抓住本质 简洁求解——用二次曲线系方程解决一类解析几何问题

<正>圆锥曲线是高中解析几何的重点内容,主要包括圆、椭圆、双曲线、抛物线,它们也常被称为二次曲线,两条相交直线可视为二次曲线的退化情形.二次曲线方程一般形式为     

一类二次曲线系方程及其应用

我们把具有某种共同性质的所有曲线的集合称为一个曲线系,用含参数的方程来表示,其方程称为曲线系方程,利用曲线系方程解题快速简捷,事半功倍,根据题设条件,首先建立一个曲线系方程,然后再确定参数的取值,从而得出所求曲线的方程.本文主要介绍中心(或顶点)在曲线{x= (t) y= (t)(t 为参数)上的二次曲线系方程及应用,先给出以下定理:设方程 f(x,y)=0表示中心(或顶点)在坐标     

二次曲线系方程巧解三类圆锥曲线问题

曲线系方程是课本习题以拓展探究形式呈现,以此知识点开展探究课,有利于拓展学生的知识,提高学生的数学素养,本文的研究对二次曲线系方程的探究课具有一定的参考价值.     

构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题

解析几何中,很多问题常涉及到以二次曲线的弦为直径的圆的方程.若用圆心和半径的方法求解,一般较麻烦,这里介绍两种简捷的方法.第一种方法第一种方法引理:已知二次曲线C:f(x,y)=Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0,直线L:lx my n=0.则L与C交于P,Q两点且弦PQ对原点张直角弦的充要条件为:(A C)n2-(Dl Em)m F(l2 m2)=0(*).证明:若曲线C过原点且P,Q在坐标轴上,则F=0,且P(-ln,0),Q(0,-mn)满足f(x,y)=0,代入相加便得(*).若P,Q不在坐标轴上,L不过原点.∴n≠0,由lx my n=0,得1=lx -nmy.代入f(x,y)=0中得Ax2 Bxy Cy2 (Dx Ey)(lx- nmy) F(lx -nmy)2=…     

利用二次曲线系方程巧解定点、定值问题——解析几何专题复习策略

在高中解析几何中,陆续出现了直线系方程,圆系方程,圆锥曲线中的共渐近线的双曲线系等曲线系方程.在高三二轮专题复习中,利用二次曲线系方程巧解定点、定值问题,不仅可以简化计算,更能让学生站在更高的角度看透数学问题的本质,发展学生的解题思维,优化方法方能简化运算,谋定而后动,这就是解析几何培养学生数学思维品质之所在.     

利用曲线系方程解决定点定值问题

<正>圆锥曲线中的定点、定值问题是近几年江苏高考中的热点问题,按常规的联立方程组的方法解这类问题有时显得非常繁,如若能巧妙利用曲线系方程求解,则有时会使问题简单化.本文就此类问题作探讨,供读者参考.首先圆、椭圆、双曲线、抛物线被称为二次曲线,两条相交直线被视为二次曲线的退化形式,二次曲线系的一般形式为22Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0.同圆系一样,具有某一共同性质的二次曲线也能用二次曲线系表示,以下是常用的几个结论(λ,μ表示参数,fi=Ai+Bi y+Ci).     

二次曲线方程问题的行列式解法

讲到行列式，我们通常会联想到用克兰姆法则求解线性方程组．但是行列式的作用不仅仅只用于求解线性方程组．在解析几何中，用行列式方法可以判别三点共线和三向量共面、计算平行六面体的体积等等．本文主要介绍用行列式方法解决二次曲线的几个问题：求两条二次曲线的交点、化参数方程为普通方程以及把某些二次曲线分解为两条直线．     

用曲线系方程解题应注意的两个问题

大家都知道 ,过两曲线ｆ1(ｘ ,ｙ) =0 ,ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0的支点的曲线系方程为ｆ1(ｘ ,ｙ) λｆ2 (ｘ,ｙ) =0 (λ∈Ｒ) .利用它来处理解几中过两曲线交点的某些问题显得特别方便 ,但是运用曲线系方程时应注意以下两个问题 .1　应判定解的存在性应判定解的存在性 ,是指解题之前首先应判定曲线ｆ1(ｘ,ｙ) =0与ｆ2 (ｘ ,ｙ) =0是否有交点 .如果有交点 ,则可用曲线系方程解之 ;如果无交点 ,说明本题无解 ,否则就可能将无解题求出解来 .例 1　求过两圆ｘ2 ｙ2 - 2ｘ - 3=0和ｘ2 ｙ2- 10ｘ 2ｙ 2 5 =0的两个交点的直线方程 .解　过两圆交点的曲…     

解析几何中轨迹问题的求解策略

求曲线方程的常用思路和方法 1直译法 例1 求与y轴相切,并且和圆x^2＋y^2-4x=0外切的网的圆心的轨迹方程． 解 由x^2＋y^2-4x=0,有（x-2）^2＋y^2=2^2.     

一类解析几何问题的简便解法

有些解析几何问题，如果避开求交点，则能使解法简单方便。     

略谈解析几何中退化曲线的应用

解析几何中求解二次曲线问题时,有时借助退化的二次曲线,可以优化解题过程,简化运算,使一些曲线方程的求解问题巧妙解决.     

用方程思想处理一类圆与双曲线的位置关系需注意的问题

利用曲线方程研究两曲线的位置关系,是解析几何研究的重要内容,为了确定两曲线的交点个数,通常是将两曲线方程联立,通过方程组的解的组数来确定交点个数,但如果曲线方程中有一个是双曲线,则在消元化归为一元二次方程求解时,除了考虑方程是否有解的情况外,还必须考虑方程解的取值范围.否则,将出现错误,下举两例说明之.     

曲线系方程巧解2022年高考解析几何题

本文从三种曲线系方程模型入手,介绍如何利用曲线系方程巧解2022年高考解析几何题,展示其解决相关问题的优越性。     

解析几何中轨迹问题的求解策略

求曲线方程的常用思路和方法1.直译法例1求与y轴相切,并且和圆x2+y2-4x=0外切的圆的圆心的轨迹方程.解由x2+y2-4x=0,有(x-2)2+y2=22.     

非圆二次曲线极坐标方程的应用

极坐标是解析几何的一个重要内容,是研究解析几何问题的一种重要工具．特别地,当题目的主要条件是围绕过圆锥曲线焦点的一条或者几条直线（包括动直线）时,就适宜以这个焦点为极点建立极坐标系．这样处理往往能起到化繁为简、事半功倍的效果．     

一类解析几何定值问题的求解策略

对于解析几何的解答题,近年来,在各类考试题中常出现的一类定值问题,包括定点、定角、定弦长以及线段的和、积等为定值.这类问题的本质是寻求变化中的不变量.由于问题中涉及的变量多、相互之间的关系复杂,使得方法较难把握,从而构成学生的难点.以下通过几例问题,归纳出一些求解定值问题的常用策略和方法,供大家参考.     

例说二次曲线系方程在恒成立问题中的应用

在中学解析几何问题中,常常会探讨一些诸如定性分析、定量计算的恒成立问题,既考查学生的计算能力又考查学生的推理能力．常规解法往往需要联立方程组求交点,计算量较大,若能巧用二次曲线系方程,将会使解题方法简单化．本文以定理形式介绍一种二次曲线系,并举例说明其在恒成立问题中的应用．     

解析几何

解析几何的内容包括：（一）解析几何初步：直线与方程、圆与方程和平面、空间直角坐标系中的基本公式;（二）圆锥曲线与方程：曲线与方程,椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线．     

用好极坐标系解决一类圆锥曲线问题

在学习解析几何这一内容时,我们经常会遇到一些涉及到原点和圆锥曲线上的点连线形成的线段长度问题．这类问题如果是圆锥曲线方程给定,或者是曲线方程是数字型的,学生还能处理一下,但也往往容易出现计算类的错误．一旦曲线方程不定,或方程中含有字母的,学生处理起来就非常困难．此类问题对大多数学生来说,解决的思路是很清晰的,但实际操作起来却很复杂,导致很多学生一遇到此类问题直接就先放弃了．