用一类换元法证明三角形不等式

对边长分别为a、b、c的△ABC来说,必然存在一个内切圆O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F．     

数学奥林匹克问题

本期问题 高387 如图1,已知△ABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F,AD与朋交于点G．证明：EB平分∠CEF的充分必要条件是FG=4GE．     

数学奥林匹克问题

本期问题高351如图1,不等边△ABC的内切圆分别与三边BC、CA、AB切于点D、E、F,A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB的中点,D′、E′、F′分别为点D、E、F在△DEF的边EF、FD、DE上的射影.证明:A′D′、B′E′、C′F′三线共点.     

数学奥林匹克问题

本期问题 　　初185 ⊙O是△ABC的外接圆,⊙O1与⊙O内切且与AB、AC切于点E1、F1;⊙O2与⊙O内切且与AC、BC切于点E2、F2;⊙O3与⊙O内切且与BC、AB切于点E3、F3.求证:E1F1、E2F2、E3F3三线共点.……     

对一道IMO试题的探讨

命题 1　设 I是△ ABC的内心 ,并设△ ABC的内切圆与三边 BC,CA,AB分别相切于点K,L,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M及 L K于点 R和 S.证明 :∠ RIS是锐角 .(图 1)这是第 39届IMO试题的第 5题 [1 ] .事实上 ,该命题若将“内切圆”改为“旁切圆”,结论仍然成立 .命题 2　设 I是△ABC的旁心 ,旁切圆与直线 BC,CA,AB分别相切于点K,L ,M.过点 B平行于 MK的直线分别交直线 L M,L K于点 R,S.则∠RIS是锐角 .证明　如图2 ,连结 BI,MI.∵SR∥MK,∴∠BSK =∠ MKL .∵ BM切⊙I于 M.∴∠ RMB =∠MKL.从而知∠B…     

一道美国数学奥林匹克试题的注记

题目 设锐角△ABC的内切圆、外接圆分别为ω、Ω,外接圆半径为R．圆ωA与Ω内切于点A且与圆ω外切;圆ΩA与Ω内切于点A且与圆ω内切．设PA、QA分别是圆ωA、ΩA圆心．同理,定义点PB、QB、PC、QC．证明：8PAQA·PBQB·PCQC≤R^3,①当且仅当△ABC是正三角形时,上式等号成立．     

数学奥林匹克问题

本期问题初177在以AB为直径的半圆⊙O上取一点C,过C引CD⊥AB于D,CD将半圆⊙O分为两个图形,这两个图形的内切圆分别切AB于E、F.求证:AAFE··FEBB=DDFE.初178如图1,⊙O1与⊙O2外切于D,等腰Rt△ACB内接于⊙O1,切点D在半图1圆AB上.过点A、B、C分别作⊙O2的切线AM、BN、CP,M、N、P分别为切点.求证:AM+BN=2CP.高177如图2,半圆⊙O1的直径为图2AB,D为O1B上一点,且不与O1、B重合,过点D且垂直于AB的直线交半圆⊙O1于点C,⊙O2与半圆⊙O1内切于F,与CD切于点N,与BD切于点M.联结CM、AC、CB,过A作∠BAE=∠ACM,边AE…     

第53届IMO试题解答

1．设J为△ABC顶点A所对旁切圆的圆心．该旁切圆与边BC切于点M,与直线AB、AC分别切于点K、L,直线删与甜交于点F,直线KM与甜交于点G．设5是直线AF与BC的交点,     

用一类换元法证明三角形不等式

<正>对边长分别为a、b、c的△ABC来说,必然存在一个内切圆O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.记BD=BF=x,CD=CE=y,AE=AF=z,则有a=x+y,b=y+z,c=z+x.①由①,并结合三角形半周长和面积公式不难得到     

第50届IMO预选题(三)

几何部分 1.本届IMO第4题. 2.本届IMO第2题. 3.已知ABC的内切圆分别与边AB、AC切于点Z、Y,BY与CZ交于点G,点R、S满足四边形BCYR和四边形BCSZ是平行四边形.证明:GR=GS.