非欧几里得几何诞生的故事（上）

所谓非欧几里得几何是指不同于欧几里得几何学的一类几何体系，主要有罗巴切夫斯基几何和黎曼几何．他们与欧几里得几何的主要区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理．非欧几里得几何的出现从根本上拓广了人们对几何学的认识，引导人们对几何学基础的深入研究，而且对于物理学在二十世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革起了巨大推动作用．     

勾股定理所引起的（3）

学习勾股定理如不知道欧几里得的猜想就太遗憾了．欧几里得是公元前3世纪古希腊的著名学者，他的巨著《几何原本》(共13卷)对几何学的卓越贡献是人所共知的，以至“欧几里得”与“几何学”几乎是同义语了．在欧几里得的著作中，逻辑性已达到惊人水平，这一水平直到19世纪末20世纪初才被德国数学家希尔伯特及其学派所超越．     

欧高黎嘉陈——欧几里得、高斯、黎曼、嘉当、陈省身五位几何大师的数学业绩述评

欧几里得、高斯、黎曼、E嘉当、陈省身是不同时代的几何学大师，他们对数学科学作出了巨大的贡献。本文阐述了他们的几何业绩并作了初步的评论。     

漫谈几何学的发展与应用

欧几里得《几何原本》奠定了几何学发展的基础，随着逻辑推理的理论发展，非欧几何在艰难中产生发展起来。代数群论的发展带来变换几何的发展。几何学的发展与应用前景远大。     

从欧几里得《几何原本》谈公理化思想

欧几里得是古希腊最负盛名的数学家.《几何原本》是欧几里得集古希腊人的几何成就与个人创造于一体的不朽之作.欧几里得采用公理化思想,即把几何直觉与逻辑推理相结合的论证方法,创造性地建立起了欧几里得几何学,被认为是古典公理化思想的成功典范.二千多年来,《几何原本》是传播几何、数学的经典著作.介绍欧几里得公理化体系的形成过程和《几何原本》的五个公理、五个公设,对比我国初等数学的公理化体系,阐述欧几里得的公理化体系对我们的影响和贡献.     

复数的素因子分解——简说二次数域的高斯猜想

早在公元前3世纪前后,希腊数学家欧几里得已证得：（正）整数可唯一分解成素数乘积形式（即素数唯一分解定理）．这个问题拓广到复数（域）情形又如何？德国数学家高斯率先考虑了它,这便是所谓二次数域的高斯猜想问题．     

数学家的思维方式与小数数学教学之十一 非欧几何与正难则反策略

非略策反则难正与何几欧晨光中小学数学中的几何学知识,主要内容来源于古希腊数学家欧几里得的传世名著《几何原本》,（因此又简称“欧氏几何”）。在《几何原本》中,欧几里得系统地整理了前人积累的几何知识,用逻辑演绎的方法,从精心选择的为数很少的公理出发,建立...     

欧几里得与几何《原本》

欧几里得是希腊论证几何学的集大成者之一。关于他的生平我们所知甚少，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典。公元前300年左右应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。据传，托勒密王曾问欧几里得有无学习几何的捷径，欧几里得回答说：“几何学无王者之道。”另一则轶事说，有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问：“学了这些我能获得什么呢？”欧几里得叫来一个仆人吩咐说：“给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中捞点什么。”欧几里得写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作。     

参天大树从地起——影响深远的欧几里得《几何原本》

1 欧几里得传略 欧几里得（Euclid）是古希腊的数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世。     

关于欧氏几何的第5公设及非欧几何

本文围绕对欧几里得《几何原本》中第五公设的研究,阐述了它对非欧几何的创立所起的作用,同时采取对比的方法阐明了二者之间的关系.     

从人类空间观念的发展看数学的创新精神

数学的创新精神，在于敢突破传统的思维方式，而不受现实世界限制的自由创造。特别是19世纪以后，数学发展到现代数学时期更是如此。例如，从欧几里得几何发展到非欧几何，突破了“空间”传统观点的束缚，把空间概念从现实空间发展到抽象空间，使人们眼界大开。     

罗巴切夫斯基——新几何学的奠基人

罗巴切夫斯基(1792-1856),俄罗斯数学家,非欧几何的创始人之一。我们在中学阶段学习的几何学是希腊数学家欧几里得创立的欧氏几何学,欧氏几     

奥博平面几何的独特视角与解题技巧的辅导

平面几何是训练逻辑思维的极好素材.一些科学家在回忆青少年时期的学习生涯时,总是记挂着平面几何训练为他们以后的个人发展所奠定的良好基础.平面几何在数学发展史上也有着它的特殊地位:欧几里得的《几何原本》开创了数学公理化的肇始;由为证明著名的欧几里得第五公设引导出来的非欧几何,把人类对数学的认识又提高到了一个新境界.中学的教学改革一次次喊出过"打倒欧几里得!"的口号,但借助基本图形训练逻辑思维的特色却依然如故.平面几何的教育价值与训练价值是人     

欧几里得几何

欧几里得（Euclid of Alexandria）（图1是马尔代夫1988年发行的纪念欧几里得邮票，图2是萨拉里昂1983年发行的邮票，画面是欧几里得和他的学生，取自梵蒂冈壁画）是古希腊数学家．他的生卒时间大约在公元前330年至公元前260年．他收集公元前7世纪以来古希腊对几何研究的成果，按严密的逻辑系统加以整理，     

平行公理与非欧几何

现在初中教材中的几何，源于公元前3世纪古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，简称欧氏几何．欧氏几何中的许多公理，其正确性是显而易见的．例如线段公理：“两点之间所有的连线中，以     

高斯

高斯(Gauss,1777—1855)德国著名的数学家、物理学家和天文学家,出身于德国布伦瑞克的一个农民家庭。幼年时就显示出他的数学才华,11岁时发现了二项式展开系数关系。1795年,就读于格廷根大学。自从发现正17边形尺规作图法以后,他便决定以数学为其终身事业。1799年,高斯以证明“一元n次方程至少有一个根”(代数学基本定理)的成就荣获博士学位。1840年,被选为英国皇家学会会员。一生中,他在数学上有许多重要的成就,除上面代数基本定理的证明外,还发现了复数的几何表示法(用平面上的点表示,后人称该平面为高斯平面)、微分几何的曲面理论(高斯…     

罗巴切夫斯基

1893年,在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像.这位令人景仰的数学家就是俄国伟大的学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基(1792～1856).人们深知欧几里得的突出贡献,欧氏几何差不多是初等几何的代名词了.“过直线外一点恰好可以画出一条和已知直线平行的直线.”欧氏几何中这一鲜有人怀疑的公设,其证明却难倒了无数数学家.罗巴切夫斯基另辟蹊径,用反证法说明了这一公设并不可证.这是一个全新的,也是与传统思路完全相反的探索途径.正是沿着这条途径,罗巴切夫斯基发现了一个逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美的新的几何世界…     

几何推理浅谈

几何内容的改革,一直是世界数学教育关注的焦点,其核心是对欧几里得几何的处理问题.从“新“数运动所发出的“欧几里得滚蛋“的口号,到各国面向新世纪的数学课程改革中欧氏体系的淡化处理,都说明了欧氏几何已逐渐失去了其在数学中的统治地位,代之以异彩纷呈的几何体系,这是几何课程改革的新趋势.……     

反先验论与亥姆霍兹非欧几何公理化思想的关系

反先验论是亥姆霍兹哲学思想中的一个重要倾向。它开始于他的感觉生理学研究,后来扩展到对算术和几何公理之来源问题的思考,最终形成了作为其科学生涯后半期的一个显著特点的经验主义立场。文章从生理学中有关空间知觉研究的先验论与经验论之争的分析入手,考察了亥姆霍兹从经验主义出发驳斥康德关于欧几里得几何公理之先验性的论述,进而认为这些公理是后天经验的产物并在此基础上提出了他的非欧几何公理化思想。     

谈谈平面几何教材的改革——介绍《全日制十年制学校初中课本(试用本)数学》第三册几何部分

新编《全日制十年制学校初中课本(试用本)数学》从第三册起开始学习平面几何,第三册共分四章:第一章相交线与平行线,第二章三角形,第三章四边形,第四章数的开方和二次根式。前三章都是几何内容。传统的几何教材基本上是按照二千多年前欧几里得《几何原本》的体系编写的,长期教学实践证明,采用欧几里得体系学习几何,是培养逻辑思维能力行之有效的方法。但是,采用欧几里得体系学习几何也有不少缺点。最大的缺点是内容烦琐,占用的教学时间过多,不利于在中学增加为实现