病题两例

1.直角三角形的周长为6,斜边上的中线为1,求此三角形的面积。满足此条件的三角形是不存在的。证明如下:如图,设 AB=x ∵BD=1∴AC=2,BC=4-x, 由勾股定理: x~2+(4-x)~2=4 整理:x~2-4x+6=0 △=16-4×6=-8<0 显然,此方程无实根,即符合本题条件     

与几何知识综合的方程题例析

一元二次方程与许多其他数学知识巧妙融合,可缩拟出丰富多彩的综合题。本文以中考题为例,介绍几何、方程综合题的基本特点及解题思路。 例1 若一个三角形的三边长均满足方程x~2-6x+8=0,则此三角形的周长为______。 (2O02年浙江省绍兴市中考题) 解 解已知方程,得x_1=2,x_2=4。     

初二数学期中测试卷(人教版)

第一部分 (满分 10 0分 )一、填空 (每空 2分 ,共 2 8分 )1.-7ab -14abx+ 49abx2 =-7ab() .2 .x4 -9=(x2 + 3 ) (x2 -) .3 .若x2 -2mx + 9=(x -3 ) 2 ,则m =.4.已知a(a + 2 ) =b(b + 2 )且a≠b ,则a+b的值是 .5 .当x时 ,分式 x + 12x -1有意义 ,当x=分式｜x｜-1x-1的值为零 .6.若a2 +b2 -2a-4b + 5 =0 ,则ab -1的值是 .7.约分ax2 -bx2bx-ax =.8.三角形的三边长分别是 2 ,5 ,x ,其中x为奇数 ,则此三角形的周长是 .9.若等腰三角形的一边长为 8,另一边长为 4,则此三角形的周长为 .10 . ABC中 ,若∠A∶∠B∶∠C =1∶ 2∶ 3 ,则 ABC为三角形…     

谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…     

2003～2004学年度第一学期初二年级期末试卷

一、填空 :(每空 2分 ,共 3 0分 )1.16的平方根是 ,当x时 ,分式 ｜x｜-2x2 -5x+ 6 的值为零 .2 .当x时 ,分式 x+ 12x -5有意义 ;当x时 ,式子 3x+ 2 有意义 .3 .若解分式方程 2xx + 4 =ax + 4 时产生增根 ,则a=.4.在图形 :线段、角、任意三角形、等腰三角形、直角三角形中 ,有个轴对称图形 .5.如图 , ABC中 ,∠ACB =90°,CD是高 ,AB=4cm ,∠A=3 0°,则BD =cm .6 .如图 ,等腰 ABC的一腰AB的垂直平分线AC于D ,垂足为E ,AB =10cm , BDC的周长为 16cm ,则底边BC =cm .7.如图 ,四边形ABCD中 ,AB =12cm ,BC =3cm ,CD =4cm ,∠C =9…     

错在哪里?

题:a是什么实数时,(x)/(x-2)+(x-2)/(x)+(2x+a)/(x(x-2))=0只有一个实数根,并求出这个实根。解原方程可变为(2x~2-2x+4+a)/(x(x-2))=0要使原方程只有一个实根,只要使方程2x~2-2x+4+a=0的判别式△=4-8(4+a)=0,解得 a=-7/2把a=-7/2代入方程2x~2-2x+4+a=0解得 x=1/2故当a=-7/2时,原方程只有一个实根x=1/2。解答错了!错在哪里这里混淆了只有一个根与重根的概念,其实由△=4-8(4+a)=0得a=-7/2,从而     

巧求一元二次方程的公共根

在中考数学试卷中和中考数学复资料中,常常碰到一元二次方程公共的问题.在求这类问题时,一般的方是应用方程的根的定义,并借助方程的相关知识加以解决.现向同学们绍一种巧求的方法.例1 方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0有一个公共根,求这个公共根m的值.解:设这个公共根为α,则α2+mα+6=0 (1)α2-(m+4)α-12=0 (2 ) (1) + (2) 得:2α2- 4α-6 = 0,即α2-2α-3=0,∴α1= -1,α2=3.当α=-1时,m = 7,当α= 3时,m =-5. ∴方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0 . 当m = 7时,公共根是-1;当 =-5时,公共…     

初二数学期未综合复习试卷

一、填空题:(每小题3分,共30分)1.用“+”、“-”号填空:-b+a=(b-a);(1-a)3=(a-1)3;(x-y)2=(y-x)2。2.“3与x的差的2倍比x的5倍大”用适当的符号表示为。3.当x=时,分式2xx-+23无意义;当x=时,分式|x|-2x-2的值为0·图14.若4x-3y=0,则xy=,x+yx-y。5.方程3x-2a=2x-1的根是非负数,则实数a的取值范围是。6.如图1,平行四边形ABCD中,BD是对角线,E是BC中图2点,△AOD的周长是12cm,则△BOE的周长是cm.7.如图2,在正方形网格上有五个三角形,其中与△ABC(不包括△ABC本身)相似的三角形有个。8.解关于x的方程xx--13=xm-1有增根,则常数m的值等于。…     

准确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”

在学习逻辑联结词“或”、“且”、“非”时,常有学生提出,命题p“方程x~2-3x+2=0的根是x=1”为假,命题q“方程x~2-3x+2=0的根是x=2”为假,复合命题r:“方程x~2-3x+2=0的根是x=1或x=2”为真;若把复合命题r看作是p和q型的复合命题,出现了与真值表相矛盾的情况。教师对这个问题的解释也模棱两可,学生们对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解还有一些糊涂的认识。本文拟以集合的观点对三个逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义做一些解释,以     

错在哪里

题目　当a取何值时,关于x的方程:xx-2+x-2x+2x+ax(x-2)=0只有一个实数解?错解　去分母,整理得2x2-2x+a+4=0.因为原方程只有一个实数解,所以Δ=4-8(a+4)=-8a-28=0,∴a=-72.剖析　可化为一元二次方程的分式方程只有一个实数解需要考虑两种情况:一是所化成的一元二次方程有两个相等的实数根.二是原方程中未知数有两个不同的取值,其中一个是增根,另一个是原方程的实数解,情况二往往被同学们所忽视.正确解法　去分母,整理得　2x2-2x+a+4=0.Δ=0时,解得a=-72.此时方程的根是x=12;若x=0时,代入2x2-2x+a+4=0,解得a=-4.此时,x1=0,x2=1,x1=0为增根,原…     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆 C1 :x2 + y2 -2 x + 10 y -2 4=0 ,圆 C2 :x2 + y2 + 2 x + 2 y -8=0 ,求经过两圆交点 A、B的直线 l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据直线方程的两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 -2 x + 10 y -2 4=0　 (1)x2 + y2 + 2 x + 2 y -8=0　　 (2 )(1) -(2 )得 :-4 x + 8y -16=0 ,即x -2 y + 4=0 ,变形得 :x =2 y -4 (3 )将 (3 )代入 (2 )化简整理得 :y2 -2 y =0 ,解得 :y1 =0 ,y…     

让学生认识检验方程的解的重要性

小学里检验方程的解有两个目的:一是判断解方程的过程是否完整正确;二是判断计算是否有误。笔者发现,在教学“简易方程”时,很多学生把检验方程的解的过程看作是一种形式,是瞎子成眼境——装装样子。如一名学生解方程“15-0.94+x=20”,错为: 解:0.94+x=20-15 x=5-0.94 x=4.16 检验:把x=4.16代入原方程, 左边=15-0.94+4.16=20,右边=20 左边=右边, 所以x=4.16是原方程的解。又有一学生解方程“0.5×8=8x”,错为:解:4=8x     

2003年一道中考题的多种解法

20 0 3年江苏省盐城市中考数学试卷中有这样一道试题 :已知关于x的方程x2 + 2 ( 2 -m)x + 3- 6m =0 .( 1 )求证 :无论m取什么实数 ,方程总有实数根 ;( 2 )如果方程的两个实数根x1、x2 满足x1=3x2 ,求实数m .这是一道考查学生一元二次方程根的判别式、配方法、非负数性质、一元二次方程的根与系数关系以及方程思想、分类讨论思想水平的好题 .其解法灵活多样 ,有助于学生数学能力的提高 .( 1 )证法一 :由Δ =4 ( 2 -m) 2 - 4( 3- 6m)=1 6 - 1 6m + 4m2 - 1 2 + 2 4m=4m2 + 8m + 4=4 (m + 1 ) 2≥ 0 ,可知无论m取何实数 ,方程必有实数根 .说明 …     

第二部分 热点题型习题精练

探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k　即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6.　∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴…     

用换元法解方程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型,这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程,很难解决。对这类方程,一定要认真观察,看看有没有一元二次方程的背景,然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。例1.解方程x2x2-3x+5√+3x+1=3x+1分析x2-3x-1-x2-3x+5√=0观察发现根号内的(x2-3x)项是有的,移项后再添上5即可。解:原方程可化为x2-3x+5-x2-3x+5√-6=0令x2-3x+5√=y,则有y2-y-6=0解得y1=-2,y2=3当y1=-2时,x2-3x+5√=-2,此方程无解。当y1=3时,x2-3x+5√=3,解这个方程得x1=4,x2=-1。经检验…     

巧解多彩方程

一位入学才半个学期的初一学生,只了解什么是方程和方程的解,他可能解出下列方程吗?这12个方程是多彩多姿的:(1)x(x+1)=20;(2)x+x1=331;(3)x3-2=25;(4)(x-2)4=1;(5)x10-1024=0;(6)12[21(12x+2)+2]+2=4;(7)12[21(12x2+2)+2]+2=4;(8)x-1=3;(9)x-1+x-3=2;(10)x-1+x-2+x-3=21;(11)xx=256;(12)x x x=16.作者曾到多所学校试教,惊喜发现初一同学大都能够愉快解出以上方程,而且诀窍只是一句短语:“盯着未知数!”用著名数学教育家波利亚(G·polye)的话说,就是:“看着终点,记住你的目的、勿忘你的目标、想着你希望得到的东西.”解方程只要盯着那个x,…     

去括号时要小心

在解某些含括号的高次方程时 ,有的同学常常见到括号就去掉 ,总习惯于将方程中的多项式按降幂排好后再设法求解 .岂不知 ,这样的“习惯”处理有时易造成简题繁解 .例　解方程 :(x2 -x -3 ) 2 -(x2 -x -3 ) =x +3 .解法 1:由原方程得(x4+x2 +9-2x3 -6x2 +6x) -(x2 -x -3 )=x +3 .去括号 ,整理得x4-2x3 -6x2 +6x +9=0 .拆项为x4-2x3 -3x2 -3x2 +6x +9=0 .则 (x2 -2x -3 ) (x2 -3 ) =0 .解得x1 =-1,x2 =3 ,x3 =3 ,x4=-3 .小结 :解法 1及其结果无疑都是正确的 ,但其求解过程较繁琐 ,尤其是其求解过程中的“拆项”有一定的难度 ,一些同学往往不能…     

略谈解析几何中退化曲线的应用

解析几何中求解二次曲线问题时 ,有时借助退化的二次曲线 ,可以优化解题过程 ,简化运算 ,使一些曲线方程的求解问题巧妙解决 .1　退化曲线的类型1 方程 (x -D2 ) 2 +(y -E2 ) 2 =D2 +E2 -4F4,当D2 +E2 -4F =0时 ,表示圆的极限情形 :“点圆” .2 方程(x -m) 2a2 +(y -n) 2b2 =k ,(k≥0 ) ,当k=0时 ,表示椭圆的极限情形 :“点椭圆” .3 方程(x-m) 2a2 -(y-n) 2b2 =k ,当k= 0时 ,表示双曲线的极限情形 :渐近线 .4 方程Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx +Ey+F= 0 (A ,B ,C不同时为 0 )若能表示为 (ax +by+m) (ax +by+n) =0 (a ,b不同时为 0且m ≠n) ,…     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆C1:x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,圆C2 :x2 +y2 + 2x + 2 y- 8=0 ,求经过两圆交点A、B的直线l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,(1)x2 + y2 + 2x + 2 y- 8=0 . (2 )(1) - (2 ) ,得- 4x+ 8y - 16 =0 ,即x- 2 y + 4=0 ,变形得　x=2 y- 4. (3)将 (3)代入 (2 )化简整理 ,得y2 - 2 y =0 ,解得 y1=0 ,y2 =2 .将 y1=0 ,y2 =2…     

解分式方程方法因题而异(初二)

1.用倒数换元例1 解方程x2-x-12/x2-x-4=0. (2001年哈尔滨中考) 解设x2-x=y,则12/x2-x=12/y,于是原方程化为 y-12/y-4=0,变形得 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2, 当y1=6,即x2-x-6=0时,解得 x1=3,x2=-2; 当y2=-2时,即x2-x+2=0时,△<0,此方程无实数根.