韦达定理逆定理在解竞赛题中的应用

韦达定理及其逆定理是初中数学中充满活力的定理,是竞赛考查的一个重要内容,运用韦达定理逆定理构造一元二次方程在解竞赛题中有广泛的应用.下面举例说明.     

复数在代数与几何中的应用

借助复数这一工具沟通代数，三角与几何，使得某些较难解决的问题顺利地得到解决。     

构造复数解竞赛题

复数的多种表现形式决定了复数应用的广泛性，复数沟通了数学各分支间的纵横联系．特别是复数方法作为一种独特的数学方法，它不但在许多地方得以应用，而且具有简捷、流畅，给人耳目一新的感觉．     

图象相交法在解物理竞赛题中的应用

图象相交法就是利用作图法求出函数图象的交点坐标值,从而近似解答物理问题的方法,是解决物理问题的重要方法之一,具有广泛的应用.纵观近几年的物理竞赛试题,越来越注重这种方法的应用.某些试题不利用图象相交法是难以求解的.因此参赛选手必须掌握这种方法.本文结合实例谈谈这种方法在解物理竞赛试题中的应用,供参考.     

解复数问题的思维策略

高中学习复数是数域完整性的一个要求,对复数的学习要围绕“数系扩充”和基本概念开展．而不是将复数作为一种工具。该部分试题多围绕代数运算及复数的有关概念展开,结合方程、集合等知识,以小题为主,侧重考查基本知识和基本技能。复数集是实数集的扩充。因此,我们不能把实数集上的某些法则和性质照搬到复数集中来。单纯的复数加、减、乘、除理解起来并不是太难．但若涉及复数方程,复数求最值等问题,     

运用图象法 巧解竞赛题

例1 老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1，它行进到离洞穴距离为d2的乙处时速度是多少?从甲处到乙处用去了多少时间?     

复数在三角方面的应用

复数的三角形式沟通了代数与三角间的联系，从而为用三角知识解决代数问题带来了方便，同样某些三角问题若利用复数知识来解，则别有一番风味．下面试举例说明．１　用复数表示三角函数设ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，则有－ｚ＝ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ，　ｚ·－ｚ＝１．于是可得公式Ⅰ　ｃｏｓθ＝ｚ＋－ｚ２＝ｚ２＋１２ｚ，ｓｉｎθ＝ｚ－－ｚ２ｉ＝ｚ２－１２ｉｚ，ｔｇθ＝ｚ２－１ｉ（ｚ２＋１）．又由ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ－ｉｓｉｎｎθ．因此有公式Ⅱ　ｃｏｓｎθ＝ｚｎ＋ｚｎ２＝ｚ２ｎ＋１２ｚｎ，ｓｉ…     

构造向量巧解竞赛题

向量是高中教材的新增内容,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后,给中学数学带来无限生机,大大拓宽了解题的思路与方法.向量中有一个重要不等式(→m)·(→n)≤|(→m)|·|(→n)|,利用这个不等式可以解决一类竞赛题(例如文[1]、[2]、[3]、[4]中所举的各个例子,均可通过构造向量轻松获证),显示了向量在解竞赛题时的威力和独特之处,下面举例说明.     

整体思想在复数中的应用

1整体代入3整体换元 把题目中一些组合式子看作一个整体,并把这个整体直接代人式子,可以简化运算. 例1已知扩一1(z任C且z共1),证明:1 z十扩 尸 矛 护十z6一O 解:设1 z 尸 … 砂~t, 则尸 z 矛 … 砂~t例3数z,(l)z求同时满足下列两个条件的所有复 10_~~.,_10,_十万七K一1又z夭万、饥(2)z的实部和虚部都是整数.z(1 z十尸 … z6)-zt一t,(z一1)t=O因为z并1,所以t一。2整体取模‘ 在解某些复数方程时,可以通过整体取模,化为实数方程求解. 例2已知z任c,解方程1212一3摇~1 31. 分析:按一般思路,设出z~x 少(x,y任R),代人条件,然后再分类讨论,但计算…     

例说构造一元二次方程解竞赛题

一元二次方程是中学数学竞赛的一个重要内容,有些问题通过构造一元二次方程,继而借助我们已熟悉的方程知识及解题技巧,能使问题迅速获解.同时其特有的魅力和功效定会引起学生们的极大的兴趣.本人拟就如何构造一元二次方程解竞赛题,作一些探讨.     

用三角代换解竞赛题

数学竞赛中的某些代数问题用代数方法求解较为复杂，若能根据题目条件与结论的结构及内在特征，恰当地进行三角代换，往往能化繁为简，化难为易．     

运用直觉思维解竞赛题

直觉思维是指不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式，对于有些问题，我们可以根据自己的知识和经验，对其结论产生预见，由此寻求论证的方法。下面，就近两年的全国高中数学联赛题谈谈直觉思维的应用。     

绘制草图法在解竞赛题中的应用

根据试题提供的信息来推断未知物的组成、结构和性质是化学竞赛的一种常见题型,试题提供的新信息和要推断的物质大都是教材中没有学过的。因此,此类题目能够很好地考查参赛选手搜集、提炼以及整合新信息的能力。由于题目提供的信息量大且又较陌生,信息间的联系又较少,故解答这类题目时往往因信息量大而难以把握,又因信息彼此孤立而难以归     

复数在竞赛中的运用

复数是高中代数的重要内容 ,由于它有多种表示方法 (代数法、三角法和指数法等 ) ,能将代数、三角、几何等知识紧密地联系起来 ,因此 ,在数学竞赛中常有有关复数的考题 .另外 ,复数本身也可作为一种方法 ,运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等 .1　求函数最值例 1　若 x,y,z∈ ( 0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z= 1 ,求 u=x2 + y2 + xy + y2 + z2 + yz+x2 + z2 + xz的最小值 .略解　令 z1 =( x+ 12 y) + 32 yi,z2 =( y+ 12 z) + 32 zi,z3=( z+ 12 x) + 32 xi,∴ u=| z1 | + | z2 | + | z3|≥ | z1 + z2 + z3|=3.…     

应用复数解三角问题

复数在初等数学中有广泛的应用,特别在解决三角问题上发挥了它特有的功能,使一个难以入手的问题得到简捷明快的解决,同时使学生真正理解不同学科之间的纵向联系,从中悟出一定构造转化的思想,体会数学的内在和谐的统一美。     

浅谈构造函数解竞赛题

在数学解题活动中，当常规的推理不能奏效时．更多地需要对问题的条件和结论进行观察、广泛联想，创造出沟通已知与未知之间的桥梁．即通过构造一定的数学模型，来打开解题的通道，这种解题方法称为构造法．历史上有许多的数学家曾用构造方法成功地解决过数学上的难题．如欧几里德在《几何原本》中证明“素数的个数是无限的”就是一个典型的范例．     

一道竞赛题的别解

20 0 2年全国高中数学联赛二试第二大题 :实数 a,b,c和正数 λ使得 f( x) =x3+ ax2+ bx+ c有三个实根 x1 ,x2 ,x3,且满足 ( 1 ) x2- x1 =λ;( 2 ) x3>12 ( x1 + x2 ) .求2 a3+ 2 7c- 9abλ3 的最大值 .笔者在全国联赛阅卷过程中发现学生有如下巧解 :由韦达定理　　x1 + x2 + x3=- a,x1 x2 + x2 x3+ x3x1 =b,x1 x2 x3=- c.123由 1、2及 λ>0 ,不妨设 :x1 =m- n,x2 =m+ n,x3=m+ k( m为任意实数 ,n,k为任意正实数 )∴a=- ( 3m+ k) ,b=3m2 - n2 + 2 mk,c=- ( m3+ m2 k- mn2 - n2 k) ,λ=2 n.设 M=2 a3+ 2 7c- 9abλ3 ,则代入整理得M=14 ( - k3n…     

怎样解根式中的竞赛题

二次根式是各种数学竞赛的重点,也是难点.对于二次根式问题,一方面要注意根式成立的条件,另一方面要合理运用计算法则,尽可能减少计算量.现以竞赛题为例,说明根式题的解法.     

用向量解几何竞赛题的方法和技巧

向量集数形于一身，沟通了代数、几何、三角等知识，用它研究问题时可实现形象思维与抽象思维的有机结合，为解几何题提供了一个强有力的工具．本文介绍它在解几何竞赛题中的一些方法和技巧，供参考．