,便可使不等式问题的解决过程得到简化,使问题解决简捷化．因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”．如何有效合理地构造出函数是使不等式问题获得证明（或解）的关键．     

中学数学中的“无关”型定值问题

定值问题是中学数学中一大知识点,也是一个难点。此类问题,分布很广,综合性强,构思精妙,形式多变。特别是一些“无关”型定值问题,进一步提高了命题中可变条件的“份量”,增加了解题的难度,学生往往感到此类问题很新颖,但如何求解却不得要领。这里想通过一些例题,说明一些方法,并对这类问题进行归纳,从而摸索出一点规律。一、与某些参数“无关”的定值问题     

用基本不等式求最值时如何构造定值

用不等式求最值时,定值的确定是一个难点,也是相关高考题中经常设计的一个“坎”,它往往需要一定的灵活性或变形技巧．下面举例说明．     

对一道三角形面积最值问题的解法与思考

<正>解三角形中的最值与取值范围问题,在高考中考查形式灵活,是教学中的难点,常常在知识的交汇点处命题,与函数、几何、不等式等知识结合在一起.我们知道三角形只要满足三个条件,那么这个三角形就基本唯一确定了,而少于三个条件时,其边、角、周长和面积就可以变化,从而就有了求这些量的取值范围问题.这类问题的求解方法主要是充分运用三角形的正余弦定理,结合不等式或函数的知识,必要时运用轨迹的思想,本文针对一道三角形面积的最值问题谈谈对此类问题的一些思考.     

基本不等式使用的4个情形及注意事项

基本不等式a b≥2(ab～(1/2))是不等式证明及求函数最值的重要工具,在新教材中这一工具作用体现更明显,灵活使用基本不等式是成功解(证)题的关键,使用时要注意条件满足“一正、二定、三相等”.一正:各项或各因式必须为正数;二定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和     

含参数不等式的解证

含参数不等式的解证是近几年高考中的重点和难点,因涉及的思维程度较高、综合性较强,学生在解题时往往感到无从下手,在高考中得分不高．而解决此类问题需要学生灵活地进行代数变形,综合运用所学知识,方可取得较好的解题效果,因此此类问题的求解当属学习难点．本文通过对若干例题的分析,试图说明此类问题的常见求解策略,供大家参考．     

一个二元函数最值问题的解题策略

二元函数条件最值的求解历来是高中数学的重要专题之一,该类问题一般来说难度较大,解法灵活,是学生学习上的难点。本文试图就一道二元函数最值题的多种解法对此类问题的解题策略作一粗浅     

分析特征明确思路，强化基本不等式应用

不等式是高中数学的重要内容之一,而基本不等式√ab≤a＋b/2（a≥O,b≥O）的应用则是重中之重,它具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,同时也是证明不等式及求函数最值的重要工具．明确基本不等式的应用条件,灵活使用基本不等式是成功解题的关键,使用时要注意“一正、二定、三相等”的条件限制．     

放缩法证数列不等式的常用技巧和2个关键的把握

多年来，运用放缩法证明数列不等式是高考命题的一个热点，然而在实际的教学中用放缩法证明数列不等式却是一个难点．学生在运用时普遍感到难以驾驭，究其原因正是在于使用放缩法需要较高的拆分组合技巧，还要把握好放缩的“尺度”．笔者认为，若想要在综合问题中灵活熟练地运用放缩法，就需要牢固掌握应用放缩法证明数列不等式的一些基本技巧（或者称之为基本类型）和放缩的“尺度”，下面举例说明之．     

用基本不等式求最值

用基本不等式求最值的问题能很好地训练学生的观察能力、运算能力、创新思维能力,但多数学生对此类问题“一筹莫展”．本人在教学过程中对此问题进行了一系列尝试,感觉收效较好,现将教学过程记录如下,供大家参考．