寻根溯源 抓住本质——例说圆折叠问题的解题策略

<正>折叠问题是列年来各类考试的热点问题,其中以圆为背景的折叠问题其各个量之间的关联及转化更为隐蔽和灵活,它是对几何三大变换之"轴对称"变换的应用,涉及的知识点较多,综合性强,能较好的实现对学生的图形分析能力、实践操作能力、逻辑推理能力以及数学的运算能力等数学核心素养的考查.笔者对圆折叠问题作了一些研究,发现只要抓住轴对称变换的不变性结合圆中各个量的灵活转化,就可以轻松化解,本文笔者就来谈谈这类问题的解题策略.     

解折叠问题的常用思路例析

近年来,各地中考题中折叠问题屡见不鲜。常见的有矩形的折叠、圆的折叠、三角形的折叠等.折叠问题的实质是轴对称图形性质的应用.解决折叠问题的关键是寻找图形中相等的线段、相等的角,然后把折叠问题转化为一般问题.因此,还要熟悉轴对称图形的性质:     

求解圆的折叠问题时模型方法的运用

<正>"圆"是中考重点,也是学生学习的难点.很多学生常常"望圆生畏",尤其是圆的折叠问题.相比较于直线型的折叠操作起来要困难得多.圆的折叠问题对学生图形识别能力、空间想象能力、解题综合能力提出了考验.笔者结合几个的实例,谈一谈求解圆中折叠问题时,模型方法的运用.     

折圆中的折痕怎么求?

<正>解决折叠问题的关键是利用折叠的一系列性质,如对应边相等,对应角相等,对应点的连线被折痕垂直平分等.圆中的折叠问题也是要把握这个关键,再利用圆的有关性质即可解决.一、折叠后圆弧过圆心例1如图1,⊙O沿BC折叠,使劣弧BC     

例谈隐圆在折叠问题中的应用

<正>折叠问题是图形运动问题中的一种重要题型,也是各地中考的一个高频考点.然而对于折叠问题的处理,大部分学生因分析不当而导致考虑问题不全面,出现漏解情况.其实我们只要利用好隐圆,折叠问题就会被一网打尽.下面我们分类例说如何利用隐圆解决有关图形折叠问题.一、求字母的值或取值范围例1 如图1,在矩形ABCD中,AB=1,     

“圆”的特色题型

“圆”这部分知识是初中数学的难点和重点,是中考必考内容,除要求掌握基本概念外,还要求充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态问题、探索型问题.综合运用圆、方程、函数、相似等知识解决一类与圆有关的问题已成为中考热点题型.以下是一些比较有“特色”的中考题,不妨体会一下.例1一条弦把圆分为2∶3的两部分,那么这条弦所对的圆周角的度数为.【分析】首先,一条弦所对的圆周角有两个,这两个角的度数之和为180°;其次,一条弦把圆分为2∶3两部分,这意味着这两个圆周角的度数之比为2∶3,从而可分别求出弦所对的圆周角为7…     

题中无圆心有圆 圆来就这么简单

研究近年高考数学试题,发现解析几何对“椭圆”和“抛物线”的考查难度有所下降,“直线与圆”的地位大幅度提升,具有数学文化背景的题目层出不穷.其中,有一类圆的问题在已知条件中没有直接给出圆的有关信息,而是隐藏在条件中,需要通过分析转化,从而发现圆(或圆的方程),进而利用圆的知识求解,这类问题称为“隐形圆”问题.比如“蒙日圆”、“阿波罗尼斯圆”等.“隐形圆”问题综合性强,充分考查了学生数形结合、化归与转化等数学思想方法,学生答题有一定的难度.本文以几道高考题和模拟题为例,探寻“隐形圆”问题求解策略.     

圆的整体教学策略

义务教育小学数学教材第十一册“圆”这一单元的内容有:圆的认识、圆的周长和面积、扇形、轴对称图形,其中圆早在一年级就已初步感知过.这些内容是在学生已经学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积的基础上安排的.学生理解了面积的概念,能区分面积和周长两个不同的概念,懂得用转化的思     

用“对称”诠释圆中的分类讨论

<正>在解决圆的相关问题时,特别是在无附图的情况下,学生往往就考虑不周,经常出现漏解的情况,其主要原因是图形只画出一种情况,忽略了分类讨论思想.因此教学中,把学生常见的一类错误进行分类汇总,并总结出解决此类问题的规律,即利用"对称性"来理解图形的多种可能性,这样就便于学生掌握解决此类问题的本质,以不变应万变,从而减少学生的学习负担.现将与圆的轴对称性相关的分类讨论的典型问题整理如下.     

圆的认识

教学目的:1.能区分圆与球体.2.会使用圆规画圆.3.掌握圆心、半径、直径的概念及半径与直径的关系.4.知道圆是轴对称图形.教学过程:引入课题.教师提问:“车轮为什么是圆形的?”(对于这个司空见惯的问题,学生还不能根据圆的特点准确回答,这就激起了学生强烈的求知欲望,为新课的学习做好准备.)一、初步认识圆1.教师演示.旋转两头系有小球的毛线,得到圆.     

巧作辅助圆解题

近年来,各地中考中频频出现一类问题,需要通过添加辅助圆求解,即利用圆的有关性质,建立起条件和结论之间的联系,从而化隐为显,找到解题的切入点.下面举例说明辅助圆的作法.一、利用"直径所对的圆周角是直角"构造辅助圆例1(2012年广州中考题)如图1,抛物     

圆

（1）圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为圆心。     

矩形的折叠问题

近年来,矩形的折叠问题频频见于中考试卷中,这类问题普遍有一定的难度,使很多考生无从下手.其实,矩形折叠问题的实质就是轴对称图形的性质的应用.解矩形的折叠问题关键要把握住以下两点:1.翻折过去的图形与原图形全等,因此对应边、对应角相等,2.折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分.这是确定折痕的方法.另外,还应熟悉轴对称图形的两个性质:1.两对称点的连线与对称轴互相垂直,2.两对称点到对称轴的距离相等.同学们可以利用这些知识寻找图中相等的线段和相等的角,从而在解题时化难为易.现举例说明.例1如图1,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后…     

圆的对称性的全息性探究

圆的性质是根据圆的定义演绎发展的,就中学教材而言,就是根据圆的定义引出圆的轴对称性与旋转不变性,进而演变出圆的所有性质定理.根据圆的两大对称性与圆的定义(对纯粹性而言)的等价关系,笔者发现了圆的性质具有相互等价的关系,从而预测圆的对称性的全息性,使我们对圆的理论核心真正有了升华性的认识.     

初中几何折叠问题解析

折叠操作就是将图形的…部分沿着一条直线翻折180°,使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠,其中＂折＂是过程,＂叠＂是结果.折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠更突出了轴对称问题的应用.所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等,折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴：     

圆

圆既是中心对称图形,又是轴对称图形,还具有旋转不变性,这些是研究圆有关性质的基础.圆的知识里,蕴涵着三角形、四边形及相似形的知识,解决圆的问题常常用到方程、函数思想,综合性强,覆盖面广,渗透初中数学的多种数学思想方法,在中考中具有显赫的地位.     

圆的有关性质

中考知识梳理1.圆的定义,点与圆的位置关系(1)圆上各点到圆心的距离都等于半径.(2)圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴:圆又是中心对称图形,圆心是它的对称     

怎样讲清圆是轴对称图形

首先可通过复习,让学生回忆什么是轴对称图形,学习了哪些几何图形是轴对称图形,说出长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形和等腰梯形为什么都是轴对称图形,它们的对称轴在哪里?每种图形中对称轴各有多少.接着,教师出示硬纸做的圆形教具,画上三条直径,边讲、边演、边提问:(1)把这个圆沿着它的一条直径对折,直径两边的两个半圆是不是完全重合在一起?(完全重合在一起)(2)沿另一条直径对折,这两边的两个半圆完全合在一起吗?(完全重合在一起).(3)如果再沿第三条直径对折,情况又怎样?(同样完全重合在一起).由此引导学生归纳小结:圆是轴对称图形,任何一条直径都是圆的对称轴.     

再从已知圆两相交弦谈起

圆是平面几何中除三角形外又一类重要图形,笔者顺着这一思路,用开放题的形式,归纳复习圆的有关重要知识,尽量扩大覆盖面,得出一系列结论,仍颇有曲径通幽之妙. 为此,我们再从已知圆两相交弦谈起.     

构造辅助圆(弧)的两类途径

<正>有一类几何问题往往需要构造辅助圆来解决.本文介绍构造圆(弧)的两类途径,使问题通过构造圆(弧)后转化为利用圆的有关性质进行解答,达到顺利获解的目的.一、根据圆的定义构造圆根据"到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上"构造圆.例1(2014年盐城中考题)如图1,在平面直角坐标系中,一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上,坐标为(0,-1),另一