也谈在圆内解释三角公式

《中学生数学》2003年第12期（上）刊登的刘冬辉同学《在圆内解释三角公式》一文“利用圆的特点,不难解释三角公式：tanθ/2=sinθ/（1＋cusθ）和cotθ/2=（1＋cosθ）/sinθ.     

三角计算中应注意角范围的精确性

有这样一道解答题：已知sinθ=-3/5,3π〈θ〈7π/2，求tanθ/2的值，许多同学采用下面的解法. 解 由sin=2sinθ/2cosθ/2/sin^2θ＋cos^2θ/2=2tanθ/2/1＋tan^2θ/2,得2tanθ/2/1＋tan^2θ/2=-3/5     

用1过渡

例1比较1.8^0.6与0.8^1.6的大小.解由指数函数的性质,得1.8^0.6>1.8⁰=1,而0.8^<sup>1.6<0.8⁰=1,所以1.8^0.6>0.8^1.6.例2计算（1+cot15°）/（1-tan75°）的值.解因为tan45°=1,所以（1+cot15°）/（1-tan75°）=（tan45°+tan75°）/（1-tan45°tan75°）     

浅析摩擦角及其有关现象

物体(质点)沿倾角为θ的斜面下滑,若物体与斜面间的动摩擦因数为μ,当斜面倾角θ满足tanθ=μ时,物体能沿斜面匀速下滑．分析此时物体的受力情况并根据力的平衡条件可得出:N和f的合力F必和mg等大反向,如图1所示．由几何关系得出:(?)=θ．所以,tanθ=tan(?)=f／N=μ,或θ=(?)=tan-1μ．     

一类三角问题的几何解法

本文利用公式sin^2θ＋cos^2θ=1及tanθ=sinθ/cosθ,将（cosθ,sinθ）看成曲线（直线）上点的坐标,将三角题目的求解转换成代数几何问题来解决．     

浅析摩擦角及其有关现象

物体（质点）沿倾角为θ的斜面下滑，若物体与斜面问的动摩擦因数为μ，当斜面倾角θ满足tanθ=μ时，物体能沿斜面匀速下滑．分析此时物体的受力情况并根据力的平衡条件可得出：N和f的合力F必和mg等大反向，如图1所示．由几何关系得出：φ=θ所以，tanθ=tanφ=f／N=μ，或θ=φ=tan^-1μ．     

用三角代换法证明不等式(高一、高二、高三)

题1设x∈(1,2),求证:1/x 1/(2-x)>2.证明设x=2sin2θ(θ∈(π/4,π/2)),则1/x 1(2-x)=1/2csc2θ 1/(2cos2θ)=1/2csc2θ 1/2sec2θ=1/2(1 cot2θ 1 tan2θ)=1/2(2 tan2θ cot2θ)≥1/2(2 2(tan2θcot2θ)~(1/2)(但等号不成立)     

一道国家集训队选拔考试题的简证及推广

题目设∠XOY=90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP=30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N.求OM ON-MN的最大值.(2004,IMO中国国家集训队选拔考试)图1解:如图1,设∠PMO=θ(0°<θ<90°),则OM ON-MN=32 12cotθ 12 32tanθ-12sinθ-32cosθ.令tanθ2=t∈(0,1),则OM     

例谈三角函数最值的几种解法

类型1 y=asinx＋bcosx型可以化为y=√a^2＋b^2sin（x＋θ）（其中tanθ=b/a）．     

斜面上的平抛运动研究

<正>如图1所示,已知斜面与水平方向间的夹角为θ,物体的初速度为v_0,充分利用夹角θ,我们可以求出一系列物理量。在水平方向上有x=v_0t,在竖直方向上有y=1/2gt~2,且tanθ=y/x,运动时间     

一个引理与一道CMO题的解

2003年中国数学奥林匹克(CMO)第3题:给定正整数n,求最小的正数λ,使得对任何θi∈(0,(π/2)(i=1,2,…,n),只要tan θ1·tan θ2·...·tan θn=2(n/2),就有cosθ1 cosθ2 ... cosθn不大于λ.     

巧用直线斜率公式解决数学问题

在《直线和圆的方程》一章的学习中,我们知道倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即 k=tanθ．如果知道直线上两点 P_1(x_1,y_1)．     

2006年高考数学《考试大纲》解读及迎考策略

一 2006年高考数学《考试大纲》变动情况 1、文科数学《考试大纲》的变化 (1)三角函数部分,将2005年“考试内容”中的“任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式．正弦、余弦的诱导公式．”改为“任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式:sin2α cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanαcotα=1．正弦、余弦的诱导公式”．同时将“考试要求”中的“(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同     

错在哪里

<正>1安徽省繁昌县第一中学卢成(邮编:241200)题目已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α=_.解4sinαcosα=2cos²α■tanα=1/2或cosα=0,(1)当tanα=1/2时,tan2α=2tanα/(1-tan2α■tanα=1/2或cosα=0,(1)当tanα=1/2时,tan2α=2tanα/(1-tan²α)=4/3;(2)当cosα=0时,tanα无意义,所以tan2α=2tanα/(1-tan2α)=4/3;(2)当cosα=0时,tanα无意义,所以tan2α=2tanα/(1-tan²α)也无意义.     

三角函数中九种变换

一、变公式要善于将公式正用、逆用和变形用,以开拓解题思路.例如:tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）可变形为tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）或tanα+tanβ-tan（α+β）=-tan（α+β）tanαtanβ等.例1求tan20°+tan40°+3^1/3tan20°tan40°的值.解:由tan60°=tan（20°+40°）=（tan20°+tan40）°/（1-tan20°tan40°）得tan20°+tan40°=tan60°（1-tan20°tan40°）=3^1/2-3^1/2tan20°tan40°.所以原式=3^1/2-3^1/2tan20°tan40°+2^1/2tan20°tan40°=3^1/2.二、变角度     

“弦化切”思想在三角问题中的应用

一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2…     

几种三角函数极值的物理应用

1 y=asinθ＋bcosθ的极值应用 y=asinθ＋bcosθ=√a^2＋b^2sin（θ＋α）,其中tan α=b/a，所以,y的极值：ymin=-√a^2＋b^2sin     

浅谈高中数学三角函数题型的求解问题

<正>三角函数是高中数学的重要组成部分,也是高考中的必考部分,下面简单归纳分析相关题型的解题技巧,希望能帮助同学们快速掌握相关技巧。一、有关填空题求值问题的求解例1(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若tan(θ+π/4)=1/2,则sinθ+cosθ=_。     

值得研究的一个最大角问题

《普通高中课程标准实验教科书》数学5(必修,2004年人教版)习题3.4B组第113页第2题:树顶A离地面a米,树上另有一点B离地面b米,在地面的C处看此树上的A,B两点,离此树多远时视角最大(图形此处略,以下简称问题).1.问题的解决解法1(三角法)设树与地面相交于一点O,则∠OCB=α,∠OCA=β,∠ACB=θ=∠OCA-∠OCB=β-α,OC=x,则有tanα=xb,tanβ=xa所以tanθ=tan(β-α)=1ta ntβa-ntβtaannαα=xa -axbb(1)由已知有a>b,x>0,故由(1)知tanθ>0,所以θ为锐角,由基本不等式得tanθ≤a-b2x·axb=2a-abb,由三角函数得sinθ≤aa -bb,所以θmax=arc…     

整体代换解题六则(高一、高二、高三)

解决数学问题时,利用整体代换往往能化难为易,化繁为简.下面举例说明.1.求值例1 若4sinθ 3cosθ=5,求tanθ。解设tanθ=k,则有