调和级数的应用

调和级数是一种应用和理论都重要的发散级数。其表达形式简单,容易认为是收敛的,可是在本质上是发散的。文章研究了调和级数的一个应用,说明了调和级数是发散的。并且给出了一个调和级数在其他学科中的应用。     

调和级数的发散及其应用

级数是表示函数、进行数值计算的一个有力工具。调和级数作为级数的一个基本成员,结构简单。调和级数的发散及其应用给出了调和级数发散性的4种证明;并分别在比较审敛法和极限比较判别法中,举例说明调和级数在判断无穷级数的敛散性时的标尺作用。     

调和级数案例教学

由一个数学问题引出了调和级数,并通过对调和级数的敛散性的研究,讲授了级数收敛的定义,子列收敛定理、正项级数收敛的判断准则、单调有界原理以及欧拉常数等高数知识,最后介绍了如何利用欧拉常数计算一些数列的极限值.     

对调和级数子集收敛性的研究

通过两个命题研究了将调和级法去掉分母含有的某类数字后所得级数的收敛性，并给出其和的误差估计式。     

关于调和级数缺项的可和性

调和级数发散,前n项之和与lnn相当,这是周知的事实,其证明方法甚多,以下给出一个有代表性的证明: 对任意正整数n,总有正整数k,使2~k相似文献   

调和级数发散性的向种证明

调和级数是级数理论中一种比较重要的发散级数,现行<数学分析>教材中,有关它的发散性证明学生在学习中不易掌握.本文从不同的角度介绍几种其他的证明方法,以加深学生对它的理解和认识.     

调和级数发散性的几种证明

调和级数是级数理论中一种比较重要的发散级数,现行《数学分析》教材中,有关它的发散性证明学生在学习中不易掌握,本文从不同的角度介绍几种其他的证明方法,以加深学生对它的理解和认识。     

关于广义调和级数的一个注记

本文给出了广义调和级数敛散性一个新的初等证明方法，还给出了级数收敛和的一个上界2^s-1/(2^s-1-1)；同时利用伯努力数讨论了当s为偶数时该级数的求和方法。     

不完整调和级数的敛散性

运用无穷级数的性质，得出了在调和级数中去掉分母含有某些特定数字的项后，所得级数的收敛性。     

调和级数仍是一个发散级数——与张慧同志商榷

与张慧同志商榷《既发散又收敛的无穷级数》中的两处论证错误,从而说明调和级数仍是一个发散级数。本文的讨论有助于加深对无穷级数有关概念的理解。     

调和级数的几个数论性质

讨论调和级数前n项和的分子Nn的几个有趣的数论性质，并给出几个进一步研究的问题和猜想。     

调和级数的数值分析

从发散的调和级数∑∞ｎ＝１１ｎ分母ｎ中去掉含有０到９的任意ｄ个（１≤ｄ≤９）数字的项后,剩余项组成的新级数收敛．从每个ｄ的众多新级数中求出最大级数,并提出寻找符合条件的自然数ｎ的方法,最后应用计算机计算出其和的上界     

对调和级数发散性的进一步研究

在已知调和级数发散性的基础上,进一步对调和级数进行细分、小化,研究其敛散性,从而更深刻地认识调和级数。     

多重调和级数的几个同余式

通过研究∑l1＋l2＋…＋ln=p σln/l1…ln-1lkn,σ∈{-1,1}的同余式,当k=2,3时,对任意的正整数n和素数p〉n＋k-1,得到了∑l1＋l2＋…＋ln=p 1/l1l2…lkn关于模p的同余式.对任意的素数p≥7,证明了∑l1＋l2＋l3＋l4=p （-1）l1/l1l2l3l4关于模的同余式.     

一个含有组合数与调和级数部分和的恒等式之证明

利用数学归纳法证明了一个含有组合数地和级数部分和的恒等式。     

调和级数敛散性的判别

对于调和级数敛散性的判别,教材上采用的或者是定义法或者是反证法,这里利用比较审敛法来判别.     

关于调和级数发散性的几种证明方法

调和级数是一个具体的、重要的数项级数,在级数理论中具有重要的地位.本文给出几种证明其发散性的不同方法,这对于熟悉调和级数,理解级数敛散性,掌握级数敛散性判定定理具有重要意义.     

调和级数发散性的证明方法

归纳了调和级数发散性的12种证明方法。其中7种散见于各种资料,作者进行了整理,有的采用了与原证不同的叙述,比原证更具体明了;另5种是笔者用有关定理或方法导出的。     

竞赛中与调和级数有关的不等式问题透析

一般地,称级数1 1/2 1/3 … 1/n 为调和级数,或者一般地,称级数1/m 1/(m 1) … 1/n 为调和级数.Oresme 早在1360年就证明了1 1/2 1/3 … 1/n 是发散级数。事实上,将1 1/2 1/3 1/4 1/5 …代之以每一项都较小的级数:1/2 1/2 (1/4 1/4) (1/8 1/8 1/8 1/8) …,而后者是发散的。近年来,关于调和级数的高考题与竞赛题屡见不鲜,尤其是不等式问题中有许多是与调和级数有关的。笔者就此类问题的解法做一些探讨,旨在抛砖引玉。