证明函数不等式的法宝——分离函数法

正浏览近年的高考试题,经常会出现以ex与lnx为背景的函数不等式证明问题.如果直接应用导数证明这些不等式有时很复杂,很多时候需要多次求导,甚至导致思维受阻.此时若能从含有ex与lnx的函数不等式中分离出ex或lnx,再利用导数证明,往往可避免繁冗的求导运算,收到出奇制胜之效.一、从不等式中分离出ex分离参数一般是分离出简单参数,但对于含有ex的式子,宜先分离出ex,这样便可将问题转化为函数的最值问题,函数最值问题的破解就较为常规,破解的方法也会更加广阔和     

导数——单调性和不等式之间的桥梁

导数是研究函数性质的一种重要工具，在解决和单调性有关的问题时作用更加明显．通过导数可以把单调性问题转化为不等式问题．而在处理与不等式有关的综合性问题时也经常需要利用函数的性质；因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题，因此，导数成为了函数单调性和不等式之间的一座桥梁．[第一段]     

巧构函数证明不等式

不等式证明问题需要较强的观察和代数变形能力,技巧性强,没有常规套路,难度大.在日常学习中,我们会发现很多不等式证明问题需要进行转化,转变思想,要有较强的数学思维能力,使复杂的问题简单化。很多不等式问题都可以应用函数思想进行分析和解决,本文归纳几个构造函数证明不等式的基本类型,与读者交流.     

运用换元法 巧证不等式

对于分式不等式问题,我们希望分母尽可能简单．然而,在一般情况之下,所给的分式不等式的分母都较为复杂．为了使分式中各个分母变得简单一些,我们可以将分式中的每一个分母作为一个整体来看待,分别用一个字母去替换它．这样,就可以将分母简单化,将整个问题化繁为简,化难为易．这种证明方法我们把它称为分母整体换元法．下面,我们利用整体换元法来证明某些分式不等式问题．     

函数在不等式中的应用

在导数的应用中我们经常会遇到利用导数来证明不等式或利用不等式的性质来求参数的问题,在解决这些问题时,经常需要构造一个函数再利用函数的性质来解决问题,这类题目在高考中也是屡见不鲜.掌握好这种方法在解这类题时会有很大的帮助.一、构造原函数,利用原函数的性质来解决不等式     

高考数学临考要诀:灵活运用 化繁为简

函数:常见的函数题型主要有两类:一是考查具体函数,二是考查抽象函数,这种题型较难,而通过找到一个符合条件的常见函数作为解决本题的入手点是一个不错的方法。函数题型经常和不等式、数列放在一起进行考查,二次函数以及三元二次之间的关系经常是考查的重点。不等式:解不等式往往带有字母,需要讨论,还需要掌握转化、数形结合等方法以及函数与方程的思想和八种常见不等式的一般解法。证明不等式要善于分析式子结构特征和寻找已知求证之间的差异,从中找到与相关定理的联系来作为解决问题的突破口。三角:三角问题主要有两种形式:一是求较为复杂…     

一类多变量导数高考题的求解策略

在近几年各省市高考试题中,经常出现以不等式为背景考查函数单调性,利用导数解决函数的综合问题.此类问题设计巧妙,构思独特,将函数单调性与导数在函数单调性中的应用完美组合,将函数方程思想与化归转化思想联合考查.解决此类问题,一般是把不等式合理变形,把不等式问题转化为比较两个同型函数值的大小问题,再转化为函数单调性问题.此类问题涉及变量多,考生很难找到解决问题的突破口,因此合理变形与构造函数是解决此类问题的关键.     

函数与方程

函数与方程是数学中两个重要的概念,它们贯穿于整个高中教学之中.对函数与方程的复习,除了研究函数的零点、方程的根之外,还需要注意函数与方程思想在其他知识中的应用.函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是指从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.此外,很多时候我们还需要实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.     

微积分在不等式证明中的应用

不等式是数学的重要内容,证明不等式的方法多种多样,有些不等式用初等方法来证明需要较高的技巧,甚至有时有些不等式根本无法用初等方法来证明.而有时利用高等数学中微积分的有关知识来证明不等式,可以使证明的思路变得简单,技巧性降低.在此总结出三个可直接用于证明不等式的命题,阐述如何利用高等数学中函数的单调性、拉格朗日中值定理、函数的极值与最值、函数凹凸性、泰勒公式、积分中值定理及其性质来证明不等式.     

利用函数思想证明不等式的方法例析

<正>不等式证明是我们学习数学的一个难点。利用综合法证明不等式技巧性强、思维含量大。函数的单调性反映的是函数图像或函数值在某一区域的单一变化趋势,将这一优美的数学性质应用于不等式证明,可以达到化繁为简、化难为易的目的。一、函数思想证明不等式的一般步骤让我们先来看一个例子:     

构造切线证明一类对称不等式

不等式与函数虽是两个不同概念,但两者是紧密联系的,用函数的思想来处理不等式的问题,也是证明不等式问题的常见方法。如通过构造函数,研究函数的单调性来证明不等式,或通过研究函数的极值与最大、最小值证明不等式,也可用用函数的凹凸性证明不等式等等。本文通过构造函数的切线来证明一类不等式,以下先从一个求函数最小值问题说起。     

“连不等式”的一种新证法

形如a相似文献   

例谈化归思想在函数不等式证明中的应用

<正>在历年的高考中,关于函数不等式的证明是一个绕不开的话题.此类不等式证明思想宽广,方法多变,直接从正面处理往往较困难.若合理运用化归思想转换问题的表达形式,回归我们已熟悉的数学模型,可以化难为易,达到解决问题的目的.下面笔者以2018年新课标全国高考三套试卷函数不等式的证明题为例,探究、展示这类不等式证明中数学化归思想的运用,供参考.     

论述面积法在不等式证明中的应用

不等式证明是高中数学知识体系中的重点和难点,一直以来,很多专家学者都对不等式证明的方法进行了探讨,如放缩法、概率法及函数法等,同学们在做题过程中也习惯性地想到了这些方法,但其实还有一个重要的方法——"面积法"。这里所说的"面积"是要构造的,也许是矩形、正方形等很简单的图形的面积,也许是需要用积分计算的复杂面积,需要依据题目的具体情况去构思。本文将就两个类型的题目谈谈面积法在不等式证明中的应用,希望同学们能够有所感触,在做不等式证明题目的时候多一种思路。     

极值的两组对偶命题及其应用

本文运用逐步调整的思想方法,建立关于n元数极位的两组对偶命题利用。它们可以证明许多不等式或极值问题,尤其适用于具有多个变量函数的不等式或极值问题。又由于利用这些命题常常可以把问题归结为两个变量的不等式或极值来处理,因此,如与其它证法相比,将具有方法规范、简便易行、通用性强等优点。     

一道不等式问题的解法赏析

<正>求解不等式问题在高考和奥赛中经常遇到.这类问题的解决经常涉及到很多知识点的融合,也容易培养学生的能力.换元,放缩,函数与方程思想等在解决不等式问题中经常会有体现.本文通过一道不等式问题的几种解法感受一下各种思想在不等式问题中的灵活应用.     

用解不等式的方法证明不等式

<正>在证明不等式的题目中，不等式的右边常常是一个常数.此时，我们实际上可以将问题理解为是求左边表达式的取值范围.那么，我们可以把左边表达式的一部分设为x,先将x的取值范围求出来，然后利用函数性质等工具求出左边式子的取值范围.也可以说，在证明不等式时，我们以逆向的方式思考问题，用解不等式的方法证明不等式，给不等式的证明提供一种新思路.例1 已知正实数a,b满足a+b=1,求证：证明 设ab=x,由条件得,即有要证,     

两类多元函数条件极值的简捷求法

多元函数务件极值是教材<数学分析>(下册)课程中一个重要内容,教材通常采用拉格朗日教乘法求多元函数条件极值,而对于一些特殊问题可以利用柯西不等式简捷求出.柯西不等式是<高等代数>中一个重要而用途广泛的不等式,有多种表现形式.给出了利用简单形式的柯西不等式求两类特殊多元函数条极值的两个命题.     

函数单调性的六大应用

函数的单调性是函数的一个重要性质,也是研究函数时经常要注意的一个性质.掌握好函数单调性,并加以巧妙的应用,可以帮我们解决很多问题.本文结合具体的例子,从比较大小、求值、求参数取值范围、解方程(组)、解不等式以及证明不等式六个方面谈谈函数单调性的应用.一、利用函数的     

以直估曲思想在不等式证明中的应用

以直估曲是高等数学中的一种重要的数学思想方法．对于一个较复杂的函数,要精确计算它是困难的,甚至是不可能的,而在理论研究和实际应用中,我们往往只需要了解的近似值就可以了．怎样获得近似值呢？人们把解决问题的出路放在将函数线性化上,用过函数上两点的割线或一点的切线来近似代替它,这就是以直估曲的基本思想．利用以直估曲思想处理初等不等式问题,思路清晰,方法简捷,本文将结合例题给予说明．