六年制重点中学高中《解析几何》课本一例浅议

在六年制重点中学高中《解析几何》课本的116页有这样一道例题:“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点处的切线互相垂直。”课本的证法是: 先解椭圆和双曲线方程所组成的方程组,求得四个交点 P_1((5(15)~(1/2))/4,3/4);P_2(-(5(15)~(1/2))/4,3/4);P_3((5(15)~(1/2))/4,-(3/4));P_4(-(5(15)~(1/2))/4,-3/4)。再分别求出椭圆、双曲线在点P_1处的切线方程,     

青蛙跳步问题的另一深究

1985年“五四青年智力竞赛”有一个青蛙跳步问题:地面上有A、B、C三点,一只青蛙位于地面上距C为0.27米的P点处,青蛙第一步从P跳到关于A的对称点P_1,第二步从P_1跳到关于B点的对称点P_2,第三步从P_2跳到关于C点的对称点P_3,第四步从P_3跳到关于A的对称点P_4,……,按这种方式一直跳下去,若青蛙在第1985步跳到了P_(1985),问P与P_(1985)相距多少厘米?     

关于λ_n=maxA_iA_j/minA_iA_j的下界

一、平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比maxA_iA_j/minA_iA_j记为λ_n,关于λ_n的下述讨论: 1.λ_n≥2~(1/2)/2[n~(1/2)] [1]中没有注意到函数[x]在x为整数处的不连续性,所以[1]中其实只对n不是完全平方数时证明了结论(见[1]中小文注)。 2.λ_n≥n/3~(1/2) [2]中原题为 maxP_iP_j≤(n/3)~(1/2)minP_iP_j。此不等式显然不成立。如取P_1、P_2,使P_1P_2     

巧用定比分点公式解代数题

我们知道,在直角坐标系中,设点P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2),若点P(x,y)为有向线段P_1P_2的内(外)分点,则点P分P_1P_2所成的比λ为 λ=(P_1P)/(PP_2)=(x-x_1)/(x_2-x)(=(y-y_1)/(y_2-y)>0(<0)。 (*) 特别地,当线段P_1P_2落在x轴上时,纵坐标为0,情形就更加明了(以下讨论仅在x轴上进行,且不妨约定x_10(λ<0),则P为P_1P_2的内(外)分点,亦即P点介于P_1P_2之间(之外),这时有x_1相似文献   

用近代公理化方法浅析初中几何新教材

一、近代公理化方法简介1.公理 在解决几何问题时,我们常使用演绎法,就是如果要证明几何命题P为真命题,通常是寻找命题P_1(已知是真),由P_1通过逻辑演绎推得P为真.由此又出现问题:如何说明P_1为真;所以寻找命题P_2(已知为真),由P_2通过逻辑演绎推得P_1,追溯上去:由P_n推得P_(n-1),再推得P_(n-2),……推得P_2再得P_1,最后推得P.如果P_n是一个不证自明的真命题,则P_n称为公理.因此,新教材中,是这样叙述公理,“有些命题,……它们的正确性是人们在长期的实践中总结出来的图形的基     

可用轴对称解的一类赛题

在初中数学竞赛中,曾出现过以下一类试题,解这类题目,学生比较困难。本文利用轴对称知识,给出这类试题的统一解法。 [试题1] P是等边△ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,则△ABC的边长等于____。(浙江第二届初中数学竞赛决赛试题) 解:分别以△ABC的三边为对称轴作P点的对称点P_1,P_2,P_3,并分别连结各相邻顶点(如图1)于是P_1B=P_2B=PB=5,∠P_1BA=∠PBA,∠P_2BC=∠PBC。又因△ABC为等边三角形,∠ABC=60°,则∠P_1BP_2=120°。连结P_1P_2,在等腰△P_1BP_2中,     

自不相邻排列的计数问题

有一道排列题,其错误解法已出现在多处书刊: 题目 书架上有4本不同的数学书,5本不同的物理书,3本不同的化学书,全都竖起排成一行,如果要求同类书本互不相邻,一共有多少种不同的排法? 误解1 先排3本化学书有P_3~3种排法,再在其间4个空档中各插入一本数学书,有P_4~4种排法,最后在这7本书之间的8个空档处任选5个空档插入物理书,有P_8~5种排法,因此,由乘法原理共有     

点对称三角形的性质及其应用

P为三角形ABC内一点,点P关于△ABC的边AB、BC、CA的对称点分别为P_1、P_2、P_3,我们称△P_1P_2P_3为点对称三角形(如图1).将点对称△P_1P_2P_3与原△ABC结合起来研究,可以得到下面有趣的性质. 性质1 P_1P_2=PB(2(1-cos2B)(1/2)); P_2P_3=PC(2(1-cos2C)(1/2)); P_3P_1=PA(2(1-cos2A)(1/2)). 性质2 ∠P_1P_2P_3=∠BPC-∠A; ∠P_2P_3P_1=∠CPA-∠B; ∠P_3P_1P_2=∠APB-∠C     

一个力学问题的证明

<正>问题:一园台式棒,密度一定,在其重心处垂直轴线将棒截成两部分,哪一头重? 一般的作法是,支住棒的重心O(图1),若O_1、O_2分别为两部分的重心,P_1、P_2分别为它们的重量,则     

与最小复盖圆半径有关的一个常数

1.平面上n个点组成的点集F={p_i}_(i-1)~n,D(F)=Maxp_ip_j表示F的直径,r(F)表示复盖F的最小圆的半径,本文讨论 N_2=inf F D(F)/r(F);(其中下确界对任何有限点集F取) 我们证明N_Z=3~(1/2),并给出一些高维空间的类似推广。 2.N_2=3~(1/2)的证明设复盖F的最小圆为C。 A.若圆C的圆周上只有F中两个点,不妨设为P_1、P_2,我们证明P_1P_2是圆C的直径。若否,不妨设F中其余n-2个点对P_1P_2的张角满足∠P_1P_3P_2≤∠P_1P_4P_2≤…≤∠P_1P_nP_2(不然改变P_i的下标即可)。如果∠P_1P_3P_2>90°,则以P_1P_2为直径的圆C′也复盖F,但比C有更小的半径,与圆C的最小性矛盾。如果∠P_1P_3P_2≤90”,作△P_1P_2P_3的外接圆C′,C′小于C,我们证明C′也同样复盖F。     

比例计算要慎重

贵刊1998年第10期第39页所登崇礼二中王玉喜同志的《比例法解题之妙处》一文中关于“直观判断,省去计算”的说法有不妥之处。 原题:三个电阻阻值之比为R_1:R_2:R_3=1:4:8,若将它们串联接入电路,则每个电阻两端的电压之比为U_1:U_2:U_3=________,消耗的功率之比为P_1:P_2:P_3=________;若把它们并联接入电路,电流之比为I_1:I_2:I_3=________,功率之比为P_1′:P_2′:P_3′________。 在分析判断小,王玉喜同志主观地认为:若电阻串联,……U_1:U_2:U_3=1:4:8,P_1:P_2:P_3=1:4:8;若电阻并联,……I_1:I_2:I_3:=8:4:1,P_1′:P_2′:P_3′=8:4:1。这是缺乏理论根据的。现推理如下:     

λ_6=Max■ P_iP_j/Min■P_iP_j≥2sin72°

第二十五届普特南数学竞赛一道试题: 求证:若P_1、P_2、P_3、P_4、P_5、P_6是平面上任意给定的六个点,则λ_6=(MaxP_iP_j)/(MinP_iP_j)≥3~(1/2).(见〔1〕) 在〔2〕中我们证明了,若P_1、P_2、P_3、P_4、P_5、P_6是凸六边形的顶点,则有λ_6≥     

第八章 气体的性质

一、单项选择题 1.一气缸竖直放置如图1所示,气缸内活塞可无摩擦滑动.活塞质量为M,横截面积为S,大气压强为P_0.当气缸向上匀速运动时,缸内气体压强为:( ) A.P_0. B.Mg/S. C.P_0 (Mg/s). D.P_0-(Mg/s). 2.图2中U形管一端封闭,用水银封入部分空气后竖直向下放置,已知大气压强为P_0,则管内封闭空气的压强是:( ) A.P_0-(h_1-h_2). B.P_0 (h_1-h_2). C.P_0-(h_1 h_2). D.P_0 (h_1 h_2).     

一个二次曲线平行弦中点的轨迹定理及应用

一阶导数与二次曲线弦中点间存在着一种内在联系,这种联系为解决二次曲线中点弦一类问题开辟了一条较为简捷的路径.本文就以定理形式揭示这种联系并列举应用. 定理:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的以斜率为k的一组平行弦中点轨迹方程是x~2/a~2 yy_x~'/b~2=0(※)(|x|≤a,|y|≤b)其中y_x~'就是平行弦的斜率k,它等于直线(※)与椭圆交点处切线的斜率. 证明:设点P(x_0,y_0)是以k为斜率的弦P_1P_2的中点,点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)     

定比关系的对称化及其应用

二次曲线的弦问题中,常涉及到定比关系,如何将这一关系转化为便于应用韦达定理的对称形式,是解决这类问题的关键,本文通过实例谈谈这类问题的几种转化方法.设 P_1P_2为二次曲线的弦,P_1、P_2的坐标分别为(x_1,     

运用解几知识解三角问题

数形结合是中学数学思维的基本形式,解析几何是数形结合的典范,我们结合教学实践,举例说明解几知识在解证三角问题中的应用。一、运用定比分点性质解题在解析几何中,当点P为有向线段P_1P_2的内分点(或外分点)时,点P分P_1P_2所成的比λ=(P_1P)/(PP_2)为正值(或负值),利用定比分点的这个性质可以解某些三角题。     

递推数列a_(n+1)=qa_n+b_1p_1~n十b_2p_2~n+b_3的通项公式

我们考虑这样的数列:已知数列{a_n}的a_1,并且递推公式为a_(n+1)=qa_n+b_1P_1~n+b_2p_2~n+b_3,其中q,P_1,P_2,b_1,b_2,b_3为常数,且q≠0,P_1,P_2≠1,P_1≠P_2,这个数列的通项公式如何求法,我们分以下几种情况来讨论这种问题.一、q≠1的情况(一)当q≠pi(i=1,2)时,设a_n=u_n+a_1p_1~n+a_2p_2~n+a_3,其中a_1、a_2、a_3为待定系数.将此式代入上面的递推公式中,得     

P_1型非协调有限元概率算法

本文用有限元概率算法研究P_1型非协调有限元,应用这种方法可以直接求出有限元解在某个点或少数几个点处的近似值。     

一道猜想的证明

福州二十四中杨学枝同志对《中等数学》1992年第六期来函摘登中,刊有一位高三学生的猜想“已知△P_1P_2P_3及其内一点,直线P_1P,P_2P,P_3P分别交对边于Q_1,Q_2,     

2006年数学联赛加试第1题的极坐标解法

题目以 B_0和 B_1为焦点的椭圆与△AB_0B_1的边 AB_i 交于 C_i(i=0,1),在 AB_0的延长线上任取 P_0,以 B_0为圆心,B_0P_0为半径作圆弧交 C_1B_0的延长线于 Q_0;以 C_1为圆心,C_1Q_0为半径作圆弧交B_1A 的延长线于 P_1;以 B_1为圆心,B_1P_1为半径作圆弧交 B_1C_0的延长线于 Q_1;以 C_0为圆心,C_0Q_1为半径作圆弧交 AB_0的延长线于 P_0′。试证:(1)点 P_0′与点 P_0重合,且圆弧与相