等差、等比数列中—特殊性质的推广

性质 :若数列 {an}是等差 (或等比 )数列 ,m,n,p ,q∈ N* ,且 m +n =p +q,则 am +an= ap +aq(或 am . an =ap . aq) .此特殊性质的考查在每年的高考卷中必考 ,而且变化无穷 ,此性质还可以更完美 ,笔者将性质推广如下 ,并配以相应的例题 ,供参考 .1　性质推广定理 1　设 {an}是等差数列 ,ni,mi ∈ N* ,i = 1,2 ,3 ,… ,k,若 n1 +n2 +n3 +… +nk=m1 +m2 +m3 +… +mk,则 an1+an2 +an3 +… +ank =am1+am2+am3 +… +amk.注 :等式左右两边项数相同 .推论 1:设 {an}是等差数列 ,ni,m∈ N* ,i= 1,2 ,3 ,… ,k,若 n1 +n2 +n3 +… +nk=k . m ,则 an1…     

有穷等差数列的中间项

引理在等差数列{an}中,若p+q=r+s,则ap+aq=ar+as.特别地,当p+q=2m时,有ap+aq=2am.在下面的讨论中,用S表示等差数列{a}的前n项的和,     

浅议am+an=ap+aq

定理在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N),则am+an=ap+aq. 这是等差数列的一个有趣性质,它从论证、理解到应用都易被学生接受,本文试图剖析该定理的内涵并通过一些例子就常规方法与用定理另解或巧解的对照,增强运用定理的能力,达到在相关问题中巧用定理变繁为简,化难为易功效.     

形如an＋1=aan＋b/can＋d的递推数列通项的求法

江西省2009高考数学题第22题中(1)小题"各项均为正数的数列{an},a1=a,b1=b,且对满足m+n=p+q的正整数m、n、p、q都有am+an/(1+am)(1+an)=ap+aq/(1+ap)(1+aq).     

关于等差数列同等性质与性质的推广其及应用

本文主要讨论等差数列{an}性质“ap＋aq=ap＋k＋ap-k;p,q,k∈N^＊”和等差数列{an}}性质“对任意n,m,k,j∈N^＊,若有m＋n=k＋j,则有an＋am=aj＋ak”在使用上有同等的应用价值。在此等差数列{an}性质基础上推出等差数列性质的推广及其应用。     

等差数列性质am＋an=ap＋ag的运用全方略

在等差数列{an}中，利用通项公式不难证明性质：若m＋n=p＋q，贝am＋an。=ap＋aq（m、n、P、q∈N^＊）．特别是：当m＋n,=2p时，有am＋an=2ap（m、n、P∈N^＊）．这一性质在解题中，如果运用恰当，可以起到简化运算过程，提高解题效率的作用．下面结合实例，谈谈该性质在解题中的具体运用．     

殊途同归——等差数列一个典型性质的证明

定理 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n（m≠n）,则Sm＋n=（m＋n）． 预备定理：（1）在等差数列{an}中,若m＋n=p＋q←→am＋an=ap＋aq;     

等差数列的一个重要性质

等差数列有下面的一个重要性质：已知{an}是等差数列,且项序号m、n、p、q满足m＋n=p＋q,则有am＋an=qp＋aq．特别地,令n=m,可得若2m=p＋q,则有2an=qp＋aq.     

有穷等差数列的中间项

引理 在等差数列{an}中,若p＋q=r＋s,则ap＋aq=ar＋as．特别地,当p＋q=2m时,有ap＋aq=2am．     

等差数列前n项和公式的又一形式及应用

由等差数列的通项公式不难推出如下性质 :若{an}是等差数列 ,am、an、ap、aq 分别是该数列的第m、n、p、q项 ,且m n =p q,则am an=ap aq。又显然 ,1 n =k (n 1 -k) ,故由上述性质可知 :a1 an=ak an 1-k,k∈N ,且k≤n将这一结果代入等差数列前n项和公式中 ,便有Sn=n(a1 an)2 =n(ak an 1-k)2 。等差数列前n项和的这一形式 ,具有非常好的解题功能。下面略举数例说明之。例 1　 ( 1 995年全国高考题 )　等差数列 {an}、{bn}的前n项和分别为Sn 与Tn,若 SnTn=2n3n 1 ,则limn→∞anbn等于 (　　 )(A) 1　　 (B) 6/ 3　　 (C) 23　　 (…     

精益求精 寻求通法——多角度审视2009年江西高考压轴题

2009年高考江西卷理科压轴题是：各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m＋n=p＋q的正数m,n,p,q都有am＋an/（1＋am）（1＋an）=ap＋aq/（1＋ap）（1＋aq）.     

利用等比数列性质巧解题

"数列{an}是等比数列,若m+n=p+q则am an=ap aq",这是等比数列的一条性质,利用这条性质解决一些等比数列问题,往往可使得解题过程简洁,找到解题的捷径。例题1:已知数列{an}为等比数列,若an>0,且a1a5+2a3a7+a4a10=36,求a3+a7的值。思考一:已知数列{an}为等比数列,故可考虑利用等比数列的通项     

“本末倒置”有奇效

所谓“本末倒置” ,是指把事物的主次、前后的位置摆颠倒 ,我们不妨将这种情形移用到数学中来 ,仔细分析和式和积式的结构 ,我们可以发现它们往往具有对称性的特征 .由此 ,可以先将其“倒序” ,然后再来求和或求积 .1.本末倒置———求和倒序求和法其实来源于教材中等差数列前n项和的推导 ,其实质是抓住了等差数列的一个重要性质 :若n +m =p +q ,则an+am =ap+aq(n、m、p、q∈N+ ) ( )首先写出Sn 的和式 ,再写出Sn 的倒序求和式 ,即Sn =a1 +a2 +… +an- 1 +an ①Sn =an+an- 1 +… +a2 +a1 ②① +②则2Sn =(a1 +an) +(a2 +an - 1 ) +… +(…     

数列中的“加减法”(高一)

1.与等差数列的性质结合例1 已知数列{an}为等差数列,若a1 a2 a3 a4=3,an-3 an-2 an-1 an=21,且Sn=48,求n的值. 分析先将第二个条件“倒序”,再将两式相加,目的是用等差数列的性质:am an=ap aq<=>m n=p q(其中m,n,p,q∈N ),从而减少计算量。解依题意,有 a1 a2 a3 a4=3 an an-1 an-2 an-3=21将以上两式相加,得     

等差数列一个简单性质的应用

在等差数列{an}中。若m n=p q,则am an=qp aq.这是等差数列的一个简单性质,运用它可解答下面几类问题. 1.求项的值例1 在等差数列{an}中,若a3 a4 a5 a6 a7=450,求a2 a8的值. 解:由等差数列性质得     

正项等比数列的两个性质

设 {an}是以 q为公比的正项等比数列 ,则有以下两个性质 :性质 1　 n a1 a2 … an=n-2 m am +1 am +2 … an-m(n >2 m)证明 :n a1 a2 … an =n a1 .a1 q… a1 qn-1 =n an1 qn( n-1 )2 =a1 qn-1 2 .设 m 2 m)的几何平均数 .记数列前 n项的积为∏n,则 (1)式可以写成n ∏n =n-2 m ∏n-m∏m(2 )注 :…     

等差数列一个性质的应用

等差数列{an}具有如下性质:若m,n,P,q∈N*,且m+n=p+q,则a_n+a_n=a_p+a_q.利用等差数列的通项公式a_n=a_1+(m-1)d,n∈N*容易证明.直接用这一性质解题可化难为易,化繁为简.     

高考数列基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求考生:1理解数列概念,了解数列通项公式、递推数列的意义,能根据递推公式写出数列的前几项;2理解等差数列、等比数列的概念,掌握其通项公式、前n项和公式及其应用.下面介绍数列基础试题考点及其求解策略.考点1　等差数列性质应用例1　(2003年新课程卷高考题)已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|=(　　)(A)1.　(B)34.　(C)12.　(D)38.解析:运用等差数列性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”与题设条件可求出四个根.设a1、a2、a3、a4成等差数列,则a1+a4=a2+a3=2.故a1=14,a2=34,a3=54,…     

等比数列性质am&#183;an=ap&#183;aq的运用方略

等比数列{an}中,利用通项公式不难证明性质：若m＋n=p＋q,则am&#183;an=ap&#183;aq（m、n、p、q∈N＊）,特别是：当m＋n=2p时,     

等比数列性质am&#183;an=ap&#183;aq的运用方略

等比数列{an}中,利用通项公式不难证明性质：若m＋n=p＋q,则am&#183;an=ap&#183;aq（m、n、p、q∈N^＊）,特别是：当m＋n=2p时,有am&#183;an=ap^2.这一重要性质在解题中,如果运用恰当,可以起到简化运算过程,提高解题效率的作用．下面结合高考题实例,谈谈该性质在解题中的具体运用．