巧用“0”解数学题

“0”是一个特殊的数。其意义十分丰富,用途很广。是解决教学问题常用的技巧之一,如能恰当利用它,往往能化难为易,化繁为简,显得简捷灵巧,别开生面。现举举数例说明: 1 添“0” 例1 证明函数f(x)=-x~3 1在(-∞, ∞)上是减涵数。 证明:设x_1相似文献   

2016年新课标全国卷Ⅰ理科数学第21题的研究与反思

<正>2016年全国新课标Ⅰ卷理科数学第21题:已知函数f(x)=(x-2)e~x+a(x-1)~2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x_1、x_2是f(x)的两个零点,证明:x_1+x_2<2.这道题的第(Ⅰ)问,考查函数的零点问题,考生很熟悉,有利于考生稳定情绪,大部分考生可以得分,又利于考生切入第(Ⅱ)问.第(Ⅱ)问     

一道高考题的加强及其应用

1994年全国统一高考数学(理工类)试题第(22)题是: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2)若x_1,x_2∈(0,π/2)且x_1≠x_2 证明 1/2[f(x_1) f(x_2)]>f((x_1 x_2)/2)。 现加强之,我们有 定理 若x_1,x_2∈[0,π/2)则tgx_1 tgx_2≥2tg((x_1 x_2)/2)sec~2((x_1-x_2)/2),(1)等号当且仅当x_1=x_2时成立。     

有关凸函数的一个定理及其应用

引理1 (1)若 f(x)为区间[a,b]上的凸函数,对于 x_1,x_2,x_3∈[a,b],满足 x_1相似文献   

高考一道数学题的加强

1994年全国高考理科数学第(22)题为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明1/2〔f(x_1) f(x_2)〕>f(X_1 X_2/2)。 其实,该题可以加强为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),     

巧用韦达定理证一不等式

题设关于x的三次方程有三个正根，则a 9b≤O．证设方程的三个正根为x_1，x_2,x_3，则由韦达定理得x_1 x x_3＝1，故以x＝1-y代入原方程，则关于y的方程(1-y)~3-(1-y)~2-a(1-y)-b=0显然有三个根1-x_1,1-x_2,1-x_3,再由韦达定理，得(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=-a-b.代入前面的不等式，便有巧用韦达定理证一不等式@刘明安$上海县题桥中学     

不等式复习指要

一、主要内容 比较大小,不等式的证明,不等式的解法,不等式的应用,函数、数列等数学分支内容与不等式的综合问题,如: 示例1 (’95全国高考题)解不等式 (1/3)~(x~2-8)>3~(-2x) 说明:解不等式是每年必考的热点之一。 示例2 (’94全国高考题)已知函数f(x)=tgx(x∈R~ ),若x_1,x_2∈R~ ,判断与f(x_1 x_2/2)的大小,并加以证明。 说明:此题属于比较大小这一内容,几何背景涉及凹凸函数的性质。 示例3 (’95全国高考题)设{a_n}是由正数组成的等比数列,S_n表示其前n项的和,证明:1/2(lgS_n lgS_(n 2))相似文献   

函数基本性质的应用

<正>函数是高中数学的基础,对函数性质的考查一直都是高考命题的热点。因此,熟练掌握函数的基本性质,并运用这些性质去解决实际问题显得尤为重要,本文将对函数的单调性和奇偶性在解题中的应用进行探索。一、函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式:设x_1,x_2∈[a,b],则(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0x_1-x_2f(x_1)-f(x_2)>0f(x)在[a,b]上是增函数;(x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0     

利用一次函数性质解题

由一次函数y=f(x)=kx b的图象,我们易得下面的性质: 1° 若k>0(<0),则y=kx b在(-∞, ∞)上是增(减)函数。 2° 若(x_1,y_1)、(x_2,y_2)是函数图象上任意两点,则有(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=k。     

浅谈平均值

如图1所示,函数y=f(x)在x_1到x_2区域内与横轴所围成的面积为S,则y在x_1到x_2区域内的平均值为(?)(x)=S/(x_2-x_1)．物理量的平均值不仅与x_1到x_2这一区域有关,还与选择怎样的自变量x有关．     

一道课本习题的巧用

人教版试验修订本数学高一(上)复习参考题二(B)第6题: 设y=f(x)是定义在R上的任一函数,求证: (1)F_1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数; (2)F_2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。该题本身的证明较简单,但它的作用却不简单,成为判断函数奇偶性的又一有力工具,应用它可以很方便地解答某些高考题。     

二次函数“两点式”的应用

对于二次函数问题,"两点式"的运用,往往会达到意想不到的效果.下面列举几例,说明其应用.例1已知函数f(x)=ax~2 bx c (a>0),方程f(x)=x的两根是x_1、x_2且x_2-x_1>1/a.又若0相似文献   

一道竞赛题的简单解法

2002年全国高中数学联赛二试第二题如下: 实数a,b,c和正数λ使得f(x)=x~3+ax~2+bx+c有三个实根x_1,x_2,x_3,且满足(1)x_2-x_1=λ;(2)x_3>(1/2)(x_1+x_2),求(2a~3+27c-9ab)/λ~3的最大值. 标准答案计算较繁,思路隐晦曲折,不易想到,今给出更直接更简单的解法.     

一道全国高考数学题的引伸及其联想

1992年全国高考理科数学第17题是: 如果函数f(x)=x~2 bx c对任意实数t都有f(2 t)=f(2-t),那么……() (A)f(4)相似文献   

苏教版《数学》必修1第2章中两道习题结论的推广

题1对于任意的x~1,x~2∈R,若函数f(x)=2~x试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小关系.结论f(x_1) f(x_2)/2≥f(x_1 x_2/2)(当且仅当x_1=x_2时取"=");题2对于任意的x_1,x_2∈(0, ∞),若函数f(x)=lgx,试比较f(x_1) f(x_2)/2与f(x_1 x_2/2)的大小.     

从1994年高考数学试题第(22)题谈起

1994年新高考理科第(22)题为:已知函数f(x)=tgx,x∈0,π/2).若x_1,x_2∈(0,π/2),且x 1≠x_2,批明f(x_1) f(x_2)/2>f((x_1 x_2)/2). 文科第(22)题为:已知函数f(x)-log_ax(a>0且a≠x_1,x∈R~ ).若x_1,x_2∈R~ ,判断(1/2)[f(x_1) f(x_2)]与f((x_1 x_2)/2)的大小,并加以证明. 这是一道源于课本、高于课本、推陈出新、考查能力的好题.学生一般感到既熟悉又陌生,似乎都知道如何入手解题,但真正深入下去又感到束手无策.例如有的考生已经计算到了tgx_1 tgx_22sin(x_1_x_2)/[cos(x_1 x_2) cos(x_1 x_2)],但由于受多变量干扰对公式,对公式tg(a/2)=sina/(1 sina)的认识不深,运用不熟(中学课本中应用频率确实也较低),加之处于紧张的考试气氛     

2016年高考数学全国卷(乙)第21题赏析

<正>2016年高考数学全国卷(乙)第21题如下:已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x_1,x_2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.1背景分析本题的命制延续了2015年全国卷Ⅰ第21题的试题特点,题设条件简单明了,从诸如函数零点、参数范围等常考知识点处发问,使考生倍感亲切,有利于考生     

高考理科(23)题的直观思路

题目:已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当 n≤y≤n 1(n=0,1,2,…)时,该函数图象是斜率为 b~n 的线段(其中正常数b≠1),设数列{x_n}由 f(x_n)=n(n=1,2,…)定义.(Ⅰ)求 x_1、x_2和 x_n 的表达式;(Ⅱ)求 f(x)的表达式,并求其定义域;(Ⅲ)证明:y=f(x)的图象与 y=x 的图象没有横坐标大于1的交点.该题解答涉及许多重要的数学思想方法,考     

二分法在求解方程式根时的妙用

<正>二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。二分法的解题原理:f(x)在区间[x_1,x_2]上有连续的函数值,且f(x_1)·f(x_2)<0,则在区间[x_1,x_2]内一定存在x_0,使得f(x_0)=0。再取x_3=(x_1+x_2)/2,将区间[x_1,x_2]分成[x_1,x_3)和[x_3,x_2],若f(x_2)f(x_3)<0,则函数f(x)在区间[x_3,x_2]上有零点。重复以上步骤,就可以得到函数值的绝对值的大小逼近满足精确度要求的零点。     

对2010年高考(天津卷)第21题的另解及启示——数形结合思想在2010高考中的几方面考查

考题再现:(2010·天津卷21)已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);(3)如果x_1≠x_2,且f(x_1)=f(x_2)证明:x_1+x_2>2.