三探角在平面内的射影——一个数学研究性学习活动问题情境设计案例

如何比较一个角θ和它在一个平面α内的射影角θ＇的大小？文[1]给出了这个问题的一个判定方法．但是,正如文[1]在编者按中指出的那样,此判别法的后半部分并不好用．笔者在研究性学习教学实践中,曾设计如下的问题情境,引导学生探索,发现了一种较实用的判别法．[第一段]     

四边形内勃罗卡角的三个公式

若在四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.(见图1)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论.本文假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的.文献[2]中利用杨学枝的一个性质.给出了凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式,之后文献[3]中利用正弦与余弦定理给出了四边形内勃罗卡角的几个计算公式.本文给出勃罗卡角的三个重要公式,进一步丰富了四边形内关于勃罗卡角的性质.     

三探角在平面内的射影——一个数学研究性学习活动问题情境设计案例

如何比较一个角θ和它在一个平面α内的射影角θ′的大小?文[1]给出了这个问题的一个判定方法.但是,正如文[1]在编者按中指出的那样,此判别法的后半部分并不好用.笔者在研究性学习教学实践中,曾设计如下的问题情境,引导学生探索,发现了一种较实用的判别法.     

巧用向量数量积的几何意义再探一类问题

有一类容易出错的问题：若θ1〈α〈β〈θ2,θ1、θ2为定值,求mα＋nβ的范围,易错点是漏掉α〈β这个约束条件．文[1]利用不等式变形的技巧和分类讨论的思想解决问题;文[2]将问题转化为线性规划问题：     

从几何直觉到代数证明

笔者是相信数学直觉的 ,并且还对数学直觉进行过有意识的积累与探索 (见文 [1] ) .本文所提供的新案例 ,经历了从几何直觉到几何论证、并最终得出新代数证明的过程 .问题　设复数ｚ =3ｃｏｓθ ｉ·2ｓｉｎθ.求函数 ｙ =θ-ａｒｇｚ( 0 <θ <π2 )的最大值以及对应的θ值 .( 1999年高考理科第 ( 2 0 )题 )这个问题有一个明显的几何意义 (见文 [2 ] ) ,即复数ｚ所对应的点是椭圆ｘ =3ｃｏｓθ,ｙ =2ｓｉｎθ ｘ232 ｙ22 2 =1的第一象限部分 (图 1) .问题转化为求椭圆离心角θ与旋转角ａｒｇｚ之差的最大值 ,也就是图 1中∠ＭＯＡ的最大…     

公式cosθ=cosθ1·cosθ2的应用举例

高中数学课本[人教版第二册(下B)p.44]给出了公式cosθ=cosθ1·cosθ2,其中公式中的θ1是斜线与平面所成的角,θ2是平面内的直线与斜线在平面内的射影所成的角,而θ是斜线与平面内的直线所成的角,当平面内的直线不过斜足时,θ就是两条异面直线所成的角. 对某些两条异面直线所成的角以及斜线和平面所成的角问题,灵活应用此公式可比较方便的解决,下面举例说明.     

与椭圆有关的一类张角问题

文[1]给出定理: A1A2是椭圆的长轴,M1、M2是长轴上关于中心O对称的两点.P是椭圆上任意一点,当张角∠M1PM2最大时、P与椭圆短轴端点重合. 文[1]对该定理的证明过于复杂,本文给出一个简证.并对相关的一类张角问题作出进一步的探讨.     

圆锥曲线“和谐”新视点

文献[1]从3种类型圆锥曲线的研究中给出了圆锥曲线的一组统一性质,文献[2]给出了用统一定义对文献[1]中的统一性质的证明．受其启发,本文通过对一道试题的研究给出了圆锥曲线又一个统一的几何性质,权作圆锥曲线“和谐”新视点,以供同行参考．     

涉及直角三角形一命题的以向量法为主的证法

文[1]、[2]、[3]、[4]给出了文[1]提出的下列问题的解析证法和几种平面几何证法.笔者再给一个以向量法为主的证法.     

四边形的勃罗卡角范围

<正>如图,凸四边形ABCD中,点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=θ,则称点P是四边形ABCD的勃罗卡点,而θ叫四边形ABCD的勃罗卡角.本文给出四边形勃罗卡角的范围,并利用文[1][2]的结论,给出几个有趣几何不等式.定理若凸四边形ABCD的勃罗卡角为θ,     

公式cosθ=cosθ_1·cosθ_2的应用举例

高中数学课本[人教版第二册(下B)p.44]给出了公式cosθ=cosθ1·cosθ2,其中公式中的θ1是斜线与平面所成的角,θ2是平面内的直线与斜线在平面内的射影所成的角,而θ是斜线与平面内的直线所成的角,当平面内的直线不过斜足时,θ就是两条异面直线所成的角.对某些两条异面直线所成的角以及斜线和平面所成的角问题,灵活应用此公式可比较方便的解决,下面举例说明.图11应用公式求两条异面直线所成的角例1如图1,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别在棱B1C1、C1C上,且EC1=31,FC1=33,求异面直线A1B与EF所成的角.解因为A1B在平面…     

利用正弦等式求二面角

在高中数学教材第九章——直线、平面、简单几何体中,课本介绍了最小角定理,该定理给出的其实就是一个余弦等式：cosθ=cosθ1&#183;cosθ2,其中θ1角是斜线与平面所成的角（空间角）,而θ与θ2均是（或可转化为）两直线夹角（平面角）,这一等式为我们解决（或应角）空间角θ1的大小问题提供了非常直接和衫的求解途径。     

对《运用余弦定理解三角形的一类错误认识》一文的推敲及续谈

<正>问题发现,推敲问题文献[1]原文摘录如下:已知a,b和角B,常常可对角B应用余弦定理,并将其整理为关于c的一元二次方程c²-2accos B+a·2-b2-2accos B+a·2-b²=0,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解,这样的观念是错误的.笔者认为以上论断不正确,其实这种观念是正确的,文献[1]通过例2,例3两个具体题目,利用余弦定     

一个三角恒等式的几何背景

文 [1]中的例 1是 :若 sin4θa + cos4θb =1a+ b(a,b为正数 ) .求证 :sin8θa3 + cos8θb3 =1(a+ b) 3 .该例是文 [2 ]例 4的特例 :设 sin4xa + cos4xb =1a+ b,a>0 ,b>0 .证明 :对任何正整数 n都有 sin2 nxan-1 + cos2 nxbn-1 =1(a+ b) n-1 .文 [2 ]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .实际上 ,如果发现了条件与结论中的某种对称性 ,用数形结合的思想和方法来思考 ,揭示这个三角恒等式的几何背景 ,简便易行 ,过程简明 ,体现了数学的和谐美与简洁之美 .设椭圆 (或圆 )的方程为(a+ b)· X2b + (a+ …     

从空间到平面的一次巧妙转化

高中立体几何部分有这样一个问题：如图一,△ABC的边AB在平面α内,顶点C在α外,点C在α内的射影为点D,设∠ACB=θ1,∠ADB=θ2,试问θ1,θ2的大小关系如何？这里需要比较的是一个空间角与它在某个平面内的射影角的大小关系,凭几何直观或是取特殊角（θ1为直角）容易得出θ1比θ2小,那么当θ1取三角形的其它内角时,     

关联平面内四个点的一个恒等式及其空间类比

<正>1圆内接四边形中的一个恒等式在文献[1]中我们将杨学枝老师在文献[2]中得到的关于圆内接四边形的一个恒等式变形为如下等价形式:定理1^[1]如图1,凸四边形ABCD有外接圆, P为空间中任意一点,则:|PA|²S_?BCD+|PC|²S_?ABD=|PB|²S_?ACD+|PD|²S_?ABC.文献[1]中的证明依赖于用行列式表述的四点共圆的充要条件.本文中我们给出这个行列式的几何意义,由此可以得到关联平面内四个点的一个恒等式,这个恒等式给出了定理1的一个推广.     

巧用三角代换求无理函数的最值

求无理函数的最值问题 ,若用常规方法求解 ,对于有些题目来说就显得较为繁杂 ,计算量也较大 ,但若根据问题的特点巧妙地用三角代换来求解 ,则可把求无理函数的最值问题转化为求三角函数的最值问题 ,使问题得以简化 ,达到事半功倍的效果 .下面就介绍几类可用三角代换法来求无理函数最值的题型 ,仅供参考 .一、当函数的定义域为x∈ [0 ,a] (a >0 )时 ,可设x =asin2 θ ,θ∈ [0 ,π2 ]【例 1】　求函数y =1-x +x的最大值和最小值 .解 :∵函数的定义域为x∈ [0 ,1] ,∴可设x =sin2 θ ,θ∈ [0 ,π2 ]则原函数可化为y=sinθ +cosθ=2sin(θ+ π…     

Clar多面体的邻接性

文献【1】中Hansen和Zheng把六角系统的Clar数计数问题转化为线性规划的最优解问题,文献[2]中Chvaital给出了两个匹配相邻的一个充要条件．受此启发,给出了六角系统的线性规划模型解向量的凸包构成的多面体（Clar多面体）上两个Clar覆盖相邻的充要条件和Clar多面体的维数．     

巧构等比数列证明棣莫佛定理

棣莫佛定理是复数中的一个重要定理,高中代数课本第二册是用数学归纳法证明的。本文通过构造一个辅助等比数列,给出该定理的一个巧妙证法。 [棣莫佛定理]设n为自然数,r为正实数,i为虚数单位,则[r(cosθ+isinθ]~n=r~n(cosnθ+isinnθ)。证明:显然,只需证明(cosθ+isinθ)~n=cosnθ+isinnθ即可。令a_n=cosnθ+isinnθ,将n拆成(n-1)+1,并利用和角的正、余弦展开式易得:a_n=cosθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]+isinθ[cos(n-1)θ+isin(n-1)θ]=(cosθ     

斜线与平面所成角性质的应用

“斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角”,这是斜线和平面所成角的一个重要性质,它在解决立体几何中有关角的不等式问题时,大有用处. [例1]rt△ABC的斜边BC在平面α内,且两直角边AB、AC与α所成的角分别为θ_1、θ_2.求证: