解题过程的正确性源于数学理解的准确性——解析几例“等价变形”

在解决含√x型的问题时,将数学式子两边平方是常见的一个变形,但由于“a=b”与“a^2=b^2”不等价,因此关注变形前后数学式子的等价性往往都引起师生的关注,但教学实践中发现,如何准确把握其中的等价性,师生在行为方面常常落后于意识方面（宏观层面）的情况时有发生,究其原因,不难发现,关键在于没有精准弄清这种变形中造成等价性的具体所在（微观层面）,而这正是教学应关注之处．本文拟对发生在高中教学实践与研究中的几个问题加以解析,以期对“等价性”教学有所帮助．     

对照系数巧解竞赛题(高一、高二、高三)

“希望杯”及其它数学竞赛系数对照法是指两个式子等价时,其对应项的系数相等. 例1 实数a,b满足a3-3a2 5a=1,b3-3b2 5b=5,求a b的值.(25届全苏奥赛) 解设a b=t,将a=t-b代入a3-3a2 5a=1,得b3-(3t-3)b2 (3t2-6t 5)b     

分解因式

在小学数学里 ,为了约分与通分的需要 ,必须学会把一个整数进行因数分解 .也就是把这个整数写成几个因数的积的形式 .同样地 ,为了今后学习分式、一元二次方程、二次函数等内容的需要 ,我们也必须学会分解因式 .分解因式是什么 ?分解因式是代数中一种重要的恒等变形 .先看看两个式子 ,乍一看 ( a b) ( a - b) =a2 - b2与 a2 - b2 =( a b) ( a - b) ,两个式子似乎没有多大区别 ,只是将它们倒过来写了 .然而这恰恰反映了两种不同的变形 ,互逆的变形 .前者是整式乘法运算 ,后者是多项式因式分解 ,这里反映了它们之间的区别和联系 .由此 ,引…     

不等式中非等价变形惹的祸

数学解题时离不开转化、变形,这些转化、变形应该等价转换、恒等变形．等价转化、变形是把待解的数学命题等价地化归为另一个数学命题,前后两个命题互为充要条件．在我们学习的不等式的性质中,不少性质的条件和结论是互为等价条件,但是也有一部分性质只能是单向的,不能回推。如a〉b,c〉d→≥a＋c〉b＋d,但a＋c〉b＋d→a〉b,     

一道不等式试题的几何视角

正试题呈现设anc且a+b+c=1,a~2+b~2+c~2=1,求a+b的取值范围.文[1]中采用构造方程的方法,将问题转化为根的分布问题,去除技巧,解法自然,不失为好方法.但观察式子中的变量a,b,c,如果将其中的a,b看作变量,c看作常量的话,将式子变形为a+b=1-c,a~2+b~2=1-c~2,考虑到方程有解,直接将问题转化为给定范围内解决直线与圆相交问题.另解:由abc,得1=a+b+c3c,故c1/3①;若存在a,b满足a+b+c=1,a~2+b~2+c~2=1,则圆心(O,O)到直线的距离d=|c-1|/2~(1/2)     

IMO-36第二题的四种证法

第三十六届国际奥林匹克数学竞赛第二题: 设a、b、c为正实数,且满足a·b·c=1,试证:1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥3/2(1)。(俄罗斯提供) 证法一 由已知条件a·b·c=1,(1)与下面(2),等价:b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥3/2(2),现用含参数基本不等式:a~2 (λb)~2≥2abλ(λ为参数)的变形:a~2/b≥2λa-λ~2b。因而     

完全平方公式的逆向应用

完全平方公式有如下两个: 1.(a+b)2=a2+2ab+b2 2.(a-b)2=a2-2ab+b2 熟练地掌握了它们的正向应用后,你是否想到过逆向应用它们?事实上,逆向应用它们,能把形如a2 ±2ab+b2的式子化为形如(a±b)2的式子.这种和差化积的思想方法,在解题中值得我们一试! 一、计算问题 例1 计算9999×9999+19999. 分析:由于19999=2×9999+1,原式即为形如a2+2ab+b2的式子. 解:原式=99992+2×9999+1=(9999+1)2=100000000.     

比例因子在解题中应用

在初中数学第四册§7.3里,证明等比定理: a/b=c/d=…=m/n→(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b时,应用了比例因子的技巧。具体步骤是: (1)令a/b=c/d=…=m/n=k,因而得:a=bk,c=dk,…m=nk (2) 利用上述结果引出求证的式子左边的分子的下述变形 a+c+…+m=k(b+d+…+n) (3) 利用上项结果作出求证的结论这种证题方法,有着广泛的应用范围。分述如下。     

创设数学“结构美”巧解题

数学多给人以枯燥、繁琐的印象 ,但在很多情况下数学又给我们许多美的感受 ,特别在数学解题中存在很多“结构美”,主要表现为式子结构的对称有序、数学元素 (数字、符号、式子 )的完备整齐等 .善于发现、挖掘、创设这些“结构美”会给我们解题带来意想不到的良好效果 .1　添加、删减数学元素例 1　已知数列 {bn}是等差数列 ,b1 =1 ,b1 + b2 +… + b1 0 =1 4 5.( )求数列 {bn}的通项公式 ;( )设数列 {an}的通项公式 an=loga( 1+ 1bn) (其中 a>0且 a≠ 1 ) ,记 Sn 是数列 {an}的前 n项和 ,试比较 Sn 与 13logabn+1 的大小 ,并证明你的结论 …     

对几道习题解法的质疑

在实施 (1 998- 1 999学年度 )两省一市高一课改试验《数学》的教学过程中 ,发现有几道习题的表述不太严谨 ,或解法有漏洞 .现提出如下质疑 ,并与同行商榷 .一、已知 a b= c, a- b= d,求证 :| a|=| b| c⊥ d (《数学》第一册 (下 )第1 73页复习参考题 B组第 4题 ) :答案提示 : c⊥ d ( a b)· ( a- b) =0 a2 - b2 =0 a2 = b2 | a|=| b|(人教社版《教师教学用书》)质疑 :这道题的本意是考查向量的内积、垂直充要条件、向量相等等知识 .本是一道很有价值的习题 .然而 ,美中不足是题意中忽略了 a= b或 a=- b,两种特殊情况 .事…     

一类多元不等式的新证法

多元不等式的证明常见于数学竞赛及问题征解,其解答大多数是变形技巧高,运算过程复杂,所以学生难以把握解题规律.笔者在向量教学中发现,利用向量的数量积变形公式p?q≤p q(*)易证一类多元不等式,其解题极具规律,而且有利于深入研究不等式,方便地构造出新的不等式,下面举例说明.例1设a,b,c>0,a b c=1,求证:14936a b c≥(《数学通报》2004年第1期3月10号问题).证明设p(1,2,3)=a b c,q=(a,b,c)∵p?q=1 2 3=6,p q149a b c=a b c? 149=a b c.由(*),得1496a b c≥,∴14936a b c≥.说明(1)把条件a b c=1变为a b c≤1,命题仍然成立;若条件变为a b c…     

“不包括0”是有道理的

在一般的数学书里,关于数的整除的定义是:一个整数 a 除以一个自然数 b,如果能得到整数商q,使 a=bq,那么,我们就可以说 a 能被 b 整除。可用式子表示为 a(?)b 或 b|a。但小学数学     

用数学美激发学生的学习兴趣提高学生的数学素质

数学是研究现实生活中的数量关系和空间形式的。客观存在的实体无处不存在着美 ,而这些美为数学提供了很多美的内容和美的形式 ,正是这些美构成了数学的美 :对称美、相似美和简单美。显然这些美正是激发学生学数学的源泉 ,而用这些美来激发学生的学习兴趣 ,提高学生的数学素质 ,使学生从美的式子、美的符号、美的图形中受到美的熏陶 ,获得美的教育则是美中求美。一、数学的对称美。数学形式和结构及图象无不充满着对称。如公式 ( a b) 2 =a2 2 ab b2 中字母 a与 b是对称的 ,抛物线 y=ax2 bx c( a≠ 0 )是关于直线 x=- b2 a是对称的图…     

判别式在高中数学中的应用

实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac≥0,在初中数学的学习中,学生已经掌握.但是,在高中数学中应用判别式的等价性解决问题仍是高中数学中的难点之一,不少学生在学习中可能产生障碍,甚至出现一些错误.因此,判别式应用中的等价性问题,应引起师生的充分重视.1 使用判别式求函数的值域(最值)     

数学教学活动中图形演示的意义

数学教学过程是再现数学知识发生的过程 ,是揭示数学对象内在联系的过程。图形的演示可使上述过程形象化 ,找出变化规律 ,找出变与不变之因素 ,从而发现问题的内在联系 ,有利于学生掌握知识 .1　证明恒等式有些恒等式可用图形来证明 .图 1(1)～ (3)的 3个图形分别用大正方形的面积进行不同分割 ,得到了 3个恒等式 .分析 :图 1(1) : = =ab, =a2 , =b2 .大正方形的面积 (a b) 2等于 ,即 (a b) 2 =a2 b2 2 ab;图 1(2 ) : = =12 (a b) (a - b) , =b2 .大正方形的面积 a2 等于 ,即 a2 - b2 =(a b) (a - b) ;图 1(3)…     

数学竞赛中多层根号根式的化简

数学竞赛中常常会遇到含有多层根号的根式 .一般的说 ,这类根式都能通过化简最终化为单一根号的根式或不带根号的式子 .一、多层二次根式的化简化简含有多层二次根号的根式 ,一般有两种思路 :(一 )对根号下的式子进行配方 ,变为完全开方式如果是 a± 2 b的形式 ,设法找到两个有理数 x、y,使 x + y =a,xy =b,则a± 2 b =( x + y)± 2 xy =( x ) 2± 2 xy + ( y ) 2 =( x± y ) 2 =| x± y | ( x >y >0 )如果是 a± b的形式 ,可如下变形a± b =2 a± 2 b2= 2 a± 2 b2再用上述方法化简 .比如 ,化简 ( 1) 3+ 2 2 ;( 2 ) 2 - 3.解 :( 1)原式 =( …     

巧妙构造“A~2 B~2 C~2=0”解题几例

众所周知,在实数范围内,有A2 B2 C2=0!A=B=C=0(A,B,C代表任何数学式子).有些特殊的数学题,初看起来无所适从,但我们若能仔细观察,巧妙构造出上式,便能将这些数学问题迎刃而解.例1已知实数a,b,c满足①a b c=3,②a2 b2 c2=3,③a5 b5 c5=3.求a,b,c的值.分析本题虽是用3个方程求3个未知数,但是由于方程次数比较高,若用代入法解决将非常麻烦.如果我们巧妙构造出A2 B2 C2=0的形式,便可以很快得到答案.解:由①②得(a-1)2 (b-1)2 (c-1)2=(a2 b2 c2)-2(a b c) 3=0.从而构造出A2 B2 C2=0!A=B=C=0的形式,所以有a-1=0,b-1=0,c-1=0.故a=b=c=1.例2…     

例谈和差变换的三种作用

令x=a+b,y=a-b的变换通常称为和差变换。本文通过举例谈谈和差变换在数学中的三种作用。 一、改善式子的结构 例1已知x、y为实数。 求证:x~2+y~2+4>3(x+y)-xy。 证明 设 x=a+b,y=a-b,则     

一个不等关系的图证

设a1、b1、a2、b2皆正数,则有不等关系a1a2+b1b2≤a12+b12a22+b22,(1)或其等价式　(a1a2+b1b2)2≤(a12+b12)(a22+b22)(2)当且仅当a1∶b1=a2∶b2时两式等号成立.以上是一个应用很广的著名不等式,证法较多,本文给出一种图证方法.笔者自以为该法甚为有趣,在初中数学教学中,在阐述数形结合的数学思想时,作为例子讲解,必能起到一点启迪思维、激发兴趣之效果.如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,BC=a1,AC=b1.延长BC到D,使CD=a2,延长CA到G,使AG=b2.过A、G两点作BD的平行线AE、GF,过D作DF∥CG,DF与AE、GF分别交于点E、F.由作图过程知…     

巧用a＋b＋c=0的移项变形

对于某些与条件等式a+b+c=0有关的求值问题,巧用它的移项变形a+b=c,或b+c=-a,或c+a=-b,可找到很好的求值途径. 例1(1995年广州等五市初一数学竞赛试题)已知a+b+c=c,a2+b2+c2=1,那么a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=