例析函数对称性和周期性

<正>一、函数的对称性定理1:若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。定理2:若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图像关于点     

由f(a+x)=±f(b±x)判定函数的对称性与周期性

对于函数y=f(X),本文证明了:①若满足f(a+x)=f(b-x),则其图象关于直线x=(a+b)/2对称;②若满足f(a+x)=-f(b-x),则其图象关于点((a+b)/2,0)对称;③若满足f(a+x)=f(b+x),则其周期为a-b;④若满足 f(a+x)=-f(b+x),则其周期为 2(a-b)     

判别函数图象对称性的一组命题及应用

常用于判别函数图象对称性的命题可归纳如下:命题1　若函数y=f(x)满足f(a x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a b2对称.证　在y=f(x)图象上取A(a x0,y0),B(b-x0,y0),则AB中点为(a b2,y0),且对任一x0都成立,由x0任意性可知f(x)的图象关于直线x=a b2对称.推论1　若函数y=f(x)满足f(a ωx)=f(b-ωx),则y=f(ωx)关于x=12ω(a b)对称,即y=f(x)关于x=a b2对称.证　设ωx=t,则f(a t)=f(b-t),从而函数y=f(t)关于t=a b2对称,即y=f(ωx)关于直线x=a b2ω对称,或y=f(x)关于直线x=a b2对称.命题2　函数y=f(x)若满足f(a x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于…     

函数周期性与图象的对称性应用例谈

课本中给出了奇偶函数的定义:f(x)是奇函数f(-x)=-f(x),f(x)是偶函数f(-x)=f(x).它们的图象特征是:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.关于原点(y轴)对称的函数是奇(偶)函数.把以上结论加以推广:就有:命题1:设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a2 b对称.命题2:定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x a)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点a2 b,0对称.这两个命题是关于同一个函数图象本身的对称性,对于两个函数图象之间的对称性,有下列结论:命题3:定义在R上的函数y=f(x),函数y=f(a x)与y…     

一类函数最值问题的不等式求法

题目函数f(x)=λ1x-a+λ2b-x(λ1＞0,λ2＞0,b＞a),求f(x)的最大值和最小值.     

用函数对称性解2012年全国高考四川卷(文、理)12

y=f(x)的抽象函数方程中,有些方程有特定的几何意义,如f(x)=f(2a -x),f(x)+f(2a-x)=2b分别是轴对称(对称轴x=a)中心对称(对称中心(a,b))函数,特别地,a=b=0时,分别是偶函数和奇函数,f(x+T)=f(x)是周期函数,记住它们对解决问题很有意义.本文用这几个抽象函数方程给出2012全国高考四川卷(文、理)数学12题的快捷解法.     

广义奇(偶)函数的单调性及其应用

文 [1]介绍了广义奇 (偶 )函数的概念与性质 :定义　对于函数 f(x) ,若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =- f(b-x)成立 ,则称 f(x)为广义奇函数 ;若存在常数a、b ,使得函数定义域内的任意x ,都有 f(a+x) =f(b -x)成立 ,则称 f(x)为广义偶函数 ,性质　对于函数 f(x)定义域的任意x ,f(a+x) =- f(b-x) f(x)的图像关于点 (a+b2 ,0 )对称 ;对于函数 f(x)定义域内的任意x ,f(a+x) =f(b-x) f(x)的图像关于直线x =a+b2 对称 .实际上 ,将上述广义奇 (偶 )函数 f(x)的图像平移 n=(- a +b2 ,0 ) ,即成为对应的奇 (偶 )函数的图…     

周期函数的三个充分不必要条件

文(1)给出一元函数对称性的二个定理,判定函数图象的对称性,本文根据上述定理,给出周期函数的三个充分不必要条件,不揣浅陋,请予指教.我们知道,对于函数y=f(x),若存在非零常数t,使f(x)=f(x t)对于任意x恒成立,则f(x)是周期函数,t为f(x)的周期.定理1:若函数y=f(x)的图象有两条与Y轴平行的对称轴,则函数y=f(x)是周期函数.证明:设函数y=f(x)的图象的两条对称轴方程分别是x=a,x=b(a≠b),则有f(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x),∴f(x)=f(2(b-a) x),故f(x)是周期函数且周期为2(b-a).定理2:若函数y=f(x)的图象在平行于X轴的直线上有两个对称中心,则f(x)是周期函数.     

函数的周期性与其它性质之关系初探

近年来,经常出现函数的周期性与函数其它性质相关的题目。那么函数的周期性与函数的其它性质有无本质的内在的关系呢?现讨论如下: 一、几个定理 定理1:设函数y=f(x)定义在R上,其图象关于x=a,x=b(a≠b)对称,则f(x)是以2|b-a|为周期的周期函数。 证明:不妨设a相似文献   

函数对称与周期的有关结论

一、自对称设f(x)是定义在R上的函数,则1.f(a+x)=f(b-x) f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2成轴对称. 特例1 f(a+x)=f(a-x) f(x)的图象关于直线x=a成轴对称. 特例2 f(x)=f(-x) f(x)的图象关于直线x=0成轴对称.     

抽象函数周期性的确定

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数,本文就如何确定抽象函数的周期性通过实例介绍一些技巧,供学习参考。 1 合理赋值 在确定抽象函数的周期时,如果题设条件中含有f(a)=b(a、b为常数)等类似条件时,合理赋以特殊值,常可使问题迎刃而解。 例1: 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,并对任何x∈R均有f(x+2)-f(x)=f(2),则f(x)是以2为周期的周期函数。 分析:因为f(x)是R上的奇函数,所以对一切x∈R都有:f(-x)=-f(x) 又f(x+2)-f(x)=f(2)。 令x=-1,得f(1)-f(-1)=f(2), 即f(1)+f(1)=f(2), 从而f(2)=2f(1)=0 所以f(x+2)=f(x)+f(2)=f(…     

易混淆的一类函数图象周期性 对称性问题

在高三数学复习中,常会碰到一类函数图象对称性、周期性问题,由于其表述形式类似,学生极易混淆致错·为提高学生分析明辨能力,深入掌握函数的性质,笔者拟归纳整理证明如下·一、轴对称结论1若函数y=f(x)的定义域是R,且满足f(x a)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=a2 b对称·证明:     

关于函数图象对称性的几个重要结论及应用

结论1设a、b为常数,则函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=a+b/2对称的充要条件是:对任意实数x,都有f(a+x)= g(b-x)．证明:(1)充分性:设点P(a+x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意     

函数对称性的探究

讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性,函数与反函数图像的对称性.前者是函数自身的性质,而后者是函数的变换问题.下文中我们均简称为函数的对称性.函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜,对于解决其它问题也很有帮助,同时也是数学美的很好体现.现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质.1函数自身的对称性探究高考题回放:(2005年广东卷I)设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区…     

再谈一类无理函数值域的求法

文(1)、(2)各用一种方法介绍了形如f(x)=√(ax2+b)-x(x≥0,a≥1,b≥0)的最小值的求法,文(3)、(4)分别给出函数f(x)=m√(x2+1)-nx(mn＜0,|n/m|＜1)的值域的求法.本文给出更一般的函数f(x)=m√ax2+b+nx(a,b,m,n均不为零)的值域的一种三角换元求法.     

广义奇偶函数的性质及其应用

文 [1]给出了广义奇偶函数的概念 :对于函数 f (x) ,若存在常数 a,b,使得函数定义域内任意 x,都有 f (a + x ) =-f (b-x)成立 ,则称 f (x)为广义奇函数 .特别地 ,当 a =b = 0时 ,f (x)是奇函数 .对于函数 f (x) ,若存在常数 a,b,使得函数定义域内任意 x,都有 f (a + x) =f (b -x)成立 ,则称 f (x)为广义偶函数 .特别地 ,当 a =b= 0时 ,f (x)是偶函数 .本文给出广义奇偶函数的性质 :定理 1　广义奇函数的图像关于点(a + b2 ,0 )成中心对称图形 ,广义偶函数的图像关于直线 x =a + b2 成轴对称图形 .证明 :(1)设 f (x)为广义奇函数 ,则存在常数…     

函数对称性的应用

函数是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能使问题更简捷地得到解决,对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质.1函数自身的对称性结论1函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x) f(?x)=0(即f(x)为奇函数).(证明略)推广函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x) f(2a?x)=2b.结论2函数y=f(x)的图像关于y…     

函数不动点及应用

设f(x)是一个关于x的代数函数,我们称方程f(x)=x的根为函数f(x)的不动点.本文从五个方面讨论求解函数不动点及利用函数不动点求解问题. 一、求解f(k)的不动点的问题求解f(x)的不动点问题时需运用各种方法与技巧. 例1 G是形如f(a)=ax+b,(a和b都是实数)的实变数x的非常数函数集,且G具有下列性质: (1)若f、g∈G,则gof∈G,其中定义(gof)(x)=g[f(x)];     

关于一类抽象函数的对称问题

进入高中,同学们对形如y=f(-x+a)与y=f(x+a)等一类抽象函数的对称问题比较模糊,特别容易混淆y=f(x)满足条件f(-x+a)=f(x+a)的情况下,y=f(x)的对称性同两个函数y=f(-x+a)与y=f(x+a)的图象对称性的区分,不少同学总是把它们看成是具有相同的对称轴,本文就此作一些比较性探索.     

函数对称性的探究

函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a.b)对称的充要条件是:f(x) f(2a-x)=2b推论:函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是:f(x) f(-x)=0定理2.函数f=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是:f(a x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)推论:函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是:f(x)=f(-x)定理3①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2｜a-b｜是其一个周期。③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4｜a-b｜是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理4.函数y=f(x)与y=2b-f...