利用线段的垂直平分线解题

我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线…     

作辅助线的几种常用方法

一、延长根据已知条件 ,延长一条或几条线段 ,构成所需图形。例 1.已知 :四边形 ABCD中 ,∠ BAD=60°,∠ B=∠ D=90°,BC=11,CD=2。求 :对角线 AC的长。分析 :在 Rt△ ABC中 ,BC是已知的 ,若求出 AB的值 ,问题即可解决。设法把 AB放到另一个直角三角形中 ,延长 AD交 BC的延长线于点 E。这样 ,在 Rt△ CDE中 ,求出 CE值 ,然后得出BE值 ;在 Rt△ ABE中 ,得出 AB值 ;最后 ,在 Rt△ ABC中 ,求出AC的值。二、连结如连结多边形的对角线、三角形的中位线和梯形的中位线 ,从而可以利用它们的定理来解决问题。例 2 .在△ ABC中…     

有关三角形、梯形中位线辅助线应用技巧

三角形,梯形中位线是我们在计算、证明中经常用到的两条重要的线段,如果能把三角形、梯形中位线辅助线寻找出来,问题就会迎刃而解·所以就三角形、梯形中位线辅助线在证明中应用谈一下技巧·一、有一边中点时,常构造中位线例1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=90°,E为CD的中点,连结AE、BE·求证:AE=BE·证明:取AB中点F,连结EF·因为EF是中位线,所以EF∥AD∥BC·因为∠DAB=90°,所以∠AFE=∠BFE=90°,所以△AEF≌△BEF,所以AE=BE·例2如图2,E、F分别为四边形ABCD两对角线AC、BD之中点·求证:EF>21|AB-CD|·证明…     

利用解三角形求线段长度

<正>解三角形,就是利用三角形的几个元素(三个角和三条边都是三角形的元素)求其他几个元素的过程,在解三角形时经常使用勾股定理、锐角三角函数、面积公式等定理与公式．下面分析几道解三角形求线段长度的例题,供同学们探究．例1如图1,在△ABC中,AB=AC=5,点D,E分别是线段BC,AC的中点,连接AD,点F在BC上,且BF=3,连接EF,如果AD=3,求EF的长．解析:为什么作:点E是AC的中点,D是BC的中点,AD=3?作法:作辅助线,如图1,过点E作EG⊥BC于点G,以此构建三角形中位线,然后解答．     

立体几何解题中的平行移动问题

立体几何中许多问题涉及到作已知直线(线段)的平行线.对此,学生感到困难的是不知如何作平行线实现问题的转化,也有的学生随意作平行线以致无法计算.本文通过例题介绍两种作平行线段的常用方法。 1 利用三角形中位线定理进行平移 例1 (如图1所示)空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点.求证;MN和AD所成的角等于MN和BC所成的角。 分析:按异面直线所成角的定义,需平行移动线段AD使之与MN相交。由于M是AB中点,自然会想到用构造三角形连结中位线的方法。 证明:设BD中点为E,连结ME,由三角形中位线定理得;ME≤1/2AD 于是∠EMN就是MN与AD所成的角。 同理,连结NE易得∠ENM是MN与BC所成角.∵AD=BC ∴ME=EN 从而∠ENM=∠EMN 命题得证。 例2 (88年上海高考题)如图2所示,在棱长都相等的四面体A—BCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,连AF,CE,求异面直线AF、CE所成角的大小。 解:连结DF,取DF中点O,连EO,则EO=1/2AF。     

从一道习题想开去

在几何复习课中,若从一道典型的题目变化或引伸出去,便能收到举一反三与温故知新的功效。下面就第二册课本P.155第6题展开讨论。题目如下: 已知:如图1,MN是⊙O的切线,C为切点,AB是⊙O的直径,AM⊥MN,BN⊥MN。求证:AM BN=AB。分析:本题的证明多为连结OC,利用梯形中位线定理证之,但如果注意到所证结论为线段的和形式,也会想到利用“截长法”,在AB上截取AD=AM,并连结AC、BC,如图1,通过△AMC≌△ADC和△BNC≌△BDC证出。     

运用平面向量解题举隅

由于平面向量有关概念的抽象性 ,仅对平面向量的概念、公式孤立地介绍举例 ,对学生学习向量而言是不够的 ,必须要将向量与学生所学过的知识 ,如三角、几何等内容联系起来 ,注意数形结合、形象思维与逻辑思维结合 ,学生才会建构出自己的向量知识 .【例 1】　证明三角形中位线定理 .已知 :在△ABC中 ,点M、N分别是AB、AC的中点 ,求证 :MN ∥=12 BC证明 :如图 1 ,∵MN→ =AN→ -AM→=12 AC→ -12 AB→=12 (AC→ -AB→) =12 BC→∴MN→ 与BC→ 共线且MN→ =12 BC→即MN ∥=12 BC .利用向量共线 ,是证明几何中平行问题的基本方…     

构造三角形中位线解题例举

例1已知:四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN交BD、AC分别于点E、F求证:OE=OF.分析:如图1,要证OE=OF,只要证∠OEF=∠OFE,即可.取AD中点G,连接MG、NG,则有MG∥BD,NG∥AC,从而有∠OEF=∠GMN,∠OFE=∠GNM,又MG=12BD,NG=21AC,而AC=BD,故有MG=NG,从而有∠GMN=∠GNM,故可得∠OEF=∠OFE.例2如图2,△ABC中,∠ACB=2∠B,AD⊥BC于点D,M是BC的中点,求证:MD=21AC.分析:取AB中点N,连出△ABC的中位线MN,则有MN=21AC,所以只要证MD=MN即可,连接ND,则ND=21AB=BN,从而…     

圆中证明线段垂直的四种方法

<正>证明切线的方法离不开证明线段垂直,对此学生普遍感觉有难度.本文通过实例,说明如何利用角平分线、平行线、中位线、全等三角形等来证明线段垂直.一、利用角平分线性质定理例1(贵州省中考题)如图1,△ABC为等腰三角形,AB=AC,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB相切于点D,求证:AC与⊙O相切.     

联想与类比

<正>在一节复习课上,老师出了一道思考题:题1如图1,点C在线段MN上,线段AB=10,M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的长.本题解答不难:∵点M是AC的中点,∴MC=1/2AC.同理,NC=1/2BC,∴MC+NC=1/2AC+1/2BC,即MN=1/2AB=5.解题完成后,老师继续给出一个问题:题2如何改变题1中点C的位置,使上述结论不变?     

三角形中位线定理在证题中的应用

三角形中位线定理是一个重要定理.其应用极为广泛.本文结合实例介绍其应用. 例1 如图1,D是△ABC的边BC的中点,E、F是AC边上的两点,且AB=CE,AF=EF,DF的延长线交BA的延长线于G.求证:AF=AG. 分析由D、F分别是BC、AE的中点联想到三角形的中位线定理,为此可连结     

IMO_(45-1)的三种证法

第 45届国际奥林匹克数学竞赛 (IMO)于 2 0 0 4年 7月 14— 18日在希腊首都雅典举行 ,我国选手取得了举世瞩目的好成绩 ,一共6名选手全部夺得金牌 .试题第一题是 :已知在锐角三角形ABC中 ,AB ≠AC ,以BC为直径的圆分别交AB、AC于M、N点 ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交点R ,求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .本文给出该题的三种证法如下 :图 1证法 1　如图 1,连结RM ,RN ,MN ,BR ,CR .因为OM=ON ,OR平分∠MON ,所以△OMR≌△ONR ,所以RM =RN ,因为AR平分∠BAC ,所以线段…     

探索等积分割开拓创新意识

依据 :如图 2～图 4 ,等底同高或同底等高或等底等高的三角形面积相等 .中线把三角形面积等分 .④如图 5,取AB、AC、BC的中点F、E、D ,连结DE、EF、DF .图 5图 6⑤如图 6 ,作中位线DE ,再分别把DE、BC三等分 ,连结三等分点MP、NQ .依据 :如图 5、图 6 ,中位线平行且等于底边的一半 ,平行线间的距离处处相等 ,全等三角形面积相等 ,相似三角形面积比等于相似比的平方 ,梯形的面积等于上底加下底之和乘高的一半 .图 7图 8图 9依据 :如图 7～图 9,综合运用平行线分线段成比例定理、相似三角形面积比等于相似比的平方、比例的基本性质…     

与中点有关的辅助线

在几何问题中,中点问题是一类常见的问题.与中点有关的辅助线有以下几种.一、已知三角形两边中点,连结两个中点构造三角形的中位线例1 如图1,□ABCD的对角线BD、AC相交于点O,DB=AB,E是AB的中点,DE交AC于点F.求证:(1)∠BDE=∠DCA;(2)FD=FA.(温州97年中考题)分析 因为ABCD平行四边形,故O是BD中点,又E是AB的中点,连结OE,则OE是△ABD的中位线,可证ADOE是等腰梯形.证明 连结OE.     

一个有趣的规律及其应用

求线段的条数(1)如图l，数一数有几条线段? L__1___l月BC图1简析:图中有线段AB、ACBC，共3条. (2)如图2，数一数有几条线段? L—_1 Ll AB〔D图2简析:图中有线段AB、AC、AD、BC刀。、C刀，共6条. (3)如图3，线段A!A。上有n个点(包括点A:、A。，且n〕2)，图中应有多少条线段? L一     

一道IMO平面几何题溯源

正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过     

从梯形中位线定理的证明中学习证题方法

证明梯形中位线定理的关键是添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形中位线．如图1，课本中给出的转化方法是。连结AN并延长交BC的延长线于点E．同学们知道，这样可以得到△ADN≌△ECN．由此可以看出这样添加辅助线的作用是把△ADN绕着点N旋转180°，将其大小不变地转移到△ECN的位置，把AD与BC拼合在一起，使MN成为△ABE的中位线．我们知道，线段的两个端点是以它的中点为对称中心的中心对称点，题设条件中的N为CH的中点，添加辅助线后，就构造出以点N为中心的两个中心对称三角形，促使了问题的转化．对称法是一种重要的数学方…     

一道常见题的变式

在中学数学学习过程中 ,将一些题目进行变式练习 ,有利于开阔同学们的思路 ,培养创造性思维能力 ,提高归纳、总结、发现规律的能力。图 1问题 :如图 1 ,C是线段AB上的一点 ,分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE ,边接AE、BD 求证 :AE =BD 证明 :△ACD和△BCE是等边三角形 ∠ 1 =∠ 3=6 0° ∠ACE =∠BCDAC =CD ,BC =CE △ACE≌△DCB图 2 AE =BD 变式一 :将点C改在AB的延长线上 ,如图 2。证明 :△ACD与△BCE是等边三角形 AC =CD ,BC =CE∠C =∠C △ACE≌△DCB AE =BD 变式二 :点C…     

再探“从动点”路径问题

<正>本文通过弱化条件,拓展变式,对一道中考题进行深入分析,在探求线段中点运动路径类型的过程中不断产生新的灵感,巧妙构建三角形的中位线,发现动态背景下特定线段中点的运动路径为一条可计算长度的线段.一、原题呈现(2012年张家界中考题)如图1,已知AB=6,点C、D在线段AB上且AC=DB=1,P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和△PEB,连结EF.设EF的中点为G,当点P从点C运动到点D时,点G移     

要注意扣除重复

有一次单元测验，试卷上面有一道题：数图形。哈，这还不容易，要数出图中有几个三角形，只需数出△ABC的底边包含几条线段就可以了，如左图：底边BC上一共有５个点，一共可以组成（４＋３＋２＋１＝）１０条线段，所以相应的图中共有１０个三角形。用同样的方法，我把右图△ABC分成以下三步来分析：△ABC底边BC上共有３个点，所以BC中包含了（２＋１＝）３条线段，所以图１中有３个三角形。而△ABC底边AB上也有３个点，所以AB中包含了３条线段，图２中也有３个三角形。△ABC底边AC上共有４个点，所以AC中包含（３＋２＋１＝）…