不同的图形 相同的结论——“M”型图和“U”型图角之间的关系

学习了平行线的内容后,我们经常会遇到以下两种图形:图形1"M"型如图1,AB∥CD,则∠E=∠A+∠C.图形2"U"型如图2,AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=360°.两种不同的图形,形成的三个角之间的关系也不相同(要说明三个角之间的关系也不困难,只需过点E作其中一条直线的平行线,然后利用平行线的性质即可说明).能不能将这两种     

典题多解与多变

一滴水可以折射出太阳的光辉,一道题也能散发出智慧的光芒.题不在多,深钻则行.一、典题多解典题如图1,AB∥CD,P为直线AB、CD之间的一点,则∠B、∠C、∠BPC之间有何关系?分析此图不是我们所学过的"三线八角"的基本图形,需添加一些线(辅助线),把它化成我们所熟悉的基本图形.本题的解法较多,兹列举如下:     

“玩转”一类角平分线相交型基本图形

<正>本文以三角形中的一类角平分线相交型基本图形为例,看如何"玩转"相关图形问题.基本图形1如图1,若BD、CD分别平分∠DBC、∠DCB,则∠D=90°+1/2∠A.基本图形2如图2,若BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB,则∠D=90°-1/2∠A.     

怎样学好“相似形”

一、掌握基本图形图 1为 A型图 ,条件是 DE∥ BC,基本结论是 ADDB=AEEC,ADAB=AEAC=DEBC。图 2为非 A型图 ,条件是∠ 1=∠ 2 ,基本结论是 ADAC=AEAB=DECB。图 3为 X型图 ,条件是 AB∥ CD,基本结论是AEDE=BECE=ABCD。图 4为非 X型图 ,条件是∠ A =∠ C,基本结论是 AECE= BEDE=ABCD。图 5为母子型图 ,条件是 CD为 Rt△ ABC斜边AB上的高 ,基本结论是 CD2 =AD· DB,　 AC2 =AD· AB,BC2 =BD· AB。图 6为 E型图 ,条件是 AD∥ EF∥ BC,基本结论是 AEEB=DFFC。二、辨认基本图形例 1.如图 5 ,在△ AB…     

由一个基本图形导出的重要结论

初中《几何》中有这样一个基本图形:如图1,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F.由这个基本图形我们可以得到这样的结论:∠BFC=∠B ∠A ∠C.证明这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法:方法一:连结AF并延长到M,则有∠BFM=∠B ∠BAM,∠CFM=∠C ∠CAM,∴∠BFC=∠BFM ∠CFM=∠B ∠BAC ∠C.方法二:由∠BFC=∠B ∠BDC,∠BDC=∠A ∠C,有∠BFC=∠B ∠A ∠C.图1及上述结论在解题中有着广泛的应用.现举几例说明.例1如图2,求∠A ∠B ∠C ∠D ∠E的度数.解:如图2,设BD与CE交于点F,由本文中基本图形导出的结论…     

用“M形”的性质证题

如图1，若AB∥CD，则么AEC=∠A ∠C，此结论易证易记，因图形形如字母M，我们就称它为“M形”，下面举例说明“M形”性质的应用。     

在变中寻找不变

<正>追求数学问题的多种解法,能培养数学思维的深刻性、发散性、灵活性和开放性.一、原题如图1,AB∥CD,分别写出图中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,并写出你的推理过程.(1)P点在射线AB、CD组成的图形的外部(如图1(1)).方法1如图2,过点P作AB的平行线PE.     

对两道中考试题的赏析

<正>一、依托特定的数学问题考查学生的探究能力例1(2011年河北中考)两平行线AB、CD间的距离为6,点M为AB上一定点.图1思考:如图1,圆心为O的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.当α=度时,点P到CD的距离最小,最小值为.探究一:在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,     

巧用基本图形解题

在几何中,基本图形是较复杂图形的基础,抓住一些基本图形的特性,许多几何问题常可迎刃而解,现举一例说明.如图1,线段AB、CD相交于点P,则∠A+∠D=∠B+∠C.这是一个很有用的基本图形,由于这两个三角形有一个角是对顶角,因此我们常称它为对顶三角形.其性质(图1中∠A+∠D=∠B+∠C)很容易得到.应用这一基本图形及其性质可以巧解许多问题.一、寻找基本图形解题例1如图2,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.解:显然∠A+∠B=∠2+∠3,∠C+∠D=∠1+∠2,∠E+∠F=∠1+∠3,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.二、构…     

例析数学探究题培养学生探究能力

一、探索结论型 例1 如图1,D是△ABC的边AB上的一点,若△ADC与△BDC相似,请指出CD和AB有什么特殊的位置关系？并证明这个结论。分析 由△ADC∽△BDC,有∠ADC=∠BDC。因为∠ADC〉∠B,∠ADC〉∠DCB,因此,∠ADC不可能与∠B或∠DCB成对应角。又∠ADC＋∠BDC=180°,∴∠ADC=∠BDC=90°,即CD⊥AB。     

一道平行线问题的演变

<正>本文对一道平行线问题进行演变,并从多角度求解,以期帮助同学们提高思维能力.原题如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,射线BE与CE交于点E.求证:BE⊥CE.分析一由角平分线的定义,易得∠1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系,再利用"两直线平行,同旁内角互补"的结论进行整体代换,即可解决问题.解法一(整体转化法)∵BE平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC,同理∠1=1/2∠BCD,∴∠1+∠2=1/2(∠BCD+∠ABC).又AB∥CD,     

妙用补形法 巧解几何题

<正>有些几何问题,如果仅从原图形分析,常常会显得非常困难,甚至是难以入手.此时如果能够把原图形进行适当的添补,使其成为一个简单的、特殊的、完整的基本图形,则可使问题得到简化,为迅速求解找到途径.下面举例分析.一、补成直角三角形例1某片绿地的形状如图1所示,其中∠A=60°,AB⊥BC,AD⊥CD,AB=200 m,CD=100 m,求AD,BC的长.     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...     

点·平行线·角

1．当点在两平行线之间时角的关系例1如图1所示,已知AB∥CD,E是AC上的一点,求证∠CAB=∠CED ∠CDE．证明因为AB∥CD,所以∠CAB ∠C=180°,又因为∠C ∠CED ∠CDE=180°,所以∠CAB=∠CED ∠CDE．     

解梯形题的“金钥匙”——变换法

处理平面几何中的梯形问题,若利用几何变换,把梯形问题转化为三角形问题和平行四边形问题,会使问题更简捷.现举例说明.一、平移变换1.平移一腰:即从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例1如图1,在梯形A BCD中,A B∥D C,∠C ∠D=270°,A D=8,BC=6,A B=3D C.求梯形的面积.解:如图1,将B C沿CD方向平移到M D,可得荀M BCD,则M D=BC=6,∠A D M=270°-∠C-∠CD M=270°-(∠C ∠CD M)=270°-180°=90°.所以A M=A D2 M D2姨=10.因为D C=13AB=12A M=5,所以A B=15.过点D作D N⊥AB于N,则D …     

斜8字型相似模型的结论及其应用

<正>相似形在中考中占有极大的比重,它的考法又是千变万化,对于学生来说,既是重点,又是难点.本文举例说明关于"斜8字型相似"的一些基本结论,希望对学生的思维有一定的激发作用,给学生处理问题多一些途径.一、基本模型如图1所示:线段AC与BD相交于点O,连接AB与CD,AB不平行于CD(平行时为特殊情况),其中∠A=∠D,我们称这种模型为"斜8字型".     

构造基本图形解题

正掌握基本图形的性质,能大大帮助我们提高解题效率.这里先介绍几个基本图形的有关性质.基本图形1图1中,AC⊥BC,CD⊥AB,垂足分别为C、D,可取名为"双垂图".这是常见的"知二求四"问题,即在线段AC、BC、AB、     

探究一题多解 凸显思维过程——一道填空题的解法探究

<正>等边三角形是初中几何中重要的基本图形之一.本文通过对一道填空题多种解法的探究,深入讨论此类基本图形在解题中的重要作用.题目如图1,△ABC是等边三角形,点D是AB的三等分点,且BD/AB=1/3,点E是AC的中点,BE、CD交于点F,则∠EFC的正切值为.解决本题的关键是,利用已知E是AC的中点,由等边三角形三线合一性质得BE⊥AC,则∠FEC=90°.     

一个基本图形的应用大全

基本图形往往是问题获解的基本载体.下面就和同学们一起认识下面一种基本图形,并浏览它在解题中的不俗表现.基本图形:如图1,AD是∠BAC的角平分线,DE∥AB,交AC与点E.则AE=ED.证明:因为AD是∠BAC的角平分线,所以∠CAD