解决数列问题应重视的几种思想与方法

一、函数与方程的思想例1　已知函数ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,数列{ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ.(1)求数列{ａｎ}的通项公式;(2)求证数列{ａｎ}是递减数列.解:(1)∵　ｆ(ｘ)=2ｘ-2-ｘ,ｆ(ｌｏｇ2ａｎ)=-2ｎ,∴　2ｌｏｇ2ａｎ-2-ｌｏｇ2ａｎ=-2ｎ,即ａｎ-1ａｎ=-2ｎ.∴　ａ2ｎ+2ｎａｎ-1=0.解得ａｎ=-ｎ±ｎ2+1.因ａｎ>0,故ａｎ=ｎ2+1-ｎ.(2)∵　ａｎ+1ａｎ=(ｎ+1)2+1-(ｎ+1)ｎ2+1-ｎ=ｎ2+1+ｎ(ｎ+1)2+1+(ｎ+1)<1,ａｎ>0,∴　ａｎ+1<ａｎ.∴　数列{ａｎ}是递减数列.二、分类讨论的思想例2　设{ａｎ}是由正数组成的一个等比数列,Ｓｎ是其前ｎ项和,…     

对一个问题的研究

问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2…     

1999年上半年全国高等教育自学考试高等数学（一）试题

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中 ,选出一个正确的 ,将正确答案的号码填在题干后的括号内 ,每小题 1分 ,共 40分 )1、下列集合中为空集的是 (　 )……………………Ａ {ｘ|ｘ <1且ｘ≥ 0 }Ｂ {ｘ|ｘ 1 =0 }Ｃ {ｘ|ｘ2 1 =0 ,ｘ为实数 }Ｄ {ｘ|ｘ >0且ｘ<1 }2、若ｆ(ｘ 3) =ｘ(ｘ 3) ,则ｆ(ｘ) =(　 )……Ａ ｘ(ｘ 3)　Ｂ (ｘ - 3) (ｘ 3)Ｃ ｘ(ｘ- 3)　Ｄ (ｘ - 3) 23、设 ｆ(ｘ)的定义域是[0 ,1 ] ,则 ｆ(ｘ 1 )的定义域是 (　 )………………………………………………Ａ [0 ,1 ]　Ｂ [- 1 ,0 ]　Ｃ [1 ,2 ]　Ｄ [0 ,2 ]4、设ｆ…     

函数列非一致收敛的判别法

函数列非一致收敛的判别法任建娅函数列非一致收敛的判定方法，除了用定义外，还有一些其它有效的方法。本文将对这些方法进行总结论述。定理１函数列｛ｆｎ（Ｘ））在区间Ｉ一致收敛于极限函数证明必要性（）已知函数列《ｂ（Ｘ）Ｉ在区间１一致收敛于极限函数ｆ（Ｘ），...     

2001年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试题(理)

一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ ,　 ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为　　　　 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| =　　　　 .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是　　　 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为　　　　个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为　　　 .6 设数列 {ａｎ}是公比…     

有奖解题擂台(59)

1　求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。　 (不要使用计算器等工具。)2　试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。　(不要使用一元四次方程求根公式。)3　试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有　　ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5　试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈…     

高中数学总复习测试题

选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 (　　 )Ａ 1　　Ｂ 2　　Ｃ 3　　Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 (　　 )Ａ ｓｉｎｘ　Ｂ ｓｉｎ ｘ2 　Ｃ ｃｏｓ2ｘ　Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 (　　 )Ａ　　　　　　　ＢＣ　　　　　　　Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 (　　 )Ａ ｂ =…     

《数学分析》课程中函数研究方法探究

数学分析研究的对象是函数 ,在中学研究函数用的是代数方法 ,而在数学分析中 ,研究函数的方法是极限。从方法论来说 ,用极限研究函数是数学分析的一个显著特征。因此 ,极限在数学分析这门课程中起着重要作用。数学分析课程中是怎样体现这种方法的重要性呢 ?请看以下表格 :表一重要概念关键字极　限　式结论数列极限 {ａｎ} ｌｉｍｎ→∞ａｎ=ｂ函数极限ｆ(ｘ)定义在 (ａ,+∞ ) ｌｉｍｘ→ +∞ｆ(ｘ) =ｂｆ(ｘ)定义在ａ的去心邻域 ｌｉｍｘ→ａｆ(ｘ) =ｃ ｌｉｍｘ→ａ+ｆ(ｘ) =ｌｉｍｘ→ａ+ｆ(ｘ) =ｃ函数连续ｆ(ｘ)定义在ａ的邻域 ｌｉｍ…     

高考复习《极限、数学归纳法、导数》专题系列讲座(二)

9．考查导数的运算和性质、与三角函数、数列、极限交汇 [例6] 已知函数f(x)=e-x(cosx sinx),将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}． (Ⅰ)证明数列{f{xn}}为等比数列; (Ⅱ)记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和,     

’94高考数学理科(25)题引伸与简解

题目;已知数列{a_n}是正项数列。其前n项和为S_n,并且对于所有的自然数n,a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.(Ⅰ)写出数列{a_n}的前三项;(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式;(Ⅲ)令b_n=1/2(a_n 1/a_n a_n/a_n 1)(n∈N),求lim(b_1 b_2 … b_n-n)。     

函数的定义域不可忽视

在解有关函数的问题时 ,学生往往容易忽视其定义域从而导致错误 ,令人惋惜 .笔者现举几例 ,以引起大家足够重视 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ2 - 3) =ｌｇ ｘ2ｘ2 - 4 ,求 ｆ(ｘ)的定义域 .错解　令ｘ2 - 3 =ｔ ,则 ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ - 1>0 ,得ｔ<- 3或ｔ >1.故函数 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ<- 3或ｘ>1} .评析　错解忽视了ｔ受ｘ2 - 3的约束 ,从而扩大了定义域的范围 .事实上 ,令ｘ2 - 3=ｔ,则ｔ≥ - 3,ｆ(ｔ) =ｌｇｔ 3ｔ- 1.由ｔ 3ｔ- 1>0 ,ｔ≥- 3,得ｔ >1.故 ｆ(ｘ)定义域为 {ｘ｜ｘ >1} .例 2　判断函数 ｆ(ｘ) =ｌｇ( 1-ｘ2 )…     

函数f_n(x)=x~n … 1在(-∞, ∞)上的最小值估计

文 [1 ]已得到ｍｉｎｆ4 (ｘ) =0 673 5 5 3… 本文得到定理 1　ｎ为奇数时 ,ｆｎ(ｘ)在 (-∞ ∞ )上无界 .证明　 ｆ2ｋ - 1(ｘ) =(ｘ 1 ) (ｘ2ｋ- 2 ｘ2ｋ- 4 … ｘ2 1 ) =(ｘ 1 )Ｍ (ｘ) ,由于ｘ→±∞时 ,Ｍ(推论 1　 ｆ2ｋ - 1(ｘ)为增函数 .推论 2　 ｆ′2ｋ - 1(ｘ) >0 .定理 2　ｎ为偶数时 ,ｆｎ(ｘ)在 (-∞ ∞ )上有下界 ,无上界 .证明　 ｆ2ｋ(ｘ) =ｘ(ｘ 1 ) (ｘ2ｋ- 2 ｘ2ｋ - 4 … ｘ2 1 ) 1 ,故当 |ｘ|→∞时 ,ｆ2ｋ(ｘ)→ ∞ ,但 ｆ(0 ) =ｆ(-1 ) =1 ,由罗尔定理知存在ｘ0 ∈ (-1 ,0 ) ,使 ｆ′(ｘ)<0 ,结合…     

高一数学(上)期末测试

一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 3分 ,满分 3 0分 )1 .已知全集Ｕ ={ａ ,ｂ,ｃ,ｄ ,ｅ} ,集合Ａ ={ｂ ,ｃ,ｅ}则 ＣＵＡ =(　　 )　　 (Ａ) {ａ ,ｂ}　　 (Ｂ) {ａ ,ｃ}　　 (Ｃ) {ａ,ｄ} (Ｄ) {ａ,ｅ}2 .已知函数 ｆ(ｘ) =ａｘ4-ｂｘ2 ,且 ｆ( -1 ) =1 ,则 ｆ( 1 ) =(　　 )　　 (Ａ) 1　　 (Ｂ) -1　　 (Ｃ) 2　　 (Ｄ) -23 .若命题“┒ｐ”是真命题 ,命题“ｐ或 ｑ”是假命题 ,那么 (　　 )　　 (Ａ)命题 ｐ和命题 ｑ都是真命题　　 (Ｂ)命题 ｐ是真命题而命题 ｑ是假命题　　 (Ｃ)命题 ｐ是假命题而命题 ｑ是真命题　　 (Ｄ)命题…     

函数列上、下极限的初等性质

首先介绍数列上、下极限的初等性质,再考虑函数列上,下极限的初等性质,一、数列上、下极限的一些性质设{Xn}和{yn}为数项列,性质1：若数列{yn}的极限存在,则有性质2：设对任意自然数n都有xn≥0yn≥0,若数列{yn}极限存在,则有性质3：设对任意自然数n,都有xn≥0,yn＞0,若数列{yn}极限存在,并且则有性质4：对任何数列{an}有二、函数列上、下极限的一些性质设1人（X川和1＊。（X川分别定义在点集E上的实函数列。性质1：若实函数列Ig。（x川在E上几乎处处收敛,即timg。（x）＝g（x）,a·e·E．则有证：设E。＝E（g。千＊g）是零…     

二阶线性循环数列的几个结论

给出并证明了二阶线性循环数列收敛的充要条件及新数列{an/an-1}收敛的必要条件,得出了两个相关推论,为二阶线性循环数数列的实际应用提供了理论依据与方法。     

浅谈用“方程法”求函数的值域

求函数值域是中学数学中一个重要的问题 ,解决这个问题的方法较多 ,“方程法”就是其中的一种。　　一、用“方程法”求函数值域的解法原理　　所谓“方程法” ,就是运用方程思想 ,将函数 ｙ =ｆ(ｘ)的解析式视为关于ｘ的方程 (ｙ为参数 ) ,根据方程有实数解的条件 ,求出使该方程在函数定义域内有解的所有ｙ值的集合 ,则此集合即为函数 ｙ =ｆ(ｘ)的值域。　　下面证明用“方程法”求函数值域的正确性。　　设集合Ａ为函数ｙ =ｆ(ｘ)的定义域 ,Ｂ为它的值域 ,即Ｂ ={ ｙ|ｙ =ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ａ} ;又设Ｂ1 { ｙ|使“关于ｘ的方程”ｙ =ｆ(ｘ)在…     

2003年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)(北京卷)

一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 .若集合Ｍ ={ ｙ｜ｙ=2 -ｘ} ,Ｐ ={ ｙ｜ｙ=ｘ-1 } ,则Ｍ ∩Ｐ =(　　 )　 (Ａ) { ｙ｜ｙ>1 }　 (Ｂ) { ｙ｜ｙ≥ 1 }　 (Ｃ) { ｙ｜ｙ>0 }　 (Ｄ) { ｙ｜ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ-1ｘ ,则方程 ｆ(4ｘ) =ｘ的根是 (　　 )　 (Ａ) 12 　 (Ｂ) -12 　 (Ｃ) 2　 (Ｄ) -23 .设复数ｚ1 =-1 +ｉ,ｚ2 =12 + 32 ｉ,则ａｒｇｚ1 ｚ2 =(　　 )　 (Ａ) 1 31 2 π　 (Ｂ) 71 2 π　 (Ｃ) 51 2 π　 (Ｄ) -51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ(1 -…     

数列的单调性

<正>数列的单调性通常是由比较数列{a_n}中任意相邻两项a_n和a_(n+1)(n∈N_+)的大小来判断的,常用的方法有:(1)定义法:若a_(n+1)>a_n,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)0,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)-a_n<0,则{a_n}是递减数列。     

lim n→∞(r√a1+r√a2+…+r√an)的敛散性的讨论

从数列{√2＋√2＋…＋√2}到一般形式的数列{√a1＋√a2＋…＋√an}，再到更一般形式的数列{r√a1＋r√a2＋…＋r√an}，并对其敛散性作出讨论。     

两类非线性递归数列的通项及其应用

定义:若数列{a_n}用递推公式给出:a_1=a,a_(n 1)=f(a_n)(n=1,2,…)则称{a_n}为递归数列,f为定义函数。当f为非线性函数时,称{a_n}为非线性递归数列。本文给出两类非线性递归数列通项公式的求法。一、递推公式为一次有理式的情形