存在性智力趣题与抽屉原理

一本数学智力趣题集中有如下三道趣题.1.平面上有1987个点,若其中任何三点中都有两点的距离小于1,则必存在一个半径为1的圆,它至少盖住这1987个点中的994个点.2.一个正方形被9条直线分割,若其中每一条直线都与正方形的一对对边相交,且把该正方形分成面积比为2∶3的两个梯形,则这9条直线中至少有3条直线交于同一点.3.平面上有n(n≥4)个互不相同的点,每两点间用直线段相连,若其中长度为d的线段有n 1条,则这n个点中至少有1点,从该点出发的线段中至少有3条线段长度为d.上述三道趣题有一个共同点,它们都是与数量有关的存在性命题.关于涉及数量的存在性的证明,有一个简单而强有力的武器——抽屉原理:若将sn b个苹果(s,b,n∈N ,0     

一类分拆数的计算问题

正整数n的分拆是指将正整数n表示成一个或多个正整数的无序和.设Q(n,m)是将正整数n分拆为m个互不相同的正整数之和的无序分拆数,而P(n,m)是将正整数n分拆成m个部分的无序分拆的分拆数.它们都是组合,图论,数论的重要概念和数据.本文得到了关于Q(n,m)的一个递推关系以及P(n,m)与Q(n,m)之间的直接关系,进而可以利用已有的一些结果来计算Q(n,m)的值.同时本文也讨论了Q(n,m)在图论中的一个应用.     

一道联赛题的背景知识及解题思路赏析

<正>一、赛题呈现2017年全国高中数学联赛决赛压轴的是一道数论不等式试题.试题设m、n均为大于1的正整数,m≥n,a_1,a_2,…,a_n是n个不超过m的互不相同的正整数,且a_1,a_2,…,a_n互素.证明:对任意实数x,均存在一个i,1≤i≤n,使得‖a_ix‖≥     

美国数学竞赛题和解答

如果 G(x)可以整除 F(x),即 F(x)/G(x) 是多项式。因为 x~((m 1)n)-1的所有因式是互不相同的,由此推知 x~(m 1)-1和 x~n-1除了有公因式 x-1之外不可能有其它的公因式。这样,m 1和 n 必须互质。     

n次单位根及其应用

本文介绍n次单位根及其性质,注重用实例说明n次单位根在复数计算、多项式的因式分解和整除问题以及在三角和几何方面广泛应用。一定义在复数集内,1的n次方根有n个,它们是: ε_k=cos2kπ/n+isin2kπ/n(k=0,1,…n-1)这n个值互不相同,都称它们为n次单位根     

2005年高考广东数学卷客观题评析

2005年高考广东数学试卷的客观题部分,突出了对学生的基础知识和基本技能的考查,高中数学各知识板块的相应考查的客观题题号与分值如下表从以上统计表可以看出,在客观题部分注重了知识的覆盖面较为广泛,兼顾了试题的基础性、综合性和现实性.下面评析试卷中几道典型的客观题.一、立几客观题,线面关系经久不衰直线、平面、简单的几何体这一立体几何知识块,在每年的高考客观题中都出现1～2个,而常见的是考查线与线、线与面、面与面之间的垂直与平行的判定和性质,以及对4个命题进行检查判断的形式出现.第7题.给出下列关于互不相同的直线m、l、n…     

一个有趣的排列问题

对于任意的正整数n,我们知道它总的排列个数为n!.我们做如下的约定:一个排列a=a1a2…an和另一个排列b=b1b2…bn(ai互不相同,bi互不相同),都是从1到n的排列,从左到右比较ai和bi(i=1,2,…,n)中第一个不相等的数字,如果ai>bi,则称排列a>b;如果ai相似文献   

2009中国数学奥林匹克第6题的解法追源

题目给定整数n（n≥3）．证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A、B,数∑x∈A x/｜A｜与∑x∈B x/｜B｜是互质的合数．这里,∑x∈A x与｜A｜分别表示有限数集A中所有元素之和与元素个数．     

一道竞赛题的探究

本刊1987年第五期《高中数学基础知识竞赛题》第一试第6题是: 比较(1-1/1987)(1-2/1987)…(1-87/1987)和1897/1987的大小。本文给出结论的改进,推广和引伸:(1-1/1987)(1-2/1987)…(1-87/1987)<1/4。 (1) (1)式可推广为命题1 设m,n为自然数,m≤n, 则(1-1/n)(1-2/n)…(1-m/n)<1/2~(2m(m+1)/3n) (2) 为证明(1)与(2),先证明下面两个命题: 命题2 设0≤x≤1,则 1-x≤1 e~x。 (3) 证明:设f(x)=1-x-1/e~x,0≤x≤1·     

互补的数列与一道国际数学竞赛题

1.数列互补的定义及定理: 定义如果两个递增的正整数的数列{f(n)}、{g(n)}满足下面两个条件: (ⅰ)这两个数列没有相同的项,即对任意的正整数m、n,有,f(n)≠g(m); (ⅱ)每一个正整数k,都必定在数列{f(n)}或{g(m)}中出现,即总可以找到正整数n或m,使得k=f(n)或k=g(m)。     

1990年加拿大数学竞赛

1.一次竞赛有 n≥2名选手参加,历时k 天.每天选手的得分为1,2,…,n,每两名选手的得分互不相同.在第 k 天末,每名选手的总分均为26分.求出使这成为可能的所有的数对(n,k).     

一类函数方程的求解——从一道奥林匹克竞赛题谈起

第28届奥林匹克数学竞赛第二有这样一道题: 求证;不存在这样一个函数试fN_0→N_0,N_0={0,1,2,3,…n,…},使得对于任何n∈N_0,有f(f(n))=n 1798, 证明,假设存在这样的函数f,记n_1=f(i),则A_1={i,n_1,i 1987,n 1987,i 1987×2,n_1 1987×2,…),显然,且n_1∈A_1(i=0,1,2,…,1986)。于是,对每一个固定的i(i∈N_0,i≤1986),存在一个k(k∈N_0,k≤1986,k≠i),使得n_i∈A_k。 若n_i=n_k 1687×m(m∈N_0),则f(u_k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(n_i 1987×m)k 1987×(m 1)矛盾。 若上_n_i=k 1987×m(m∈N_0,m≥2),则f(k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(k 1987×m)=n_k 1987×m矛盾。 故n_i=k或k 1987,若n_i=k,则n_k=f(k)=f(n_i)=i 1987,即n_k∈A_i;若n_i=k 1987,则i 1987=f(n_i)=f(k 1987)=n_k 1987,即n_k=i,从而n_k∈A,,因此,若n_i∈A_k,则必有n_k∈A_i。     

一道代数题的三种几何解法

题目:设m、n、p为正实数,且m2 n2-p2=0.求m pn的最小值.这道题若用代数方法求解,比较麻烦.如果我们能根据题意构造出几何图形,利用几何图形的性质,可以巧妙地解出这道题.解法1:构造边长为m n的正方形ABCD,E、F、G、H分正方形各边为m、n.显然,EFGH是边长为p的正方形.由图可知EG=     

运用余数变化的规律解题

余数的变化有什么规律呢?让我们一起来回答下面一组问题: ①数A能被K整除,数B被K除余n。那么,数A与数B的和被K除,余数是几?[答:余数仍然是n。] ②数A被K除余m,数B被K除余n,那么,A、B的和被K除余几?[答:如果(m+n)K,余数是(m+n-K);如果(m+n)=K,余数为0,即能被K整除] 理解了上面两个问题,就可以运用它来分析解答下面这道数学竞赛题了。     

第四届全国中学生数学冬令营试题

一、在半径为1的圆周上,任意给定两个点集A,B,它们都由有限段互不相交的弧组成,其中B的每段弧的长度都等于π/m,m是个自然数,用A′表示将集合A沿反时针方向在圆周上转动jπ/m弧度所得的集合(j=1,2,3…,),求证:存在自然数k,使得 l(A~k∩B)≥1/(2π)l(A)l(B), 这里l(X)表示组成点集X的互不相交的弧段的长度之和。二、设x_1,x_2,…,x_n都是正数(n≥2)且sum from i=1 to n (x_i)=1,求证     

一类既约分数的和

本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和S_a(本文中m,n,a是已知的自然数,m相似文献   

一道全国竞赛题的再探讨

2008年全国高中数学联合竞赛第一试第9题如下：将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法有_____种． 文[1]先将问题转化为不定方程的未知数取值互不相等的正整数解的个数问题,然后用高斯取整函数证明了有关不定方程正整数解的组数计算公式,然后用计算公式来解本竞赛题,紧接着又化简了这个计算公式,然后用化简了的计算公式再解这道竞赛题．     

第50届IMO试题

第一天 1。设n是一个正整数,a1,a2…,ak(k≥2)是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n|ai(ai+1-1).     

pk元域上的方程∑aixn-1-i=0与∑(-a)ixn-1-i=0

F是一个pk元域,n是一个正整数.xn-1+axn-2+...+an-2x+an-1=0(a≠0)与xn-1axn-2+...+(-a)n-2x+(-a)n-1=0(a≠0)是F上的方程.本文完整地给出这些方程在F中的根的状况:(n,pk-1)-1个单根,(n,pk-1)组互不相同的重根,没有根.同时,给出根的求法及例子.     

关于推广的Poincaré公式之证明及应用

在[1]中蒋茂森用分划和事件为互不相容事件之和的办法直观地证明了Poincare’公式:P((?)A_i)=sum from i=1 to n(P(A_i))-sum form (l≤i相似文献