证明共线线段等积式的若干方法

证明共线的四条线段的等积式，一般都要进行代换．本文列举用不同形式代换的五种方法．一、利用相等的线段代换例１如图１，过圆心O的直线l垂直于弦AB，交⊙O于D、M两点，作⊙O的另一条弦AE，并延长交l于点C，连结BE交DM于点F．求证：OD２＝OC·OF．分析：OD是⊙O的半径，可用半径OE代换OD，证OE２＝OC·OF，即证△OEF∽△OCE．证明：作直径EN，连结BN，则∠EBN＝９０°，故∠N＋∠BEN＝９０°；又∠A＋∠C＝９０°，∠A＝∠N，所以∠C＝∠BEN；又∠EOF是公共角，所以△OEF∽△OCE，OE∶OC＝OF∶OE．∴OE２…     

与三角函数有关的证明问题

几何学习中，有时会遇到一类与三角函数有关的证明问题。解答此类问题的关键在于利用或构造直角三角形，将三角函数转化为线段的比加以考虑。例１如图△ABC中，以BC为直径的⊙O和AB、AC分别交于D、E。求证：DE＝BC·cos∠A。证明：连BE，因为BC为⊙O的直径，则∠BEC＝９０°，从而△ABE为Rt△，cos∠A＝AEAB。∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB。∴AEAB＝DEBC。又∵cos∠A＝AEAB，∴DE＝BC·cos∠A。例２如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，C在⊙O上。求证：ctg２∠BOC２＝ADBD。证明：由…     

有关圆问题的双解举例

有关圆的问题是中考常见题型，当题目中没有给出确定的图形时，由于点、线与圆的位置关系不明确，常常会出现双解或多解．因此，解这类题要全面、周密，以防漏解．例１在⊙O中，圆心角∠AOB的度数是１００°，则弦AB所对的圆周角的度数是．分析：如图１，弦AB所对的圆周角有两个，顶点分别在弧A 和弧AD 上，它们互补，度数应为５０°或１３０°．例２如图２，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝２，AC＝２√，在图中画出弦AD，使AD＝１，则∠CAD的度数为．分析：弦AD与AC在直径AB的同侧时，∠CAD的度数为６０°－４５°＝…     

巧作辅助线 妙解梯形题

梯形是《四边形》这一章的重要内容之一，现介绍梯形几种辅助线的巧妙作法，供大家参考．一、平移对角线例１如图１，在梯形ABCD中，已知BA∥CD，中位线EF＝７cm，对角线AC⊥BD，∠BDC＝３０°，求梯形的高AH．解：过A作AM∥BD，交CD的延长线于M点．∵AB∥DC，∴MD＝AB，∠M＝∠BDC＝３０°．又中位线EF＝７cm，∴CM＝CD＋DM＝CD＋AB＝２EF＝１４cm．∵AC⊥BD，∴AC⊥AM，AC＝１２CM＝７cm．∵AC⊥AM，∠M＝３０°，∴∠ACD＝６０°，∠CAH＝３０°．在Rt△ACH中：CH＝１２AC＝７２cm，∴AH＝AC２－CH…     

一道值得商榷的中考题

试题 如图1,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,从点D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB．     

两个结论的证明和应用

如图１，已知⊙O１和⊙O２外切于点C，两外公切线相交于点P，其夹角为α，A、B为切点，R、r分别是⊙O１和⊙O２的半径．求证：（１）AB＝２Rr√；（２）sinα２＝R－rR＋r．证明：连结O１O２、O１A、O２B，作O２D⊥O１A于D．显然O１A⊥AB，O２B⊥AB，ADO２B是矩形．∴O１D＝O１A－O２B＝R－r．由⊙O１和⊙O２外切于点C，知O１O２＝R＋r．由圆的对称性可知，点P在直线O１O２上．由O２D∥AP，知∠O１O２D＝∠O２PA＝１２α．在Rt△O１DO２中：（１）AB＝O２D＝O１O２２－O１D２√＝（R＋r）２－（R－r）２√＝…     

圆中辅助线的添加规律

各地中考试卷中经常出现与圆相关的题目.下面就圆中辅助线的添加规律作介绍.一、遇到直径时,一般要引直径所对的圆周角,将直径这一条件转化为直角的条件.1.已知:如图,AB为⊙O的直径,CD切⊙O于E,AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,交⊙O于F.连结AE、EF.(1)求证:AE是∠BAC的平分线.(2)若∠ABD=60°,问:AB与EF是否平行?请说明理由.(2001年江西省南昌市中考试题)证明:(1)连结BE.∵AB是⊙O的直径,∴∠BEA=90°.∵CD切⊙O于E,∴∠AEC=∠ABE.又∵∠EAC=90°-∠AEC,∠BAE=90°-∠ABE,∴∠EAC=∠BAE.即AE是∠BAC的平分线.解:(2)略.…     

“211杯”初中三角形和相似形知识竞赛

参赛说明：请将答案用１６开稿纸誊写清楚，写清你及辅导老师的姓名、地址、联系电话，在信封正面贴上本页左下角的参赛标志，于当月３０日前寄给本刊编辑部田心红收．（详细情况请参考本刊２００２年９月号参赛说明）一、填空题（每小题７分，共３５分）１．△ABC中，AB＝５，中线AD＝６，则边AC的取值范围是．２．如图１，在△ABC中，∠B＝３２°，∠C＝５０°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，则∠ADF＝．３．如图２，Rt△ABC中，∠C＝９０°，∠A＝３０°，点D、E分别在AB、AC上，且ED⊥AB，若DE将△…     

一道WMTC试题的解法及思考

题目 如图1所示,⊙O的直径AB长为20,点P在⊙O外,PC和PB分别切⊙O于点C和B,弦CD⊥AB于点E,PA交CD他M．已知AE/EB=1/4,则△PCM的面积是_____．     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

2006年海淀区中考压轴题多解研究

题如图1,已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结AD、OC、OD,且OD=5.(1)若sin∠BAD=3/5,求CD的长;(2)若∠ADO∶∠EDO=4∶1,求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留π).     

一道竞赛题的多角度审视

1992年沈阳市“育才环”初中数学邀请赛有这样一道试题：在四边形ABCD中，着∠B＝∠＝90°，∠＝120°，则这是一道四边形问题，解此题的指导思想是：通过作适当的辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，辅助线的作法有如下10种：1．作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F（如图1），则FEBC为矩形，∠ADE＝30°，∠DCF＝30°．若没AE＝a，HF＝b，则AH＝2a，DE＝，CD＝2b，所以AB＝2．作CE∥BA交AD于E，EF⊥AB于F（如图2），则EFBC为矩形，∠AEF＝30°，∠DCE＝30°．若设AF＝a，DE＝b，则AE＝2a，CE＝BF＝2b，CD＝所以AB＝…     

莫为“浮云”遮望眼 “洞幽察微”究本质——一道中考错题的探究

近日,在评讲一道有关圆的试题时,课堂上出现了一些波折,现将师生共同探究的过程呈现如下： 1.试题呈现如图1,AB是⊙O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD上OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.（1）求证：BC是⊙O的切线;（2）连接AF,BF,求∠4BF的度数;（3）如果CD=15,BE=10,sinA=5/13,求⊙O的半径.     

圆的有关性质中考题选登

一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径…     

对一道几何例题的思考

几何第二册P121有一道例题：例题已知⊙O1和⊙O2切于C,AB是两圆的外公切线。A、B是切点.求证：AC⊥BC关于这道题，证法较多，也较简单，为了便于对这道例题做进一步的研究，不妨采用下面的证明方法．证连O1O2并延长交⊙O1与⊙O2于M、N，如图1，连AM、AO1、BN、BO2，则O1A⊥AB,O2B⊥AB，∴OA1∥O2B．∵∠BAC＝∠AMC＝∠AO1C，∠ABC＝∠BNC＝∠BO2C，∴∠BAC＋∠ABC＝(∠AO1C＋∠BO2C）＝×180°＝90°，∴AC⊥BC．问题解决了，回味一下，图1中，因为MA⊥AC，BC⊥AC，∴AM∥BC．由于CB⊥BN，∴MA⊥BN（…     

捕获信息 补图解题——几何辅助线的作法

解几何题有时要作辅助线，作辅助线的方法甚多，因题而异．本文试图通过实例说明怎样捕获题目和图形所提供的信息，采取“补形”的方法，实现题设信息和结论信息间的逻辑沟通，从而完成解题任务．ABCD中，∠A＝６０°，∠B＝∠D＝９０°，BC＝２，CD＝３，求AB．信息源：∠A＝６０°，∠B＝∠D＝９０°．产生信息：６０°角作为直角三角形的一个锐角时，直角三角形三条边的比是l∶３√∶２．补全图形：①延长AD交 BC的延长线于E．或②延长AB交DC的延长线于F．略解：由CD＝３，∠DCE＝∠A＝６０°，∠CDE＝∠…     

2003年中招数学模拟试题

（满分１００分，考试时间１００分钟）一、填空题（每小题２分，共３２分）１．｜３－π｜的相反数是．２．若２sinα＝１，则锐角α＝．３．分解因式x２－７x－１８＝．４．已知一个等腰梯形的两底之差等于一腰长，那么它的腰与下底的夹角是．５．函数y＝x＋１√１－x√中自变量x的取值范围是．６．如图，DE∥AC，EC⊥BC，如果BE＝５，EC＝４，那么S四边形ABCD＝．７．如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于Q、P，若∠K＝２０°，∠KQN＝４０°，则∠PMQ＝．８．如图，在ABCD中，E是AB延长线上一点…     

直径——圆中重要的辅助线

在解圆的有关问题时,若能巧妙地作出圆的直径,将能获得简捷的解题思路,现举数例如下.例1(2005年宁波市)如图1,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,AC=2cm.⊙O的半径为.解:连AO且延长交⊙O于D,连CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B=30°,所以AD=2AC=2×2=4,所以⊙O的半径为2cm.例2(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且∠BAP=∠C.求证:PA是⊙O的切线.证明:作⊙O的直径AD,连BD,则∠C=∠D,∠ABD=90°,即∠D+∠BAD=90°,所以∠C+∠BAD=90°.因为∠C=∠PAB,所以∠BAD+∠PAB=90°,即AP⊥AD,所以PA为⊙O的切线.例3(…     

活用面积比 巧证几何题

在一些涉及相似三角形的几何证明题中，有关面积之比的重要性质在证题中发挥着重要的作用．灵活运用面积比，可以巧证几何题．例１如图１，已知：△ABC中，∠C＝９０°．求证：AC２＋BC２＝AB２．这是大家熟悉的勾股定理．它的证明方法很多，利用相似三角形的面积之比进行证明，是其中一种较好的证明方法．证明：作CD⊥AB于D．∵∠ACB＝９０°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．∴S△ACDS△ABC＝AC２AB２，S△CBDS△ABC＝BC２AB２．∴AC２AB２＋BC２AB２＝AC２＋BC２AB２＝S△ACD＋S△CBDS△ABC＝１，∴A…     

浅谈弦切角定理的应用

弦切角定理是圆中级为重要的一个定理．应用十分广泛，在中考试题中出现的频率很高．为帮助同学掌握好这个定理的应用，特以1994年中考题为例，介绍它的应用．一、证两角相等例1如图1，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，DC切圆O于C，CE⊥AB于几求证：（B平分∠DCE．（1994年武汉市中考题）分析注意到CD是圆O的切线，∠DCB＝∠A，欲证∠DCB＝∠ECB，只须征∠ECB＝∠A．∵∠ACB＝∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°－∠ABC＝∠A，问题获证．二、证等边三角形例2如图2，圆O的弦AB的延长线和切线EP相交于P，E为切点，∠APE的…