用分母换元法巧解一类分式型竞赛题

正对于各级数学竞赛中一类分式型不等式,将其分母换元,然后用新元素表示各个量,将复杂问题转化为已知的或简单的问题进行解决,达到事半功倍的目的,现举例说明,以飨读者.例1已知a、b、c∈R+,求证:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2(第26届莫斯科数学奥林匹克试题)     

一道奥赛题与一个数学问题的一脉相承

<正>赛题(第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题以下简称"赛题")已知ΔABC的三边长为a,b,c且满足a+b+c=3,求f(a,b,c)=a2+b2+c2+4/3abc的最小值.问题(《数学通报》问题1830以下简称"问题")已知a,b,c>0,且a+b+c=2,证明     

《数学通报》问题1885的另证与推广

《数学通报》2010年11月第1885号数学问题是:已知a,b,c为正数,求证:(9a)/(b+c)+(16b)/(c+a)+(25c)/(a+b)≥22.证明原不等式等价于9(a+b+c)/(b+c)+16(a+b+c)/(c+a)+25(a+b+c)/(a+b)≥72     

巧用a＋b＋c=0的移项变形

对于某些与条件等式a+b+c=0有关的求值问题,巧用它的移项变形a+b=c,或b+c=-a,或c+a=-b,可找到很好的求值途径. 例1(1995年广州等五市初一数学竞赛试题)已知a+b+c=c,a2+b2+c2=1,那么a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=     

构造法的认识及应用

构造法是数学研究和解题经常使用的一种有效的方法,它包括直接构造法和间接构造法:直接构造法是直接构造出数学问题结论的方法,此法虽很简捷,但往往不易成功;间接构造法就是将不易直接构造出结论,需精心、妥当地构造一些合理辅助性的数学模型作为桥梁,最终促成问题解决的方法,其常用方法有:构造方程、构造反例、构造图形、构造函数、构造行列式、构造恒等式等,本文就此方法探讨几例如下.例1:已知a+b+c=0,求证:a3+b3+c3=3abc.证明:∵a3+b3+c3-3abc=a b cc a bb c a=a+b+c b cc+a+b a bb+c+a c a=a+b+c1b c1a b1c a=0,∴a3+b3+c3-3abc=0.评注:…     

最新竞赛最值问题例析

最值问题历来是数学竞赛中的热点之一,最值问题涉及的知识面广,难度大,近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题,在题型上已呈现出一个崭新的形势,同时最值的求法也有了较大的拓展,打破了原有的思维定势,但仍然是有章可循的.本文就这类问题的解法用实例加以说明.1数式最值问题例1(2006年全国初中数学竞赛试题)已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a相似文献   

两个有趣的无穷长代数不等式链

2005年罗马尼亚的一道数学竞赛题为:已知a、b、c为正实数.证明:a+b/c2+b+c/a2+c+a/b2≥2(1/a+1/b+1/c). 这是一道关于三个变元a、b、c对称的分式不等式,从这个不等式出发,将其引申拓广,可得两个有趣的无穷长的代数不等式链,即有以下两个命题中的不等式链成立.     

一道竞赛题的又一解法

1987年全国初中数学联赛试题中,有这样一道题: 已知:实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=8,那么1/a+1/b+1/c的值( )     

一个不等式的另证及推广

《数学通报》2010年第12期宋庆老师提供的第1885号数学问题如下:题目已知a,b,c为正数,求证:9a/b+c+16b/c+a+25c/a+b≥22.文献[1]、文献[2]和文献[3]对该不等式给出了证明和推广.本文给出了一种新的证明,并通过柯西不等式和判别式法给出不等式的几种推广.     

提高思维能力是解题教学关键

一、要善于转换例1已知a+b+c=1/a+1/b+1/c=1,求证:a,b,c中至少有一个等于1.分析结论没有用数学式子表示,很难直接证明,思维受阻.若能转换语言表达形式,即换一种方法,首先将结论用数学式子表示,转化成我们熟悉的形式.a,b,c中至少有一个等于1,也就是说a-1,b-1,c-1中至少有一个等于零,这样,问题     

构造法例说(高一、高二、高三)

1.构造函数某些数学问题,可以在变化的量之间建立函数关系,然后用函数的观点解决问题. 例1 已知a、b、c、d、e为实数,且满足条件 a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+c2=16,试确定e的最大值. 解设f(x)     

问题是如何产生的?

现代教学观要求教师用发展的观点看待学生 ,着眼于调动学生学习的积极性和主动性 ,教给学生学习的方法 ,培养学生的学习能力 .在实际教学活动中 ,教师要为学生创设问题情境 ,提供适当的问题 ,引起他们的思维 ,启发他们的思考 .本文举例谈谈如何创设问题情境 .例 1　已知实数a ,b ,c满足a+b +c=0 ,利用这个条件请你设计一个数学问题 .设计 1　直接利用a ,b,c三数之和为零这个条件 .对于实数a和b,总有a(a+b +c) =b(a+b +c) ,所以有a2 -b2 =bc-ac.于是可设计题目 :已知实数a,b ,c满足a+b +c=0 ,则有a2 -b2 =bc-ac.设计 2　利用数零自乘再对a+b …     

一个条件不等式的推广

<正>《数学通报》2014年9月号问题2201如下:问题2201[1]已知a、b、c∈R+,且满足a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2=1,求证:abc≤2/4.本文从变元的个数与指数出发,利用均值不等式给出上述条件不等式的一个推广.推广已知n∈N+,n≥2,k∈N+,ai∈n     

对一类分式求值题变式的探析

<正>题目1已知1/a+1/b=1/3,1/b+1/c=1/6,1/c+1/a=1/9,求(abc)/(ab+bc+ac)的值.这是一道分式求值问题,如果我们从已知中分别求出a、b、c,再代入所求分式,显然是一件非常困难的事.考虑到将所求分式取倒数化简,就可以得到1/a+1/b+1/c,根据已知,不难求出1/a+1/b+1/c的值,再将所得结果     

叠加帮你巧妙解题

叠加是指将几个等式的左边与左边、右边与右边相加起来解题的一种方法·对于某些多元有关的问题,考虑利用叠加这种方法,能把分散的条件集中,从而使解题简便易行·例1(“希望杯”初二数学竞赛题)已知a、b、c为实数,aa+bb=31,b b+cc=14,c c+aa=15,则ab+abbcc+ca的值是·解:由已知三等式,得a+bab=3,①b+cbc=4,②c+aca=5·③①+②+③,得c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)abc=12,所以ab+abbcc+ca=6,从而ab+abbcc+ca=61·例2(“新蕾杯”初二数学竞赛试题)若a、b、c是不全相等的任意实数,且x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x、y、z满足()(A)都不小于0(B)都不大于0(…     

对一道不等式问题的推广的补充与证明

文[1]给出了数学奥林匹克司题高229题:"已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+1/b+1/c+3/a+b+c≥4"的简证后,又将之推广为:"已知a,b,c∈R_+,abc=1,0<λ<9/2,则1/a+1/b+1/c+λ/a+b+c≥3+λ/3"·笔者探究发现,该推广对λ=9/2也成立,而且从λ=9/2入手证明之更加简便.现介绍于后,以供参考.     

一题多解 发散思维

对于一个数学问题,若能根据已知与要求之间的关系,发散思维,善于联系,可以得到多种不同的解法,从而训练思维的广阔性、灵活性、深刻性.题(2014年高考辽宁卷理16)对于c>0,当非零数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3/a-4/b+5/c的最小值为_.分析:先固定c,将|2a+b|取最大时的a、b用c表示,代入3/a-4/b+5/c后将3/a-4/b+5/c转化为c的函数,再利用函数思想求出     

真的需要分类讨论吗?——几个不等式的证明及探究

正引言文[1]—[4]研究了如下几个有意思的不等式:问题1已知a,b,c为正实数,求证:(a2+b2)2≥(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).问题2已知a,b,c为正实数,求证:(ab)2≥1/4(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a))c+a-b).问题3若a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1.     

妙用设K法—OK!

在证明等比性质时 ,巧妙地运用了设 k方法 ,收到了出奇制胜的效果 .设 k法的实质是借用 k为参数 ,建立已知与未知之间的联系 ,达到解题目的 .现列举实例 ,介绍 .一、用设 k法求值例 1　 ( 1999年天津市初二数学竞赛试题 )已知a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca ,求( a + b) ( b + c) ( c + a)abc 的值 .解 :设 a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca =k,则 a + b =( k + 1) c, 1a + c=( k + 1) b, 2b + c =( k + 1) a, 3由 1+ 2 + 3,得 ( k - 1) ( a + b + c) =1,∴ k =1或 a + b + c =0 .当 k =1时 ,a + b =2 c,b + c =2 a,c+ a =2 b,…     

解析以a+b+c=0为条件的求值题

<正>在初中数学中经常会遇到一类以a+b+c=0为条件的代数求值题,本文举例加以解析,以期使读者了解此类问题的解题思路.例1已知abc≠0,且a+b+c=0