系列讲座之十三——圆锥曲线(3)

本讲主要涉及向量与圆锥曲线之间的关系的一类竞赛问题. 例1 已知椭圆T:(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)和双曲线S:(x2)/(m2)+(y2)/(n2)＝1(m＞0, n＞0)具有相同的焦点F(2,0).设双曲线S经过第一象限的渐近线为l.若焦点F和椭圆T上方的顶点B关于l的对称点都在双曲线S上,求椭圆T和双曲线S的方程.     

圆锥曲线几个有趣性质再探

文[1]中给出如下两个结论: 定理1 设直线l经过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的焦点F,直线l交双曲线的两条准线于A、B,点O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈(0,π)),则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1/e2.     

双曲线渐近三角形四心轨迹及其方程

已知直线l是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)上的点P(x0,y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形.本刊2009年第一期邹生书老师给出了它的一组有趣性质,笔者经过探究发现还有如下性质:     

圆锥曲线的一个统一性质

笔者在利用“几何画板”数学软件探讨圆锥曲线切线性质时,发现如下结论：已知过点E(m,0)的直线交抛物线y~2=2px (p＞0)(或椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a＞b＞0,m≠0)或双曲线(x~2)-(y~2)/(b~2)=1(a＞0,b＞O,m≠0))于A、B两点,过点A、B且与抛物线(或椭圆或双曲线)相切的两直线为l_1、l_2,l_1与l_2的交点轨迹记为C,在C上任取一点M,则AM、EM、BM的斜率成等差数列．     

圆锥曲线“垂轴线”的一个性质与两组“姊妹”结论

受文献[1]的启发,本文给出圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)垂直于焦点所在对称轴的直线(简称“垂轴线”)的一个性质,并应用性质证明两组“姊妹”结论. 1 一组性质 性质1 已知椭圆Γ:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)与x轴交于A、B两点,直线l:x=m(| m |≠a)是垂直于x轴的一条定直线,P是椭圆Γ上异于A、B的任意一点,若直线PA交直线l于点M(m,y1),直线PB交直线l于点N(m,y2),则y1y2为定值b2/a2(a2-m2).     

2005年湖南卷理科19题（Ⅰ）的简证

题目已知椭圆C:(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设(→AM)=λ(→AB).     

2004年全国新课程卷理科21题别解

题目 设双曲线C:(x2)/(a2)-y2=1(a>0)与直线l:x y=1相交于两个不同的点A、B. (Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围; (Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且PA=(5)/(12)PB,求a的值.     

椭圆中几个新发现的性质

性质1 已知椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞0,b＞0)(包括圆在内)上有一点P,过P分别引直线y=(b)/(a)x及y=-(b)/(a)x的平行线,分别交x轴于M,N,交y轴于R,Q,O为原点,则:     

一道解析几何习题的引申

【题】 :过双曲线x2 - y22 =1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点 ,若|AB|=4 ,则这样的直线共有 (　　 ) .A .1条　　　　B .2条C .3条　　D .4条正确答案是C .对该题进一步的探讨分析发现 ,此双曲线的实半轴a =1,虚半轴b =2 ,过焦点与x轴垂直的弦长为2b2a =4 ,|AB|=2b2a =4 >2a =2 .试问 :|AB|无论多长答案是否都是C呢 ?请看 :设双曲线 x2a2 - y2b2 =1(c =a2 b2 )的右焦点为F ,过F作直线l交双曲线于A、B两点 ,|AB|=d ,试根据d的不同取值讨论l的存在性 .预备知识 :(1)两顶点间的距离是双曲线两支上的两点间距离的最小值 ;(2 )过双…     

圆锥曲线“中点弦”的斜率公式

设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆锥曲线上不同的两点,G(xA,yB)是线段AB的中点,kAB是AB弦所在直线的斜率.则有:(1)椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB)(2)双曲线三(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB);(3)抛物线y2=2px(p>0),kAB=P/(yA).证明:(1)因A、B两点在椭圆(x2)/(a2)+(y2/b2)=1上,所以有     

双曲线渐近三角形性质再探

定理1 已知直线l是过双曲线X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的点P(x0,Y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形,渐近三角形有如下性质……     

直线方程(x0x)/(a2)-(y0y)/(b2)〗=1几何意义

文[1][2]研究了当点P(x0,y0)分别在圆和椭园上及其内部、外部时,直线方程(x0x)/(a2)+(y0y)/(b2)=1的几何意义.本文将探讨点P(x0,y0)分别在双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1上及其内部,外部时,直线方程(x0x)/(a2)-(y0y)/(b2)=1的几何意义,并给出了它的一些实际应用.     

过双曲线焦点的定长弦条数的判定

题目过双曲线2x2-y2-2=0的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点。若|AB|=4,则这样的直线有几条? 分析:把双曲线化为标准方程x2-y2/2=1,这里a2=1,b2=2,点F(3~(1/2),0)。若l⊥x轴,|AB|=2b2/a=4.     

不忘初心任性算到底——2015年四川高考数学第20题

1 试题再现 如图1,椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率是√2/2,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2√2. (Ⅰ)求椭圆E的方程;     

一个结论的推广(高二)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).     

圆锥曲线离心率取值范围求法大放送

如何求解离心率的取值范围是很多学生较难掌握的内容.笔者通过多年的教学经验认为,要解决此类问题,最重要的便是充分挖掘题中所隐含的条件,构造出解决此类问题的不等式. 一、利用直线与双曲线的位置关系 [例1]给出条件:已知双曲线x2/a-y2=1(a＞0)与直线l:x+y=1相交于两个点P和Q,要求解出双曲线离心率的取值范围. 解析:把双曲线方程和直线方程联立消去z,得(1-a2)y2-2y++1-a2 =0,1-a2≠0时,直线与双曲线有两个不同的交点,则△＞0,△=4-4(1-a2)2=4a2(2-a2)＞0,即a2＜2且a≠1,所以e2=c2/a2=1+1/a2＞3/2,即e＞√6/2且e≠√2.     

圆锥曲线切线的尺规作图

已知Q(x0,y0)是椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)上一点,求作过Q点的切线,文[1]给出了一种尺规作法,若Q在非顶点处,文[1]作法的实质是:取点P(x0,(ay0)/(b)),作PN⊥OP(O为坐标系原点),交x轴于N,则直线NQ为所求的切线.     

运用类焦点和类准线概念探究圆锥曲线两个统一性质

我们将点F(t,0)、直线l:x=(a~2)/t称为椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a>0,b>0)的类焦点、类准线(椭圆中0<|t|a),相应的点G((a~2)/t,0)称为类准点;将点F(t,0)、直线l:x=-t(t>0)称为抛物线y~2=     

双曲线焦半径公式的最新应用

设双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F_1,F_2,离心率为e,P为双曲线上一点,其横坐标为x_P,则当xp≥a时,|PF_1|=a xpe①,|PF_2|=-a xpe②;当xP≤-a时,|PF_1|=-a-xpe③,|PF2|=a-xpe④．     

一类抛物线问题的几个结论

文[1]给出了与椭圆、双曲线有关的常考题目的二个实用结论及其证明:结论1设椭圆(双曲线)C的焦点在x轴上,直线l是过焦点的一条直线,A、B是直线l与椭圆(双曲线)C的两个交点,且满足AF=λFB,那么直线l的斜率的平方为k_l~2=((λ+1)/(λ-1))~2e~2-1.