重叠法解题四例

1．叠加 例1 若x1,x2,x3,x4,x5满足 2x1＋x2＋x3＋x4＋x5=6, x1＋2x2＋x3＋x4＋x5=12,     

一个错误的“证明”

《数学通讯》1 997年第 7期上的征解问题 1 73是 :设xi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n(n≥ 3 ) ,则有Sn=x2x1(x3+x4+… +xn) + x3x2(x4 +… +xn+x1) +… + xnxn - 1(x1+x2 +… +xn - 2 ) + x1xn(x2 +x3+… +xn - 1)≥ (n -2 )∑ni=1xi.该刊 1 999年第 1 2期刊出张煜的一个“证明”按此“证明”有S6 =x1( x4 x3+ x5x4+ x6 x5+ x3x6) +x2 ( x5x4+ x6 x5+ x1x6+ x4 x1) +x3( x6 x5+ x1x6+ x2x1+ x5x2) +x4 ( x1x6+ x2x1+ x3x2+ x6 x3) +x5( x2x1+ x3x2+ x4 x3+ x1x4) +x6 ( x3x2+ x4 x3+ x5x4+ x2x5)≥ 4x1+ 4x2 +… + 4x6 =( 6-2 )∑6i=1xi.然而 ,最左边…     

几类一元高次方程的解法

正一元高次方程在代数方程中占有重要地位.在本文中,给出了几类一元高次方程的解法.1型如ax2n+1+bx2n+ax2n-1+bx2n-2+…+ax+b=0的方程.例1解方程3x5+5x4+3x3+5x2+3x+5=0解:原方程可同解变形为3x(x4+x2+1)+5(x4+x2+1)=0,即(3x+5)(x4+x2+1)=0.     

配方法的应用

一、化简、求值例1化简26√2√+3√+5√.解:原式=2·2√·3√2√+3√+5√=(2√+3√)2-(5√)22√+3√+5√=(2√+3√+5√)(2√+3√-5√)2√+3√+5√=2√+3√-5√.例2若x4+1x4=2,求x+1x的值.解:由x4+1x4=2,配方,得(x2+1x2)2=4,所以x2+1x2=2.再配方,得(x+1x)2=4,所以x+1x=±2.二、分解因式例3分解因式x4+4.解:原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).□郭安才三、解方程(组)例4解方程2x2+3y2-4xy-6y+9=0.解:原方程可变形为2(x-y)2+(y-3)2=0,∵2(x-y)2≥0,(y-3)2≥0,∴只有x-y=0,y-3=0时,原方程成立.解得x=3,y=3.故原方程的解是x=3,…     

“1”的妙用

“1”是不可缺少的一个数,目然数中它排首位,实数里是单位。它有许许多多的妙用之处,本文所谈到的仅是这些应用中的沧海一粟。一、1=a÷a=a×1/a(a≠0) [例1] 解方程: (x-1)/(x 1) (x-4)/(x 4)=(x-2)/(x 2) (x-3)/(x 3)解:((x-1)/(x 1) 1) ((x-4)/(x-4) 1) =((x-2)/(x 2) 1) ((x-3)/(x 3) 1) ∴2x/(x 1) 2x/(x 4)=2x/(x 2) 2x/(x 3)。∴ x=0或1/(x 1) 1/(x 4)=1/(x 2) 1/(x 3) (2x 5)/(x 1)(x 4)=(2x 5)/(x 2)(x 3) ∴ 2x 5=0 x=-5/2。或(x 1)(x 4)=(x 2)(x 3)但无解     

用导数证不等式(高三)

例1 当x>0时,证明下列不等式: (1)x5-4/3x3+x>0;(2)x5+4≥5x. 证明(1)设f(x)=x5-4/3x3+x,则f'(x)=5x4-4x2+1 =5(x2-2/5)2+1/5>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,于是当x>0时,f(x)>f(0)=0,     

一元一次方程自测题

一、选择题(每小题5分,共20分)1·下列各式:①4≤x+1,②5x+3,③21+7x=3,④2x2-1=6,⑤2-412=-212,⑥3x4-2=13.其中是一元一次方程的有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2·在解方程3(x+1)-2(2x-3)=4(3-2x)去括号时,正确的是().(A)3x+1-4x+6=12-2x(B)3x+3-4x-6=12-8x(C)3x+3-2x+6=12-8x(D)3x+3-4x+6=12-8x3·方程5-2x=1-21(8x-4)的解是().(A)2(B)1(C)-1(D)-24·下列各组式中同类项是().(A)-2m2x3,43x3m2(B)3ab2,3ba2(C)4y,4(D)5xy2z,5xy2二、填空题(每小题5分,共20分)5·若3x=4-2x,则3x=4,其依据是.6·张绍明解方程5x=-6时,得x=-65.正确吗?…     

斐波那契多项式的若干性质

(x 1)~n(x≠1)当n=0,1,2,3…n的展开式为: (x 1)~0=1 (x 1)~1=x 1 (x 1)~2=x~2 2x 1 (x 1)~3=x~3 3x~2 3x 1 (x 1)~4=x~4 4x~3 6x~2 4x 1 (x 1)~5=x~5 5x~4 10x~3 10x~2 5x 1 (x 1)~6=x~6 6x~5 15x~4 20x~3 … (x 1)~7=x~7 7x~6 21x~5 35x~4 … (x 1)~8=x~8 8x~7 28x~6 56x~5 … (x 1)~n=C_n~0x~n … C_n~mx~(n-m) … 1 以上面展开式中斜上方向上的各项构成新的多项式:     

巧用整体思想解题

在解数学题时 ,要纵观全局 ,把握规律 ,由整体入手 ,这样可化繁为简 ,化难为易 ,明晰清新。兹分类说明 ,以供探究。一、视待求式为整体例 1.代数式 11 62 11- 62的值是 (　 )( A)自然数　　　 ( B)无理数( C)分数　　　　 ( D )以上都不是(天津市《中华少年》杯初二竞赛题 )解 :∵ 11 62 >0 ,11- 62 >0 ,∴ 11 62 11- 62= 11 62 11- 622= 2 2 2 112 - 62 2 =2 2 2 12 1- 72 =2 2 14 =36=6故选 ( A)。例 2 .若 2 x1 x2 x3 x4 x5 =61x1 2 x2 x3 x4 x5 =12 2x1 x2 2 x3 x4 x5 =2 4 3x1 x2 x3 2 x4 x5 =4 84x1 x2 x3 x4 2 x5 =965…     

常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

一道三项式问题的解法

题目求(x2 3x 2)5展开式中x项的系数.解法1:(因式分解)(x2 3x 2)5=[(x 2)(x 1)]5=(2 x)5(1 x)5=(C0525 C1524x …)(C05 C15x …).其中含x项的系数是C0525C15 C1524C05=240.解法2:(化为二项式)(x2 3x 2)5=[(x2 2) 3x]5=C05(x2 2)5 C15(x2 2)4(3x) …其中只有C15(x2 2)4(3x)含x项     

利用两数的和与积求值

解答某些与二次根式有关的求值问题时,利用两数的和与积作整体代换,能取得事半功倍的效果。例1.若x=3-23 2,y=3 23-2,则3x2-5xy 3y2=。(1996年四川省初中数学竞赛试题)解:化简,得x=5-26,y=5 26。∴x y=10,xy=1.原式=3x2-5xy 3y2-5xy　　=3(x y)2-11xy　　=289。例2.已知x<0为实数,且x-1x=5,则x7 12x4 xx8 9x4 1的值为(　　)。(A)-9319;　(B)-1993;(C)-328;　(D)-75。(1993年哈尔滨市初中数学竞赛试题)解:设1x=y,那么x-y=5,yx=1。∵x<0,y<0,　　∴x y=-(x-y)2 4xy=-3。∴x2 y2=(x-y)2 2xy=7。∴x7 12x4 xx8 9x4 1=(x7 12x4 x)÷x4(x8 9x4 1…     

二年级柜台

一、连一连令崖寒扬矍 臀区亘〕巨三国侄 !二工国区辍馨)-3 3 3 3 33 xs5/、35十33/\5二、填一填一_4 4 4 4 4 4二口x口3 3 3 3 3 3 3=口x口8 8 8 8 8=口x口5 5 5 10=口x口2 2 2 2 2 2一6=口x口一1 1 1 1 1社 l l一卜口x口︸、︶ O 、、12产!︸勺|”:珍彭、人夕目、飞咬夕5 、     

整式的除法检测题

一、选择题1.若xmyn÷(41x3y)=4x2,则().A.m=6,n=1B.m=5,n=1C.m=6,n=0D.m=5,n=02.下列计算中正确的是().A.(-y)7÷(-y)4=y2B.(x y)5÷(x y)=x4 y4C.(a-1)6÷(a-1)2=(a-1)3D.-x5÷(-x3)=x23.计算-3a2b5c÷(12ab2)的结果是().A.-23ab3c B.-6ab3cC.-ab3D.-6ab34.若(a b)÷b=0.6,则a÷b的值等于().A.-0.6B.-1.6C.-0.4D.0.45.下列计算正确的是().A.x3÷x2=x6B.(3xy2)2=6x2y4C.y4÷y4=1D.y4 y4=2y86.有下列各式:(1)(6ab 5a)÷a=6b 5;(2)(8x2y-4xy2)÷(-4xy)=-2x y;(3)(15x2y-10xy2)÷(5xy)=3x-2y;(4)(3x2y-3xy2 x)÷x=□北京浩然3xy-3y2.…     

整式的加减

☆基础篇课时一整式 诊断练习 一、填空题 1.单项式-x2y/3系数是__,次数是__. 2.多项式 a2-ab2+a2b-1是__次__项式. 3.多项式-5x2-7x-3x5+2x4-1按x的降幂排列为__.4.多项式-1+2xy/3-x2y+3x-2y最高次项的系数为__,常数项为__. 二、选择题 1.在2x2-1,-5xy2,3a-2b,4a2+3ab+b2,-7x,x+y/5,x/y,4中,单项式共( )个.(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.对于式子(1)abc;(2)x2-2xy+1/y;(3)1/a;     

数学奥林匹克初中训练题（123）

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知 (平方根3x+平方根2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0. 则(a5+a3+a1)2-(a4+a2+a0)2的值为( ).     

奶牛乳房线性性状主成分坐标图的绘制及分析

目的:进行奶牛乳房线性性状主成分坐标图的绘制及分析。方法:选择安徽蚌埠蚂蚁山奶牛场,随机抽取荷斯坦奶牛220头,进行前房附着(x1)、后房高度(x2)、后房宽度(x3)、悬韧带(x4)、乳房深度(x5)和乳头长度(x6)等乳房线性性状主成分坐标图的绘制及分析。结果:1)在累计贡献率达85%以上的5个主成分中,F1、F2、F3综合反映信息量为56.4%,表达式分别为F1=-0.2828x1+0.5326x2+0.3483x3+0.2849x4-0.5663x5+0.3365x6;F2=0.4696x1+0.2665x2-0.1489x3+0.6043x4+0.4404x5+0.3565x6;F3=-0.3407x1-0.1619x2+0.4787x3+0.5421x4+0.2863x5-0.5028x6。2)分析信息表达式,F1称乳房容积因子,F2称乳房紧凑因子,F3称乳房适宜因子。3)在F1和F2,F1和F3,F2和F3构成的平面坐标中,x2和x6,x3和x4,x1和x6分别距离最近,可视为同类性状。     

因式分解的方法与技巧

因式分解不仅是同学们进一步学习数学的重要工具 ,而且是各级各类考试经常命题的知识点 .由于因式分解这种恒等变形没有一种逻辑手段可以达到 ,所以需要有较强的创造性思维能力才能完成 .初级中学教材只介绍了四种常用方法 ,为弥补教材不足 ,下面介绍几种技巧性较强的因式分解方法 .1　换元分解法例 1　因式分解 :(x +1 ) (x +2 ) (x +3) (x +4) - 2 4 .解　原式 =(x +1 ) (x +4) .(x +2 ) (x +3)- 2 4=(x2 +5x +4) (x2 +5x +6) - 2 4令 x2 +5x +5 =y,则原式 =(y - 1 ) (y +1 ) - 2 4 =y2 - 2 5=(y - 5) (y +5)=(x2 +5x) (x2 +5x +1 0 )=x(x…     

2007年新知杯上海市高中数学竞赛

说明:解答本试卷不得使用计算器. 一、填空题(第1～4小题,每题7分,第5～8小题,每题8分,共60分) 1.方程 x1-1 2x2-4 3x3-9＝(1)/(2)(x1 x2 x3)的实数解(x1,x2,x3)＝.     

第二章《一元一次方程（二）》测试题（新课标人教版）

一、精心选一选——慧眼识金(每小题3分,共30分)1.已知1-(3m-5)2有最大值,则方程5m-4=3x 2的解是()A.79B.79C.-97D.-792.解方程1-2(x-1)-4(x-2)=0,去括号正确的是()A.1-2x 2-4x-8=0B.1-2x 1-4x 2=0C.1-2x 2-4x 8=0D.1-2x-2-4x-8=03.解方程2x 13-106x 1=1,去分母正确的是()A.4x 1-10x 1=1B.4x 2-10x-1=1C.4x 2-10x 1=6D.4x 2-10x-1=64.四位同学解方程x-13-x 62=42-x,去分母分别得到下面四个方程:①2x-2-x 2=12-3x;②x-2-x-2=12-3x;③2(x-1)-(x 2)=3(4-x);④2(x-1)-2(x 2)=3(4-x).其中错误的是()A.②B.③C.②③D.①④5.解方程4(y-1)-y=…