复数方程(组)的常用解法

在复数集中解方程是高考经常考查的内容之一，解复数方程通常有以下几种方法： １．化“虚”为“实” 知识点：如果ａ、ｂ、ｃ、ｄ Ｒ，那么 ａ＋ ｂｉ＝ ｃ＋ ｄｉａ＝ｃ， ｂ＝ｄ． 例１已知ｚＣ，解方程３ｉ＝１＋３ｉ．（’９２全国） 解设ｚ＝ｘ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ Ｒ）， 则ｘ２＋ｙ２－３ｉ（ｘ－ｙｉ）＝１＋３ｉ 即解得或 ｙ＝ ０ ｙ＝ ３ ｚ１＝－１或 ｚ２＝－１＋３ｉ． ２．两边取共轭 知识点：ｚ１＝ｚ２ｚ１＝ｚ２． 例２已知ｚＣ，解方程ｚ－ｚ＝（常数、Ｃ，且１） 解…ｚ－Ａ。二。① ·”·Ｚ－２Ｚ＝。，即ｚ一人。＝Ｊ② …     

复数在三角方面的应用

复数的三角形式沟通了代数与三角间的联系，从而为用三角知识解决代数问题带来了方便，同样某些三角问题若利用复数知识来解，则别有一番风味．下面试举例说明．１　用复数表示三角函数设ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，则有－ｚ＝ｃｏｓθ－ｉｓｉｎθ，　ｚ·－ｚ＝１．于是可得公式Ⅰ　ｃｏｓθ＝ｚ＋－ｚ２＝ｚ２＋１２ｚ，ｓｉｎθ＝ｚ－－ｚ２ｉ＝ｚ２－１２ｉｚ，ｔｇθ＝ｚ２－１ｉ（ｚ２＋１）．又由ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ－ｉｓｉｎｎθ．因此有公式Ⅱ　ｃｏｓｎθ＝ｚｎ＋ｚｎ２＝ｚ２ｎ＋１２ｚｎ，ｓｉ…     

解答复数问题常用的若干技巧

复数与三角,平面几何,解析几何均有内在联系,运算复杂,对能力要求高,若能总结规律,掌握解复数问题的方法和技巧,定能左右逢源,使学习更上一层楼。 一、用习题中的重要结论解复数题。 复数习题中有许多重要结论,例如｜ｚ１＋ｚ２｜２＋｜ｚ１－ｚ２｜２＝２（｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２）,若ｚ∈ｃ,且ｚ≠±１,则是纯虚数｜ｚ｜＝１…若能灵活运用这些结论,会收到事半功倍之效。 例１：设ｚ∈ｃ,｜ｚ｜＝５,则｜ｚ＋３－４ｉ｜２＋｜ｚ－（３－４ｉ）｜２＝？ 解：｜ｚ＋３－４ｉ｜２＋ ｜ｚ－３＋４ｉ｜２＝｜ｚ＋（３－４ｉ）…     

复数在三角中的应用

我们知道,若ｚ＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα,则ｃｏｓα＝１２（ｚ＋１ｚ）＝ｚ２＋１２ｚ,（１）ｓｉｎα＝１２ｉ（ｚ－１ｚ）＝ｚ２－１２ｉｚ,（２）ｔｇα＝－ｉ（ｚ２－１）ｚ２＋１．（３）利用以上三公式,借助于复数运算,可使某些三角问题得到较为方便的解决．这...     

一道典型复数题的潜能

题目　已知复数ｚ１,ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝１,ｚ１＋ｚ２＝－１５＋７５ｉ．试求ｚ１·ｚ２的值．粗看此题只不过是一道常见的复数计算题,但经仔细分析就会发现这是一道相当典型的综合复习题,可用复数的不同知识点进行求解．通过一题多解,有机地把复数知识网络串联,达到解决一道题,复习一系列知识点的目的．通过习题的推广,还可揭示此类问题的实质,同时又能达到以题攻题之效果．１　习题的复习功能解法１　设ｚ１＝ａ＋ｂｉ,由ｚ１＋ｚ２＝－１５＋７５ｉ,可得ｚ２＝－１５－ａ＋７５－ｂｉ．由已知可得ａ２＋ｂ２＝１,…     

从一道高考题的背景看椭圆的离心角和旋转角

今年全国高考数学理科（第２０）题是：设复数ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ·２ｓｉｎθ．求函数ｙ＝θ－ａｒｇｚ（０＜θ＜π２）的最大值以及对应的θ值．一、试题的背景揭示若令ｚ＝ｘ＋ｙｉ（ｘ,ｙ∈Ｒ）,则有ｘ＝３ｃｏｓθ,ｙ＝２ｓｉｎθ．｛（０＜θ＜π２）显然,复数...     

一道高考题的多种解法及其几何意义

１９９９年全国高考理科试题第２０题：设复数ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ２ｓｉｎθ,求函数ｙ＝θ－ａｒｇｚ（０＜θ＜π／２）的最大值以及对应的θ值．此题构题新颖别致,耐人寻味．它把复数的有关概念与三角知识、函数知识有机地结合起来,是一道考察学生的适应能力、等价转化能力、分析问题和解决问题能力及逻辑推理能力等综合素质的好题,真正体现了数学素质教育的思想．本文先给出它的多种解法,然后探索其构题背景,给出它的几何意义,并将其推广．１　从求复数ｚ的辐角主值ａｒｇｚ中寻找突破口解法１　由ｚ＝３ｃｏｓθ＋ｉ２ｓｉｎθ及…     

与最值相关问题的解法(下)

一、内容概述这是上期的继续,并给出解决此类问题的另外一些方法,如数形结合法、解析法、复数法、不等式法、待定系数法等．二、基础知识１．基本不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ．（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）２．三角形边长之关系：ａ＋ｂ＞ｃ（ａ,ｂ,ｃ为三角形三边之长）３．复数模的不等式：｜ｚ１｜＋｜ｚ２｜＋｜ｚ３｜≥｜ｚ１＋ｚ２＋ｚ３｜．等号成立的条件是ｚ１＝λ１ｚ２＝λ２ｚ３（λ１λ２＞０,λ１,λ２∈Ｒ）４．费尔马点的性质．（见例１０）三、综合应用（六）数形结合法关于数式问题,若能构造…     

复数z_1、z_2的商z_1/z_2与∠z_1Oz_2之间的关系

复数练习题中，经常出现已知复数ｚ１、ｚ２的商，求∠ｚ１Ｏｚ２（ｚ１、ｚ２是复数ｚ１、ｚ２的对应点）或∠ｚ１Ｏｚ２的三角函数值这类题目。在解此类题目时，学生普遍感到思路不清，有困难。究其原因，实为学生对两者之间的内在联系没有弄清。本文想对此作一些探讨，使学生在解题时有规律可循。设即为纯虚数＝９０°。同理，若Ｒ，ｙ≠０），为纯虚数＝９０°。ｚ２－ｚ例１　已知复数ｚ１、ｚ２的对应点为ｚ１、ｚ２，例２已知ｚ１、ｚ２在复平面上的对应点分别是ｚ１、ｚ２，ｚ１＝ａ，３ｚ１２－２ｚ１ｚ２＋２ｚ２＝０，求ｚ１Ｏｚ…     

构造图像解复数最值问题

构造图像解复数最值问题岳应宁，周光国求复数模的最值及幅角主值的方法很多，若不注意分析题中关系式所蕴含的几何特征，常易导致繁琐运算，影响解题速度。若能做到数形结合，往往会事半功倍。例１．复数ｘ满足２｜ｚ－３－３ｉ｜＝｜ｚ｜，求｜ｚ｜的最大值和最小值。解...     

复数模最值的求法

求复数模的最值的方法一般有以下三种 :（１）不等式法．对于复数ｚ１,ｚ２,有｜｜ｚ１ ｜ -｜ｚ２ ｜｜≤｜ｚ１ +ｚ２｜≤｜ｚ１｜ +｜ｚ２｜ ,①｜｜ｚ１ ｜ -｜ｚ２ ｜｜≤｜ｚ１ -ｚ２｜≤｜ｚ１｜ +｜ｚ２｜．②上面两不等式取等号的条件 :在①中 ,当ｚ１ ＝ｔｚ２,ｔ≥０时 ,右边不等式取等号 ,ｔ≤０时左边不等式取等号 ;在不等式②中 ,与①中取等号的条件左右正好对调．其实 ,②的情况完全可以由①包含．（２）数形结合法．由复数模的几何意义与复数运算的几何意义 ,将复数问题转化为平面几何或解析几何知识来解决．（３）函数最值…     

复数解题的若干技巧

复数问题涉及知识面广，运算复杂，对能力要求高。若能总结归纳其变化规律，掌握解答复数问题的方法和技巧，定会收到快速、简捷，结果准确的效果。以下试举例说明之。１．巧用１的立方虚根若ω２－ω＋１＝０（ω∈C），则ω３＋１＝０；若ω２＋ω＋１＝０（ω∈C），则ω３－１＝０。例１．已知复数z满足１－z＋z２＝０，求１＋z１０００z２０００的值。解：∵１－z＋z２＝０∴z３＝－１１＋z１０００z２０００＝１＋（z３）３３３·z（z３）６６６·z２＝１－zz２＝－z２z２＝－１例２．已知复数z满足z＋z－１＝－１，求z２０００＋z－…     

变形公式分解因式

当某些代数式不易分解时，如果能将我们非常熟悉的完全平方公式、立方和（差）公式适当变形后加以利用，则往往能出奇制胜。简化解题过程．例１分解因式：9ｘ２－（Ｘ十Ｙ－Ｚ）２－（２Ｘ－Ｙ＋Ｚ）２．分析本题如果直接利用完全平方公式，先展开后分解，也可获解，但过程较繁．如注意到（ｘ＋ｙ－ｚ）＋（２ｘ－ｙ＋ｚ）＝３ｘ，把公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２＋２ａｂ变形为（ａ＋ｂ）２－ａ２－ｂ２＝２ａｂ，便可得到如下巧解．解原式＝〔（x＋ｙ－ｚ）＋（２ｘ－ｙ＋ｚ）〕２－（ｘ＋ｙ－ｚ）２一（２ｘ－ｙ＋z）２＝２（ｘ＋ｙ－ｚ…     

非齐次线性方程组解的性质

提出并论证了ｎ元相容不定的非齐次性方程组无穷解集Ｑ的秩等于ｎ－ｒ＋１（ｒ为该方程组系数矩阵Ａ的秩）以及对于它的任意一个极大线性无关组α１，α２，αｎ－ｒ＋１，β＝ｎ－ｒ＋１∑ｉ＝１ｋαｉ为该方程组解的充要条件是ｎ－ｒ＋１∑ｉ＝１ｋｉ＝１从而进一步补充和完善了线性代数中对该方程组解集性质的研究。     

一元一次不等式(组)考点例说(下)

考点五：一元一次不等式（组）综合题此考点是将一元一次不等式（组）与其他代数知识融为一体，考查学生综合解题的能力．例７求使方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋ 的解x，y都是正数的m的取值范围．解：解方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋３ 得x＝－m＋７，y＝２m－５ 由于它的解为正数．∴－m＋７＞０，２m－５＞０ 解得m＜７，m＞５２ 即５２＜m＜７．∴当５２＜m＜７时，原方程组的解都是正数．考点六：用一元一次不等式（组）解实际应用问题例８“五一”期间，某校由４位教师和若干名学生组成的旅游团，拟到国家４…     

高考数学复习检测题

高考数学复习检测题北京市东城区教研科研中心郝澎一、选择题：本大题共１５个小题，第１－１０题每小题４分，第１１－１５题每小题５分，共６５分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．复数５３＋４ｉ的共轭复数是（）．Ａ．３＋４ｉＢ．３＋４ｉ...     

高考数学复习的比较教学

一、对易造成思维定势负迁移的基础知识进行比较教学１．对基础知识中易造成同化错觉的有关内容进行比较差异的教学．现行中学数学教材是遵循基础知识的循序渐进,由单个知识向完整的知识体系过渡．由于这个特点,学生在前后知识学习中容易造成同化错觉,这就要求我们在复习中将具有这样的特点的知识进行比较差异教学．如在复习复数乘方、开方运算时,学生习惯了实数指数运算法则,对于ｚ∈Ｒ＋时,（ｚｎ）１ｎ＝ｚ成立这个定势往往推广到复数范围,致使一些学生解形如（ｘ＋１）９＝（１＋ｉ）９（ｘ∈Ｃ）的方程,只得到一解ｘ＝ｉ的错误…     

构造二项方程xn＝b巧解一类三角问题

构造二项方程ｘｎ＝ｂ巧解一类三角问题吴文惠陈叶柳（湖南省新化县六中４１７６１３）对于方程ｘｎ＝ｂ（ｎ∈Ｎ且ｎ≥２），设复数ｂ的模和辐角分别为ｒ和θ，则其ｎ个不同的复根为：ｘｋ＝ｎｒ（ｃｏｓθ＋２ｋπｎ＋ｉｓｉｎθ＋２ｋπｎ）．又记θｋ＝θ＋２ｋπｎ，...     

重视对错题的剖析

对概念理解不透彻造成的解题错误。 例 １ 把 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ（　　ａ　２）化成复数的三角形式。 误解分析：解题中没有注意到， 在复数的三角形式中，模ｒ≥０。 正确解：．故 １＋ｃｏｓａ＋ｉｓｉｎａ的三角形式为：对初等函数的定义域考虑不周造成的解题错误。例 ２ 已知 ２ｌｇ（ｘ－２ｙ）＝１ｇｘ＋ｌｇｙ，求 ｘ：ｙ。误解：由已知可得 ｌｇ（ｘ－２ｙ）２＝ｌｇｘｙ，即（ｘ－ｚｙ）２＝ｘｙ，解之得　＝１或　＝４。误解分析：据已知条件得ｘ－－２ｙ＞０，ｘ＞０，ｙ＞０。正确解：由已知得　＝１或　。由于 Ｘ－Ｚｙ…     

因式分解思想的巧用

一、用于化简求值例１当ｘ＝２时,求代数式ｘ＋３ｘ２－１·ｘ２－２ｘ＋１ｘ２＋２ｘ－３的值。解：原式＝ｘ＋３（ｘ＋１）（ｘ－１）·（ｘ－１）２（ｘ＋３）（ｘ－１）＝１ｘ＋１。当ｘ＝２时,原式＝１２＋１＝１３。二、用于方程组例２方程组ｘ＋ｙ＝５ｘ２－ｙ２＝１５的实数解共有（　　）（Ａ）０组;　（Ｂ）１组;（Ｃ）２组;　（Ｄ）４组。解：∵ｘ２－ｙ２＝１５,（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝１５,又ｘ＋ｙ＝５,∴ｘ－ｙ＝３,从而原方程组可转化为ｘ＋ｙ＝５ｘ－ｙ＝３解之得ｘ＝４ｙ＝１∴应选（Ｂ）。三、用于确定待定…