一个代数不等式的推广及逆向

(2) 式中左边不等式得证。下证(2)式中右边不等式根据待证不等式关于x,y的对称性,不妨设0≤y≤x≤a,则a-y≥a-x≥0。     

一类特殊的不等式

代数课本中有这样一个规定:表示不相等关系的式子,叫做不等式.也就是说,用不等号“>”、“<”、“≠”连接两个代数式所成的式子叫做不等式.如3x-5>0,1/2(x+4)<3,x-2≠-7等. 此外,在数学中我们还经常用到“≥”和“≤”两种符号.显然,用“≥”和“≤”连接两个代数式所成的式子,如3x-4≥2x+1,-4x2≤0等并不符合上面的规定,照理说,这类式子不可     

一个不等式的推广

文[1]建立了一个新的代数不等式: 若a,b,c为不大于1的正数,n为正整数,则 1/n√1 a 1/n√1 b 1/n√1 c≤3/n√1 3√abc.     

一个不等式的推广

本文给出一个代数不等式的几种推广，从而获得几个更一般的代数不等式。     

若干不等式的推广

对若干代数或几何不等式进行推广，得出了更具一般性的几个相关结论。     

一类不等式的推广

在文[1]里．作者用构造函数的方法证明了以下一个不等式 命题1 已知a〉0,b〉0,c〉0,求证：     

两个不等式的统一推广

1两个不等式 不等式1"设a＞0,b＞0,a3+b3=2,则a+b≤2"(1986年宿洲市初中数学竞赛题);     

用数学归纳法证明一类不等式的技巧

对于一边是常数的数列不等式 ,在用数学归纳法直接证明时 ,归纳过渡往往有一定的困难 .若能利用不等式的传递性、可加性等性质 ,通过强化命题 ,放缩常数等技巧 ,常可顺利完成归纳过渡 ,下面举例说明 .1　通过分析归纳过渡所需要的条件强化命题由于更强的命题提供更强的归纳假设 ,因而一个更强的命题 ,用数学归纳法反而容易证明 .例 1　 (1997年加拿大奥林匹克试题 )设 0 <ａ1 ,定义ａ1 =1+ａ ,ａｎ+ 1 =1ａｎ+ａ ,求证 :对一切自然数ｎ ,有ａｎ >1.分析　假设ｎ=ｋ时 ,ａｋ +ａ <1+ａ ,则ａｋ+ 1= 1ａｋ+ａ<1+ａ ,推不出ａｋ+ 1 >1.怎么办呢…     

一个不等式的再推广

本刊2002年第10期第13页的例6把不等式若a,b＞0,a+b=1,则(a+1/a)·(b+1/b)≥25/4.     

一个加强无理不等式的推广

笔者在拙文[1]中证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R ,n≥2, 则有∑n 1√(a/b c)n≥n 1/n 1√n(1) 等式成立当且仅当n=2且a=b=c.     

一类不等式证明的变换策略

由分式构成的一类根式或分式不等式,若分式的分母与分子不全是单项式,可施用变换策略,把分母或分子化成单项式,再灵活运用均值不等式,便能得到简明快捷的证明.     

一个不等式结论的再推广

题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284).     

一个不等式的推广与引申

文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba cb ac≥13(a b c)(a1 1b 1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba cb ac≥yx y(a b c)(1a 1b 1c) 3(xx- y2y).(2)证明a2b b2c c2a-(ab2 bc2 ca2)=(b-c)a2 (c2-b2)a (b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b c)a bc]=(b-c)(a-b)(a     

一类不等式的推广及应用

将两个熟知的初等不等式从不同角度推广为更加一般的形式．